Méthodes de Galerkin stochastiques adaptatives pour la propagation d’incertitudes paramétriques dans les modèles hyperboliques

Les incertitudes en simulation numérique

Classiquement, les erreurs intervenant dans les simulations peuvent être regroupées en trois grandes catégories (Soize) :
Les erreurs de modélisation : les simulations sont basées sur la résolution de modèles mathématiques censés restituer les caractéristiques essentielles du système à étudier. Souvent, des simplifications physiques sont utilisées pour faciliter la résolution du modèle mathématique, basées sur l’analyse du problème ou sur certaines hypothèses. Le modèle obtenu n’est par conséquent pas capable de reproduire exactement le comportement du système réel.
Les erreurs numériques : le modèle mathématique sélectionné est résolu en utilisant des techniques de discrétisation et des algorithmes appropriés. La résolution numérique du modèle fournit en général une approximation de la solution exacte du modèle et introduit donc une erreur numérique. Celle-ci peut être contrôlée et réduite à un niveau arbitrairement bas, au moins en théorie, en utilisant des discrétisations plus fines ou des ressources de calcul plus importantes. Les erreurs sur les données : le modèle mathématique fait intervenir un ensemble de données qui spécifient les caractéristiques du système simulé : conditions aux limites, conditions initiales, constantes physiques, géométrie, forçages extérieurs. Dans beaucoup de cas, les données ne peuvent pas être spécifiées avec une grande précision, soit pour des raisons expérimentales (erreurs de mesure), soit à cause de certaines limitations dans la connaissance du système ou du fait d’une variabilité intrinsèque irréductible.
On s’est intéressé dans ce travail à la dernière catégorie d’incertitudes. En particulier, on s’est attaché à développer des méthodes permettant de caractériser l’impact d’une connaissance imprécise des données en entrée sur la réponse du modèle.

Méthodes déterministes

Bien qu’on ne s’intéresse pas à cette classe de méthodes dans ce manuscrit, on présente ici une courte revue de quelques techniques déterministes pour la propagation d’incertitudes. Méthodes de perturbation Les méthodes de perturbation, abondamment utilisées dans de nombreux domaines de l’ingénierie (Kleiber et Hien), sont basées sur un développement tronqué des processus aléatoires via des séries de Taylor autour de leur valeur moyenne. Typiquement, des développements du second ordre au plus sont utilisés car le système d’équations résultant devient extrêmement complexe pour des degrés plus élevés. Une limitation inhérente à ces méthodes est que l’ampleur des incertitudes, aussi bien en entrée qu’en sortie, ne peut être trop large, car autrement ces méthodes ne se comportent pas bien.
Méthode des moments Dans cette approche, on tente de calculer les moments statistiques de la solution stochastique directement. Les inconnues sont les moments statistiques de la solution, et leurs équations sont directement dérivées en intégrant les équations du modèle. Par exemple, l’espérance est déterminée en intégrant ces équations sur le domaine stochastique. La difficulté essentielle réside dans la fermeture des termes couplant les équations sur les différents moments statistiques de la solution.
Méthodes basées sur les opérateurs Ces méthodes sont basées sur la manipulation des opérateurs stochastiques dans les équations du modèle. Elles incluent le développement de Neumann, qui exprime l’inverse de l’opérateur stochastique par série de Neumann (Shinozuka et Deodatis , Yamazaki et al.) et la méthode d’intégration à poids (Deodatis et Shinozuka ). De façon similaire aux méthodes de perturbation, ces méthodes sont également limitées à des petites incertitudes. Leur application est souvent fortement dépendante de l’opérateur sous-jacent et est typiquement limitée aux problèmes linéaires ou faiblement non-linéaires.

