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Méthode des Différences Finies Temporelles FDTD-2D
Définitions et Concepts sur les Cristaux Photoniques
Pendant la dernière décennie, les cristaux photoniques (CPs), également connus sous le nom de structures à bandes interdites photoniques avec l’abréviation BIP (en anglais, Photonic Band Gap : PBG), ont été sujets à plusieurs travaux de recherches. Ces structures sont des systèmes très prometteurs pour des applications dans le domaine des ondes électromagnétiques, pour de réelles réalisations dans le domaine des micro-ondes, l’optoélectronique et les télécommunications optiques. Plusieurs travaux ont été réalisés sur les semi-conducteurs profitant des avancées technologiques en microélectronique. L’objectif de ce chapitre est de présenter les concepts de base liés aux cristaux photoniques, les différents types de CPs, leurs grandeurs caractéristiques géométriques et physiques, techniques de modélisation et le domaine des applications optiques qui peuvent résulter de ces matériaux.
Les cristaux photoniques (CPs) sont des matériaux dont l’indice de réfraction est modulé périodiquement selon une ou plusieurs dimensions de l’espace (Figure I. 1) [1, 2]. Ces structures peuvent être obtenues par un arrangement périodique de deux matériaux différents. Leur forme la plus simple est une structure périodique à une dimension composée d’un empilement de couches également appelé « miroir de Bragg ». La généralisation de ce concept peut être étendu en deux et à trois dimensions. Autrement dit, ces matériaux ont la capacité d’inhiber la propagation de la lumière dans certaines directions pour une gamme de fréquences bien déterminée appelée : la bande interdite photonique (BIP). Cette particularité optique intervient lorsque la longueur de maille du cristal est du même ordre de grandeur que la longueur d’onde de la lumière dans le milieu.
Ce phénomène est dans une certaine mesure analogue à celui de l’ouverture de bandes interdites électroniques dans des cristaux atomiques de matériaux semi-conducteurs. La propriété de ≪ gap ≫ ou ≪ bande interdite ≫ a été initialement montré par Lord Rayleigh en 1887 dans les structures de type miroir de Bragg. La généralisation du concept à deux et trois Dimensions a été initiée en 1987 par Zengerle [3], Yablonovitch [4] et John [5] dans le but de Contrôler l’émission spontanée de la lumière. On peut rencontrer ces structures périodiques dans la nature sous forme minérale comme les opales qui sont des minéraux composés d’arrangements de sphères de silice hydratée. Leurs feux sont dus à la diffraction de la lumière par leur structure de cristal photonique tridimensionnel. L’origine de la coloration de nombreuses espèces animales et végétales provient aussi de motifs périodiques. La coloration bleue des ailes de papillons morpho et des feuilles de certaines variétés de Sélaginelle en sont des exemples [6]. Les couleurs bleu, vert, jaune et marron des plumes de paons proviennent de la diffraction par des cristaux photoniques 2D à nombre et longueur de maille variables (Figure I. 2) [7].
Faible contraste d’indice (approche substrat)
Si la différence d’indice est faible (n2≈n1), la lumière sera faiblement confinée dans le guide et l’étalement du champ optique au-dessus et en dessous du guide sera important. Cette configuration est appelée approche substrat et nécessite une gravure profonde. Le champ s’étendant fortement dans la gaine, le phénomène de bande interdite s’accompagne souvent de couplage avec des modes radiatifs et donc de pertes de lumière dans la direction verticale. Les lignes de lumière des deux milieux étant très proches, le domaine de la relation de dispersion où les modes sont guidés est très étroit. Il est d’ailleurs souvent nécessaire de graver la couche inférieure afin de diminuer son indice de réfraction moyen : en faible contraste d’indice, l’indice moyen de la couche guidante percée de trous d’air pourrait être plus faible que l’indice du substrat non gravé. Les cristaux photoniques membranaires sont généralement fabriqués à partir de matériaux semi-conducteurs. Dans le cas de cristaux basés sur des substrats Silicon On Isolator SOI [12], le contraste d’indice entre la couche guidante de silicium et le substrat de silice est d’environ Δn=2. Pour maximiser le confinement, le substrat semi-conducteur peut être entièrement gravé sous le cristal qui devient une membrane suspendue dans de l’air [13] (Figure I. 9). Le contraste d’indice du guide avec le substrat est alors maximal.
