Méthodes d’interpolation par partitionnement de l’espace

La production de l’énergie électrique à partir de l’énergie hydraulique est assurée par des turbines hydroélectriques et des génératrices synchrones. Ces équipements sont coûteux de telle sorte que les utilisateurs les exploitent à la limite de leurs spécifications pour des raisons concurrentielles, économiques et environnementales. Ne pas avoir des données expérimentales précises pourra facilement réduire dans un premier temps l’estimation de la fiabilité résiduelle de la turbine hydroélectrique, et dans un second temps augmenter les risques de défaillances et engendrer des coûts d’exploitation supplémentaires suite à des arrêts pour des réparations. En revanche, le fait de mesurer plus précisément la charge appliquée permet de prédire avec un bon niveau de confiance le niveau de dommage et l’espérance de vie subsistante de la turbine. Ces deux paramètres seront par la suite les intrants clés dans un programme de gestion des risques.

Également, la variation, cyclique ou aléatoire, des besoins énergétiques (jour, saison, heures de pointe et la demande supplémentaire causée par l’ouverture du marché) a pour conséquence une utilisation non constante des turbines hydroélectriques. Ces modes de production intermittents engendrent une augmentation du nombre des régimes transitoires, non stationnaires : le démarrage (chargement) et l’arrêt (déchargement) de la turbine. Or, c’est précisément ces régimes qui peuvent induire le plus de dommage en fatigue. Ainsi, pour répondre aux besoins énergétiques quotidiens, les producteurs d’hydroélectricité augmentent considérablement le risque de défaillance de la turbine. En effet, la plus part des turbines ont été conçues lors de leur conception pour des cycles journaliers et non pas pour plusieurs cycles pendant la même journée. Le fait d’alterner le chargement et le déchargement favorise l’avancement des fissures et augmente par conséquent la probabilité de rupture de production de ces équipements suite à des endommagements.

Splines 

Les splines sont des fonctions qui minimisent l’énergie de flexion sous certaines contraintes d’ajustement (Dubrule, 1983). On distingue essentiellement deux types de splines : les splines d’interpolations qui obligent la courbe de passer par tous les points de mesures et les splines de lissages qui passent à proximité de toutes les mesures sans être forcées de passer par tous ces points (Matheron, 1975).

Les travaux de Hastie (Hastie, 1990) ont abouti à des fonctions qui permettent la représentation d’une spline dans l’espace bidimensionnel tout en contrôlant le passage à proximité des points des mesure de façon à minimiser la courbure. On note aussi l’existence de plusieurs variantes comme les splines multi-quadratiques de Hardy (Hardy, 1971) et les splines régularisées avec tension (Ripley B.D 1981). Finalement, on mentionne les splines laplaciennes étudiées également par Hastie et qui utilisent des sous-modèles linéaires pour effectuer une interpolation spatiale multivariable.

Krigeage

Le krigeage est une méthode d’interpolation spatiale qui tient compte de la structure de dépendance spatiale des données (Trochu, 2003). Cette méthode a été proposée pour la première fois par l’ingénieur minier D.G. Krige (Krige, 1952), d’où découle le mot krigeage. Ensuite, des travaux ont été poursuivis pour développer toute la théorie du krigeage à l’École des Mines de Paris par le mathématicien français Matheron (Matheron, 1969). Pendant les années 1960-1970, cette méthode d’estimation était utilisée dans le domaine minier pour évaluer la teneur de gisements. Au cours des années 1980, on a utilisé le krigeage en cartographie numérique et en modélisation géométrique. À partir des années 1990, on avait commencé à appliquer le krigeage dans divers domaines : pétrolier, environnemental et mécanique (Bourgeois 2006).

Le krigeage se caractérise par une interpolation non biaisée tout en conservant une variance minimale. Les poids des coefficients de krigeage dépendent de la localisation des observations et surtout de leurs structures de dépendance spatiale. La structure de dépendance de la fonction aléatoire est déterminée à partir de l’étude variographique à travers le modèle du semivariogramme.

