Soutenance mémoire
L’optimisation est un sujet très ancien qui connait un nouvel essor depuis l’apparition des ordinateurs et dont les méthodes s’appliquent dans de très nombreux domaines : planification, économie, gestion, sciences de l’ingénieur, conception optimale, traitement de signal, etc. C’est aussi un sujet très vaste qui conduit aussi bien au calcul des variations qu’a la recherche opérationnelle. On peut classer l’optimisation en deux grandes branches selon que les variables sont continues ou discrètes.
Historiquement, d’anciens grands philosophes et mathématiciens comme Pythagore, Platon, Aristote sont fondées la base de l’optimisation pour chercher l’extremum (minima et maxima) des nombres, des fonctions ou des systèmes. A l’époque l’optimisation est une discipline mathématique qui est nécessaire à la résolution de l’équation df = 0 ou plus exactement pour trouver un optimum local de la fonction : Pierre Fermat en 1601 à 1665. Et en 1940 les premiers principes des méthodes des éléments finis ont été proposés par le Mathématicien Richard Courant [1]. Puis dans les années 1950-1960 les mécaniciens ont développés, démontrés l’efficacité de cette méthode qui fait appel à l’optimisation sans contraintes. Particulièrement, pour les problèmes sans contraintes, on considère les algorithmes de relaxation de Newton, du gradient ou du gradient conjugué tandis que l’autre avec contrainte, on envisagera la méthode d’UZAWA et la méthode des éléments finis.
Dans le présent mémoire, nous avons utilisés une méthode des Lagrangien pour la résolution des équations de STOKES en utilisant la méthode des éléments finis. Ces équations sont caractérisées par les équations aux dérivées partielles sous l’existence des conditions aux limites dont les inconnues sont les vitesses et les pressions du fluide newtonien. Les résolutions des équations de Stokes, seront donc ramenées à l’optimisation avec contrainte. Notre étude porte sur la modélisation numérique à l’écoulement bidimensionnel d’un fluide entre deux cylindres non concentriques.
MAILLAGES
Définition 15(Maillage)
Un maillage est la discrétisation spatiale d’un milieu continu, ou aussi, une modélisation géométrique d’un domaine par des éléments proportionnés finis et bien définis. L’objet d’un maillage est de procéder à une simplification d’un système par un modèle représentant ce système et, éventuellement, son environnement (le milieu), dans l’optique de simulations de calculs ou de représentations graphiques. Il existe des logiciels de maillage (couramment appelés mailleurs) qui est fréquemment employé en simulation numérique dans la construction du modèle géométrique, avant sa résolution par un code de calcul par exemple : Gmsh (logiciel libre de maillage par éléments finis). Les maillages 2D permettent de partitionner un espace plan en un ensemble de triangles, ce qui permet alors de passer d’un espace continu à un espace discret [6]. Ceci pourra être utilisé par exemple en informatique graphique et en conception assistée par ordinateur pour représenter et manipuler des objets tridimensionnels. On peut également utiliser un maillage pour approximer une fonction dont on ne peut pas connaitre une forme analytique : c’est notamment le cas pour la résolution de certaines équations différentielles.
MATERIELS ET METHODES
MATERIELS
Divers logiciels sont accessibles pour la résolution numérique de l’équation de Stokes mais nous avons utilisé le Gmsh et le Matlab pour effectuer notre étude :
A-GMSH
GMSH :(GeometryMeshSolver Post-processing), est un logiciel libre développé par Geuzaine et Remacle en 2009.On peut l’exécuter soit avec Linux, Windows et Mac Os.Gmsh est indispensable pour le maillage de notre domaine d’étude [6].
B-MATLAB
MATLAB est une abréviation de MATrix LABoratory. C’est un langage de développement informatique particulièrement dédié aux applications scientifiques dont il est utilisé pour développer des solutions nécessitant une très grande puissance de calcul. L’intérêt de Matlab est de pouvoir travailler sur des fichiers d’extension « .m » contenant des suites de commandes (créés avec un simple éditeur de texte) et lancé par leur nom (sans extension) comme une commande. L’utilisation du logiciel consiste à lancer des lignes de commandes, qui peuvent le plus souvent s’apparenter à de la programmation en C. Associé à Simulink (commande lancée sous Matlab), il devient un outil graphique très simple d’utilisation pour la simulation de processus (programmation par copier/coller de blocs fonctionnels). Par convention les commandes MATLAB apparaissent dans le texte dansunefonte<<true-type>. Matlab est constitué des plusieurs fenêtres (dépend de la version) dont le principal est la fenêtre de commande (Command Window) associée à l’espace de travail (Workspace).. C’est également dans cet espace de travail qu’on peut définir toutes les variables utilisées par Matlab.
L’existence de commande <<point-virgule>>’;’ en dernière empêche l’affichage du résultat qui est nécessaire lorsque le résultat est un vecteur de grande taille.
METHODES DES ELEMENTS FINIS
Definition 16( MEF )
La Méthode des Eléments Finis (MÉF) fait partie des outils de mathématiques appliquées et permet de résoudre de manière discrète et approchée ce problème ; on cherche une solution approchée « suffisamment » fiable. Il s’agit de mettre en place, à l’aide des principes hérités de la formulation variationnelle ou formulation faible, un algorithme discret mathématique permettant de rechercher une solution approchée d’une équation aux dérivées partielles (ou ÉDP) sur un domaine compact avec conditions aux bords (conditions aux limites) [7] . Puis grâce à la formulation variationnelle, les solutions du problème vérifient des conditions d’existence plus faibles que celles des solutions du problème de départ et où une discrétisation permet de trouver une solution approchée [8]. Comme de nombreuses autres méthodes numériques, outre l’algorithme de résolution en soi, se posent les questions de qualité de la discrétisation :
➤ existence de solutions
➤ unicité de la solution
➤ stabilité
➤ convergence
➤ mesure d’erreur entre une solution discrète et une solution unique du problème initial .
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Table des matières
INTRODUCTION
CHAPITRE I : GENERALITES
I-I-OPTIMISATIONS
I-I-1- Notations
I-I-2- Quelques définitions
I-I-3- Existence d’un minimum en dimension finie
I-I-4- Analyse convexe
I-I-5- Condition d’optimalité
I-I-6- Méthode de pénalisation
I-I-7- Algorithmes
I-II-ETABLISSEMENT DES EQUATIONS DE STOKES
I-III- MAILLAGES
I-III-1-Définition 15(Maillage)
I-III-2-Triangulation
CHAPITRE II- MATERIELS ET METHODES
II-I- MATERIELS
A-GMSH
B-MATLAB
II.II- METHODES DES RESOLUTIONS DES EQUATIONS DES STOKES
A- MAILLAGE DE DOMAINE D’ETUDE
B- FORMULATIONS VARIATIONNELLES DU PROBLEME DE STOKES
C- LES LAGRANGIENS
D- ALGORITHME D’UZAWA
E- METHODES DES ELEMENTS FINIS
CHAPITRE III- RESULTATS ET DISCUSSION
III-I-RESULTATS
III-II-DISCUSSION
CONCLUSION
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
ANNEXES
ANNEXE A
ANNEXE B