La structure nitrure de Bore
Si un noeud diffère de son suivant par sa nature ou sa dimension, on obtient ainsi la structure cristalline du Nitrure de Bore (Figure I. 15). Celle-ci permet d’obtenir de larges bandes interdites. Pour ouvrir une bande interdite dans le plan ou l’espace, toutes les bandes interdites uni-directionnelles doivent se recouvrir au moins partiellement sur la première zone de Brillouin. Le recouvrement sera maximal si les bandes interdites sont centrées à des énergies proches. La situation la plus favorable est celle où la zone de Brillouin est la plus isotrope possible. Les réseaux qui s’en rapprochent le plus sont les réseaux triangulaires à deux dimensions et les réseaux graphites et les réseaux cubiques faces centrées à trois dimensions. Dans ces structures 2D, ils existent deux types de propagation : dans le plan (in-plane, Kz= 0) et hors plan (off-plane, kz non nul), z et kz sont respectivement l’axe parallèle aux cylindres et la constante de propagation suivant cet axe. En propagation in-plane, on distingue deux modes de polarisations pour les ondes électromagnétiques, la polarisation électrique TE (le champ magnétique ⃗⃗ est parallèle à l’axe z) et la polarisation magnétique TM (le champ électrique ⃗⃗ est parallèle à l’axe z) (Figure I. 16). Le comportement fréquentiel n’est pas forcément identique selon la polarisation. En effet, l’apparition de bandes interdites ainsi que leur largeur et position dépendent du taux de remplissage de la structure, du motif élémentaire et du contraste d’indice.
La structure périodique tridimensionnelle (3D)
Les structures périodiques tridimensionnelles sont périodiques suivant les trois directions de l’espace. Il existe un grand nombre de structures possibles. Auguste Bravais a établi un classement de différentes familles de cristaux. Il a montré que les cristaux peuvent se répartir en sept types de mailles (7 systèmes cristallins) et 14 types de réseaux (réseaux de Bravais). La figure I. 17 montre quelques exemples des cristaux photoniques artificiels en réalité, peu de structures 3D possèdent une bande interdite complète [16]. Théoriquement, il a été montré la présence d’une bande interdite complète dans une structure à symétrie cubique à face centrée (CFC) ou communément appelée structure diamant. L’inconvénient des structures 3D réside dans le fait qu’elles soient difficiles à réaliser expérimentalement. Le principe général des cristaux photoniques était déjà utilisé depuis plusieurs décennies pour la réalisation de miroirs interférentiels, mais c’est à E. Yablonovitch et S. John qu’est due la généralisation à plusieurs dimensions en 1987.
On y voit alors un moyen d’inhiber, l’émission spontanée pour surmonter certaines limites des lasers à semi-conducteurs du point (réduction du bruit du seuil). Cependant, les difficultés sont nombreuses de vue de la fabrication, l’élaboration d’un fort contraste d’indice à l’échelle de la longueur d’onde est un problème majeur. À plusieurs dimensions, cette modulation d’indice est généralement réalisée en creusant des trous dans le matériau diélectrique en empilant des billes ou des tiges diélectriques sous une forme appelée « tas de bois ». À cause de ces contraintes technologiques, les premières structures ont été réalisées pour des longueurs d’ondes millimétriques. Dans le domaine de l’optique, il faut le plus souvent recourir à des matériaux semi-conducteurs pour avoir une constante diélectrique suffisamment élevée et il a fallu attendre les progrès des techniques de lithographie et de gravure pour voir apparaître pour la première fois en 1996 des cristaux photoniques avec des longueurs caractéristiques submicroniques. Par ailleurs, du point de vue théorique, les calculs sur des structures bi- et tridimensionnelles sont particulièrement lourds. Comme nous le verrons par la suite, l’existence d’une bande interdite photonique est parmi les propriétés intéressantes des cristaux photoniques bidimensionnels.