Plusieurs types de krigeage ont été étudiés en littérature (Cressie, 1990) : le krigeage simple (KS) avec une dérive constante et connue partout sur le domaine d’étude, le krigeage ordinaire (KO) avec une dérive constante et inconnue (supposée constante et connue juste au voisinage de la mesure à estimer) et finalement le krigeage universel (nommé aussi le krigeage avec tendance) (Bourennane et al., 1996) où la dérive n’est pas stationnaire.

De plus, on trouve le krigeage factoriel qui est utilisé pour séparer la composante de courte portée de celle de longue portée (Laporterie et al., 2000). Aussi, ce krigeage a été appliqué pour distinguer des anomalies géochimiques (Chilès et Delfiner, 2012) et pour filtrer les données radar et le renforcement des relations avec les caractéristiques du terrain et la topographie (Laporterie et al., 2000).

Il existe d’autres types de krigeage non linéaire qui appliquent des transformations non linéaires aux données initiales. On pourra citer par exemple le krigeage log normal (Marcotte et Groleau, 1997) qui fait subir une transformation logarithmique aux données dans le but de travailler dans un espace quasi-linéaire. On trouve aussi le krigeage par indicatrice (SuroPérez et Journel, 1991) qui se distingue par une fonction de répartition représentée sous forme discrète. Chaque seuil de cette fonction de répartition est exprimé par une indicatrice et un variogramme différent, ce qui pourra augmenter la possibilité d’incohérence dans les modélisations puisqu’on perd de l’information en réduisant l’ensemble conditionnant. Dans ce cas, la modélisation du semivariogramme est complexe et entraine par conséquence des simplifications abusives. Enfin, ce type de krigeage est utilisé pour des variables catégoriques où on contrôle des variables continues par des variables discrètes. Finalement, on trouve le krigeage disjonctif (Liao, 1990; Rivoirard, 1994) avec des transformations polynomiales spéciales et des lois bivariables isofactorielles.

Le krigeage peut aussi être utilisé dans des cas multi variés qu’on désigne en littérature scientifique par le cokrigeage (Marcotte, 1991a). En effet, la variable estimée s’écrit sous la forme d’une combinaison linéaire pondérée à la variable primaire et des variables auxiliaires ou secondaires. (Goovaerts, 2000b) et (P. Bosser, 2011), montrent que pour estimer plus précisément la mesure recherchée dans le cas du cokrigeage, il faut minimiser l’erreur quadratique moyenne. En revanche, le cokrigeage fait appel à la construction d’un semivariogramme croisé, une tâche qui n’est pas évidente en général (Bourgault et Marcotte, 1991).

Simulations stochastiques 

En variant la fonction aléatoire, on génère des simulations stochastiques qui restituent cette variabilité (Caers, 2011). Contrairement au krigeage qui n’utilise que les deux premiers moments (espérance et variogramme), la simulation va bien au-delà en simulant une fonction aléatoire entière. Les simulations sont nécessaires pour tout problème impliquant des transformations non linéaires des variables mesurées. En fait, elles sont intéressantes parce qu’elles utilisent l’information inconnue à partir d’un ensemble à priori supposé connu. Il existe plusieurs techniques et algorithmes pour générer des simulations stochastiques conditionnelles. Parmi les méthodes utilisées, on distingue les approches qui nécessitent des transformations gaussiennes de celle non gaussiennes, qui ne nécessitent aucune transformation.

Parmi une panoplie de méthodes gaussiennes, certains génèrent des fonctions aléatoires conditionnées par les données mesurées en se basant sur la décomposition de Cholesky de la matrice de covariance, les moyennes mobiles , les méthodes autorégressives, les méthodes fréquentielles et la méthode des simulations séquentielles (Andre G. Journel 1998; Froidevaux, 2004; King, 2000) .

