Méthodes d'optimisation et modélisation mathématique

Méthodes d’optimisation et modélisation mathématique

Introduction

Dans le chapitre précédent, nous avons présenté les différents travaux qui ont été menés par les laboratoires de recherche dans le domaine des onduleurs à MDI. Cette technique vise à trouver entre autres, un facteur de puissance le plus élevé que possible.
Pour trouver un facteur de puissance maximal, on sera amené à utiliser des méthodes et des techniques d’optimisation. Les méthodes simples opérant en temps réel sont les plus attrayantes pour nous.C’est dans ce chapitre que nous allons nous pencher sur ces méthodes. Dans une première partie, nous allons présenter parfois de manière brève et parfois de façon détaillée les algorithmes des méthodes d’optimisation les plus connues ainsi que la méthode génétique, objet de notre recherche. Dans la deuxième partie, nous donnerons des éléments importants pour le développement mathématique pour une nouvelle formulation du facteur de puissance pour le convertisseur monophasé et le convertisseur triphasé. Les méthodes appliquées les plus efficaces pour des problèmes non complexes sont la méthode la méthode de quasi-Newton et de la méthode du gradient conjugué.

Méthode de Quasi-Newton

Cette méthode trouve une infonnation de la courbure de la fonction à chaque itération, pour fonnuler le problème d’optimisation sous fonne quadratique.Un nombre élevé de calculs itératifs de H a été proposé dans la littérature. Cependant la fonnulation de Broyden [Bro70}, Fletcher [Fle70, Fle63}, Goldfarb IGoI70}, et Shanno [Sha70] (BFGS) est considérée la plus efficace et la plus utilisée pour une utilisation générale et pour une convergence globale.
Le principe de cette méthode est de générer une séquence de matrices symétriques H k positives qui approximent la matrice Hessienne et une séquence de matrices Bk qui approximent la dérivée de la matrice Hessienne. On cherche une fonnulation de la méthode de telle manière que les Matrices H et B convergent vers la matrice Hessienne et son mverse.L’une des formulations les plus efficaces, on trouve la procédure de DFP faite par Davidon [Dav59], Fletcher et Powell [FIe 63]. Ils utilisent une formulation similaire à celle de la méthode de BFGS (Eq.3.2).
Il existe plusieurs variantes de la méthode de Quasi-Newton, le tableau suivant nous donne quelques-unes des plus populaires. Nous ne présentons pas dans cette thèse la manière dont chaque variante a été démontrée. Mais, il n’est pas très compliqué de développer sa propre variante dépendamment du but recherché (convergence globale, temps de calcul réduit, etc.).

Méthode du gradient conjugué

La méthode du gradient se base sur l’annulation de la dérivée (gradient). Elle ajuste certains coefficients (poids) pour faire la recherche dans le sens contraire du gradient dans la pente la plus raide. C’est la direction dans laquelle la fonction décroit le plus rapidement.
Cependant, les chercheurs ont remarqué que, malgré cette propriété, la convergence rapide n’est pas assurée dans tous les cas. Dans le cas des algorithmes du gradient conjugué, larecherche de l’optimal se fait par plusieurs directions en même temps, ce qui augmente la rapidité de convergence. L’algorithme du gradient conjugué de Fletcher-Reeves est des plus connus. Il commence par chercher la pente la plus basse. Un vecteur direction (line-search) est calculé par la suite pour trouver une distance optimale. La prochaine direction de recherche est déterminée de façon à combiner la direction de descente optimale avec la direction de recherche précédente [Mat04]. Certains auteurs comme [Sha04], choisissent la méthode du gradient conjugué, car :
Elle a un faible stockage de mémoire.
Elle a une bonne information sur la dérivée.
Elle estime la matrice Hessian et son inverse:

……….