Chaos Polynomial généralisé (gPC)

On peut se demander s’il n’existe pas d’autres familles de polynômes orthogonaux conduisant à une erreur de représentation plus faible pour le même nombre de termes dans le développement en PC. On peut ainsi remarquer que si U est une variable aléatoire gaussienne, alors la base PC de Hermite est optimale, puisque le développement avec No = 1 fournit une représentation exacte. Cette remarque peut être généralisée : le développement polynomial optimal sera celui construit en utilisant la mesure correspondant à la loi de probabilité de la variable aléatoire que l’on cherche à représenter. Cependant, la loi de probabilité de U n’est généralement pas connue a priori, c’est pourquoi on choisit classiquement de générer la base PC à partir de la mesure associée aux données incertaines que l’on veut propager dans le modèle.
Suivant cette idée, si l’incertitude d’entrée correspond à une variable aléatoire uniformément distribuée sur un intervalle fini donné, on choisira la base générée par des variables aléatoires uniformément distribuées sur, ce qui conduit aux polynômes de Legendre, définis par convention par rapport à l’intervalle de référence (cf par exemple le livre de Abramowitz et Stegun ). Plus  généralement, Xiu et Karniadakis ont montré que pour de nombreuses lois de probabilité, les familles de polynômes correspondantes, appelées Chaos Polynomiaux généralisé (gPC), sont déterminées par le schéma de Askey . Dans le cas de mesures pour lesquelles on ne dispose pas d’une famille orthogonale de polynômes, il est en général possible de recourir à une construction numérique de la base PC selon une procédure d’orthogonalisation de Gram–Schmidt (cf par exemple Stoer et Bulirsch ). Enfin, on notera que l’expression des PC multidimensionnels en termes de produits de polynômes unidimensionnels présente l’avantage de s’étendre naturellement au cas où les variables aléatoires ξi sont indépendantes et associées à des mesures différentes.

Méthodes non-intrusives

On appelle méthodes non-intrusives les méthodes basées sur un ensemble de résolutions du modèle déterministe, correspondant à des réalisations de ξ, afin d’approcher les modes stochastiques de la solution. Le code de calcul du modèle déterministe peut ainsi être utilisé en boîte noire, en associant à chaque réalisation des paramètres la solution du modèle correspondant. L’avantage principal de ces méthodes est que les codes existants ne nécessitent aucune adaptation particulière.
De plus, il est en général possible de planifier les simulations de modèles déterministes, de sorte que l’exécution peut être menée en parallèle. Ces caractéristiques rendent les méthodes non-intrusives très attrayantes pour la propagation d’incertitudes paramétriques dans les modèles complexes, les applications industrielles et les situations où l’on a uniquement accès à des codes déterministes.
Le coût numérique des méthodes non-intrusives est essentiellement proportionnel au nombre de résolutions du modèle déterministe nécessaires pour construire l’approximation. Ce nombre peut s’avérer très important, en particulier lorsque le nombre N de variables aléatoires dans la paramétrisation est grand (problème de la dimensionnalité). Ce problème se pose aussi pour les méthodes de Galerkin (intrusives) . Par conséquent, de nombreux travaux de recherche visent à réduire la complexité de ces méthodes. On dresse ci-après un bref panorama des différentes stratégies non-intrusives disponibles dans la littérature. Pour simplifier, on se restreint au cas de variables aléatoires à valeurs scalaires ; l’extension à des cas plus généraux (vecteurs et processus) ne pose pas de difficultés.

Méthodes de Galerkin (intrusives)

Contrairement aux méthodes non-intrusives basées sur des réalisations individuelles pour déterminer la réponse du modèle stochastique aux entrées aléatoires, les méthodes de Galerkin sont basées sur un formalisme de résidus pour construire des systèmes d’équations gouvernant les modes stochastiques {uα}α∈{1,…,P}. De telles méthodes sont dites intrusives puisqu’elles nécessitent dans une certaine mesure la réecriture du code de calcul déterministe. La projection de Galerkin est un outil classique pour la résolution des problèmes spectraux et dans la formulation des méthodes d’éléments finis (voir par exemple le livre de Ern et Guermond [28]).
Dans le contexte stochastique, elle fut proposée par Ghanem et Spanos comme méthode de calcul pour déterminer le développement en PC de la solution d’équations linéairesstochastiques. On se place dans le cadre général d’un problème de propagation d’incertitudes . On rappelle qu’on a fait l’hypothèse que ce problème est bien posé, en d’autres termes, que la loi de probabilité des données est telle que le problème mathématique M(U(ξ), D(ξ)) = 0 a presque sûrement une unique solution dans un espace fonctionnel adéquat que l’on note V , supposé indépendant de l’événement aléatoire. En notant S ≡ L2 (Ξ, pξ) l’espace stochastique de second ordre, l’espace fonctionnel dans lequel chercher la solution stochastique U  est alors l’espace produit V ⊗ S. La solution stochastique U est approchée dans un sous-espace V ⊗S P sous forme d’un développement stochastique en PC U P(ξ) donné. La projection de Galerkin nécessite deux étapes: la première est l’introduction du développement tronqué de la solution dans le problème stochastique, la deuxième est la projection de l’équation stochastique ainsi obtenue sur la base du développement en PC afin d’obtenir un ensemble d’équations que les modes stochastiques doivent satisfaire. On appellera U P la solution de Galerkin du système couplant les modes stochas-tiques.