La méthode de simulation matricielle (LU, Décomposition de Chlosky) est une méthode simple à programmer et elle est efficace pour simuler des petits champs d’étude. Elle est utilisée pour les simulations conditionnelles ainsi que non conditionnelles (Webster, 2007). Cette méthode est rapide, car elle nécessite une seule inversion de matrice. En revanche, sa matrice de covariance doit être non singulière pour pouvoir effectuer la décomposition de Cholesky (une mesure à simuler ne doit pas se coïncider avec une observation).

La méthode des bandes tournantes (Matheron, 1969) peut être vue comme une généralisation de la méthode spectrale utilisée par (Alfaro-Sironvalle 1979) pour simuler des champs gaussiens. Elle présente l’avantage de pouvoir s’appliquer à des champs aussi bien stationnaires qu’à des accroissements stationnaires, définis dans des espaces de dimension quelconque, et à des domaines de simulation de taille et de forme arbitraires. Malgré que cette méthode soit la plus efficace en espace mémoire et temps de calcul, elle nécessite un post conditionnement, une étude de l’anisotropie et la programmation de plusieurs structures imbriquées.

Les moyennes mobiles (Journel A.G. , 1981) et l’analyse spectrale (Mantoglou et Wilson, 1982) sont des approches directes qui reposent sur la factorisation de la fonction de covariance et sur le théorème de Bochner (Bochner 1960). Ces méthodes nécessitent la méthode des bandes tournantes (Matheron 1973) lors de la modélisation dans Rn.

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Table des matières

INTRODUCTION 
CHAPITRE 1 REVUE DE LITTÉRATURE 
1.1 Méthodes déterministes
1.1.1 Méthodes barycentriques
1.1.2 Méthodes d’interpolation par partitionnement de l’espace
1.1.3 Splines
1.2 Méthodes probabilistes
1.2.1 Régression linéaire
1.2.2 Krigeage
1.2.3 Simulations stochastiques
CHAPITRE 2 CADRE THÉORIQUE 
2.1 Variable aléatoire et fonction aléatoire
2.2 Semivariogramme
2.2.1 Construction du semivariogramme expérimental
2.2.2 Modélisation du semivariogramme expérimental
2.3 Krigeage
2.3.1 Krigeage simple (KS)
2.3.2 Krigeage ordinaire (KO)
2.3.3 Krigeage universel (KU)
2.4 Simulations stochastiques
2.4.1 Simulations séquentielles conditionnelles (SSCs)
2.4.2 Simulations gaussiennes conditionnelles (SGCs)
CHAPITRE 3 HYPOTHÈSES RETENUES 
CHAPITRE 4 MÉTHODOLOGIE EXPÉRIMENTALE 
4.1 Paramétrisation surfacique
4.2 Transformation gaussienne
4.3 Construction du semivariogramme expérimental
4.4 Krigeage
4.5 Simulations stochastiques
CHAPITRE 5 RÉSULTATS ET INTERPRÉTATIONS 
5.1 Premier cas d’étude : l’éprouvette à encoches
5.1.1 Analyse variographique
5.1.1.1 Zone d’étude
5.1.1.2 Transformation gaussienne
5.1.1.3 Influence de la direction de recherche des paires des données
5.1.1.4 Ajustement du semivariogramme théorique
5.1.1.5 Validation croisée
5.1.2 Krigeage
5.1.3 Simulations conditionnelles
5.1.3.1 Comparaison entre les SGCs et les SSCs
5.1.3.2 Validation statistique des résultats des simulations conditionnelles
5.1.3.3 Analyse des résidus de la moyenne de 500 simulations conditionnelles
5.2 Deuxième cas d’étude : aube d’une turbine hydraulique
5.2.1 Paramétrisation surfacique
5.2.1.1 Paramétrisation d’un maillage triangulaire
5.2.1.2 Paramétrisation de l’aube d’une turbine
5.2.2 Analyse variographique
5.2.3 Krigeage
5.2.4 Simulations stochastiques
CONCLUSION

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