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Table des matières

Résumé
Avant-propos
Liste des figures
Liste des symboles
Chapitre 1 – Introduction
1.1 Énoncé de la problématique
1.2 Objectifs de recherche et originalité du projet
Chapitre 2 – Etat de l’art sur la MDI
2.1 Introduction
2.2 Théorie présentée par l’équipe de l’Université d’Okayama
2.2.1 Développement des équations électriques [Aga96]
2.3 Théorie développée par l’équipe du CENIDET
2.4 Travaux de l’équipe de l’Université de Tennessee [Ozp01]
2.5 Travaux des équipes des Universités Sophia du Japon et de Masan de
la Corée [Fat05], [Mur04]
2.6 Développement et formulation de l’équipe de l’Université du Québec
à Trois-Rivières [San02, San04, San05]
2.6.1 Relation entre le facteur de puissance et le taux de distorsion harmonique
2.7 Résumés des considérations rencontrés dans la MDL
2.8 Composants et structures de l’électronique de puissance[Seg04]
2.8.1 La diode
2.8.2 Le thyristor
2.8.3 Le thyristor GTO
2.8.4 Le transistor
2.8.5 Le MOSFET
2.8.6 L’IGBT
2.8.7 La commutation- quelques principes
2.8.8 L’onduleur
2.8.9 Les redresseurs
2.8.10 Les filtres
2.9 Conclusion
Chapitre 3 – Méthodes d’optimisation et modélisation mathématique
3.1 Introduction
3.2 Méthode de Quasi-Newton
3.3 Méthode du gradient conjugué
3.4 Les algorithmes génétiques
3.4.1 Méthodologie [Dup04]
3.4.2 Choix de la fonction objective ajustée (fitness function)
3.4.3 Théorie sur laquelle se basent les algorithmes génétiques
3.4.4 Optimisation multi-objective [Str95]
3.4.5 Frontière Pareto-optimale et description du NGSA-II
3.4.6 Description de quelques algorithmes efficaces
3.5 Amélioration de la performance de l’algorithme génétique: Les algorithmes hybrides [Gar92]
3.6 Application de la méthode génétique à notre système
3.7 Autres méthodes d’optimisation
3.7.1 De l’interpolation
3.8 Conclusion
Chapitre 4 – Contribution apportée et méthodologie suivie
4.1 Introduction
4.2 Algorithme génétique
4.3 Simplification des expressions mathématiques
4.4 Modifications apportées au modèle génétique
4.4.1 Changement sur la population
4.5 Résultats obtenus avec le modèle Sandali-Chériti en utilisant la
méthode génétique et la méthode hybride, cas du modèle triphasé
4.6 Discussion des résultats
4.7 Modèle hybride pour le changement de la mutation
4.8 Conclusion
Chapitre 5 – Calcul du facteur de puissance en mode monophasé
5.1 Schémas de principe, notations de base et hypothèses de développement.
5.1.1 Schéma de principe d’un onduleur
5.1.2 Définition de quelques paramètres
5.2 Éléments importants de développements
5.3 Développement en série de Fourier pour le calcul spectraL
• Calcul des coefficients harmoniques pour m différent de 1
5.4 Modèle fmal
5.5 Présentation des résultats obtenus
5.6 Conclusion
Chapitre 6 – Calcul du facteur de puissance en mode triphasé
6.1 Schéma de base et développements mathématiques
6.1.1 Schéma de montage et formes d’ondes
6.1.2 Développements mathématiques
6.2 Expression de la tension aux bornes de la capacité
2 6.2.1 Calculde Ia2iu(n- j)
6.2.2 Calcul de Ia2iu »(n – j)
6.3 Calcul des courants
6.3.1 Expressions des grandeurs en fonction de la variable discrète n
6.3.2 Expressions des grandeurs électriques en fonction de la
variable t
6.4 Développement en série de Fourier
6.4.1 Développent des séries de Fourier pour zéro trou
6.4.2 Développent des séries de Fourier en présence de roues libres
6.4.3 Calcul de Sa+Sb et formulation générale pour q trous et pour m diffèrent de 1
6.5 Modèle mathématique final
6.6 Résultats obtenus, représentation graphique
6.7 Conclusion et améliorations proposées
Chapitre 7 – Étude du dual MLIIMDI-MLI
7.1 Introduction
7.2 Le dual MDI-ML!
7.2.1 Développement théorique de la technique MU
7.3 Quelques résultats obtenus avec l’algorithme génétique
7.3.1 Analyse des premiers résultats
7..3.2 Autre méthode: application d’une erreur au zéro
7.3.3 Analyse et autres résultats
7.4 Formulation de la MDI-MU
7.5 La MDI courant
7.6 Conclusion
Chapitre 8 – Résultats de simulation – comparaison avec le modèle mathématique
8.1 Introduction
8.2 Configuration du modèle Simu/ink
8.2.1 Convertisseur monophasé
8.2.2 Convertisseur triphasé
8.3 Résultats de simulation: graphiques
8.3.1 Modèle monophasé
8.3.2 Modèle triphasé
8.4 Analyse des résultats
8.5 Conclusion
Chapitre 9 – Conclusion générale et suite des travaux
Bibliographies
Annexe A – Formulation détaillée du facteur de puissance pour le cas de la
MDI dans le convertisseur monophasé. Nombre de trous quelconque
Annexe B – Formulation détaillée du facteur de puissance. Application au
système triphasé