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Table des matières

1 Introduction 
1.1 Propagation et quantification des incertitudes 
1.1.1 Les incertitudes en simulation numérique
1.1.2 Cadre probabiliste et paramétrisation
1.1.3 Propagation d’incertitudes
1.2 Méthodes spectrales stochastiques 
1.2.1 Chaos Polynomial de dimension finie
1.2.2 Application à la propagation d’incertitudes
1.2.3 Méthodes non-intrusives
1.2.4 Méthodes de Galerkin (intrusives)
1.3 Systèmes hyperboliques 
1.3.1 Systèmes hyperboliques déterministes
1.3.2 Systèmes hyperboliques stochastiques
1.3.3 Méthodes spectrales stochastiques : principales difficultés et état de l’art
1.4 Description des travaux 
I Solveur de Roe stochastique 
2 Conception et analyse du solveur 
2.1 Projection de Galerkin 
2.1.1 Rappel du cadre probabiliste pour les incertitudes paramétriques
2.1.2 Discrétisation stochastique
2.1.3 Le système de Galerkin
2.1.4 Calcul des non-linéarités
2.2 Hyperbolicité du système de Galerkin 
2.2.1 Systèmes hyperboliques stochastiques symétriques
2.2.2 Vecteurs propres indépendants de l’incertitude
2.2.3 Cas général
2.3 Approximation en espace et en temps 
2.3.1 Matrice de Roe et état de Roe
2.3.2 Une méthode efficace pour approcher la valeur absolue d’une matrice
2.3.3 Le schéma de décentrement
2.4 Correcteur entropique
2.4.1 Principes généraux
2.4.2 Application directe au système de Galerkin
2.4.3 Adaptation au système de Galerkin
3 Résultats numériques 
3.1 Burgers 
3.1.1 Cas test 1 : vitesses des ondes positives
3.1.2 Cas test 2 : vitesses des ondes positives et négatives
3.1.3 Cas test 3 : point sonique
3.2 Euler 
3.2.1 Cas test 4 : tube à choc sans point sonique
3.2.2 Cas test 5 : tube à choc avec point sonique
3.3 Conclusion 
II Adaptation stochastique 
4 Outils d’Analyse Multi-Résolution 1D
4.1 Analyse Multi-Résolution Multi-Ondelettes
4.1.1 Ingrédients de base
4.1.2 Système orthogonal MW d’Alpert
4.1.3 Seuillage
4.1.4 Complétion à la Harten
4.2 Arbres binaires 
4.2.1 Principales définitions
4.2.2 Grille associée à un arbre binaire
4.2.3 Espace d’approximation stochastique associé à un arbre binaire
4.2.4 Inclusion d’arbres
4.3 Adaptation à une fonction connue 
4.3.1 Principe
4.3.2 Aspects algorithmiques
4.3.3 Résultats
4.4 Synthèse
5 Solveur de Roe adaptatif 1D 
5.1 Aspects algorithmiques 
5.1.1 Présentation générale du solveur de Roe adaptatif
5.1.2 Union d’arbres binaires
5.1.3 Opérateurs de restriction et de prédiction
5.1.4 Élagage et enrichissement d’arbres
5.2 Application aux équations d’Euler
6 Extension au cas multidimensionnel 
6.1 Arbres binaires multiD 
6.1.1 Indicateur directionnel de partition
6.1.2 Arbres équivalents
6.1.3 Union d’arbres binaires multiD
6.1.4 Opérateurs de restriction et de prédiction
6.2 Elagage et enrichissement 
6.2.1 Elagage anisotrope
6.2.2 Enrichissement isotrope
6.3 Application à l’équation de Burgers 
6.3.1 Cas test 1 : vitesse des ondes positives
6.3.2 Cas test 2 : vitesses des ondes positives et négatives
7 Conclusion et perspectives 
Bibliographie

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