Relations de dispersion Pour ouvrir une bande interdite la plus large possible, il faut que la première zone de Brillouin du cristal soit le plus circulaire possible. Parmi les géométries simples qui s’offrent à nous, le réseau triangulaire répond bien à cette condition. De plus, il est relativement aisé de réaliser des trous et, s’ils sont remplis d’air, un fort contraste d’indice est possible. En effet, l’étude de différents cas fait apparaître que la structure triangulaire de trous d’air permet l’ouverture d’une large bande interdite photonique en polarisation « Transverse Electrique » pour les conventions de polarisation TE telle que le champ électrique est perpendiculaire aux cylindres d’air et même une bande interdite complète sous certaines conditions. Ainsi, c’est cette polarisation qui est la plus utilisée dans la littérature pour réaliser des cristaux photoniques bidimensionnels et c’est celle que nous utiliserons dans l’ensemble de ce travail. Un exemple de diagramme de bande pour cette structure est rapporté sur la figure I.18 dans le cas où r/a = 0,43 et = 12 (r étant le rayon des trous, a le paramètre de maille du cristal et la constante diélectrique de la matrice de haut indice). Le calcul est fait le long des axes de haute symétrie de la première zone de Brillouin, sur le circuit Γ-M-K-Γ, en utilisant la méthode des ondes planes. L’énergie des bandes est exprimée en fonction du facteur sans dimension u =a/ λ . Pour la polarisation TE, une large bande interdite apparaît. Par contre, seul un gap réduit est observé pour la polarisation TM (Transverse Magnétique) dans ce cas.
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Table des matières
Introduction général
Chapitre I : Définitions et Concepts sur les Cristaux Photoniques
1. Introduction
2. Définitions
2. 1. 1. Le contraste d’indice δ
2. 1. 2 Les périodes
2. 1. 3. Le facteur de remplissage f
3. Catalogue des cristaux photoniques
3. 1. La structure périodique unidimensionnelle (1D)
3. 2. La structure périodique bidimensionnelle (2D)
3. 2. 1 Les cristaux photoniques bidimensionnels planaires
a) Fort contraste d’indice (approche membrane)
b) Faible contraste d’indice (approche substrat)
3. 2. 2. Différentes familles de cristaux photoniques bidimensionnels
a) Le réseau carré
b) Le réseau triangulaire
c) Le réseau hexagonal
1) La structure graphite
2) La structure nitrure de Bore
3. 3. La structure périodique tridimensionnelle (3D)
4. Relations de dispersion
4. 1. Diagramme de bandes
4. 2. Carte des bandes interdites
4. 3. Bandes interdites complètes
5. Techniques de modélisation
5. 1. La méthode des matrices de transfert
5. 2. La méthode des réseaux de diffraction
5. 3. La méthode des ondes planes (PWE)
5. 4. Différences finies dans le domaine temporel (FDTD)
6. Défauts à l’intérieur d’un cristal photonique
6. 1. Les défauts ponctuels
6. 2. 1. Les cristaux photoniques en géométrie guide d’onde
7. Applications
7. 1. Cristaux photoniques bidimensionnels utilisés comme filtre accordables
7. 2. Filtre routeur add / drop
8. Conclusion
Chapitre II : Méthode des Différences Finies Temporelles FDTD-2D
1. Introduction
2. FDTD à deux dimensions
2. 1. Discrétisation par la méthode des différences finies centrées
2. 2. Stabilité numérique
3. Conditions aux limites
3.1. Conditions de type Mur
3. 2. Conditions symétriques et antisymétriques
3. 3. Conditions d’injection d’une onde
4. La source d’excitation
4. 1. La formulation champ total / champ réfléchi
5. Conclusion
Chapitre III : Le guidage dans les cristaux photonique bidimensionnels
III. 1. Introduction
III. 2. Etude des structures bidimensionnelles sans défaut
III. 2. 1. Structure triangulaire sans défaut
III. 2. 2. Structure carrée sans défaut
III .3. Etude des structures bidimensionnelles avec défaut
III. 3. 1. Conception du guide mono-rangée W1KA
III. 3. 1. 1. Guide W1KA en structure triangulaire
III. 3. 1. 2. Guide W1KA en structure carrée
III. 3. 2. Conception du guide W3KA
III. 3. 2. 1. Conception du guide W3KA en structure triangulaire
III. 3. 2. 2. Conception du guide W3KA en structure carré
III. 4. Conclusion
Chapitre IV : Le filtrage dans les cristaux photonique bidimensionnels
1. Introduction
2. Conception d’un filtre sélectif sans cavité
2. 1. Première topologie
2. 2. Deuxième topologie
2. 3. Troisième topologie
2. 4. Quatrième topologie
3. Conception d’un filtre sélectif avec cavité
3. 1. Première topologie
3. 2. Deuxième topologie
3. 3. Troisième topologie
3. 4. Quatrième topologie
3. 5. Cinquième topologie
3. 6. Sixième topologie
4. Comparaison entre les différents filtres sélectifs réalisés
5. Conclusion
Conclusion Générale
Bibliographie
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