Méthode de Programmation Séquentielle Quadratique

Cette thèse, financée par l’Agence Universitaire de la Francophonie, l’IFSTTAR, la région Rhône Alpes et le gouvernement du Burundi, s’inscrit dans le cadre d’un partenariat entre l’Université Claude Bernard de Lyon I, l’Institut Français des Sciences et Technologies des Transports, d’Aménagement et des Réseaux- Laboratoire Transports et Environnement (IFSTTARLTE), la région Rhône Alpes et l’Université du Burundi.

Sélon Redonnet et Manoha [1], la réduction du bruit et des émissions polluantes des avions s’avère être un des problèmes plus difficiles à controler.

En effet, les diverses nuisances sonores et émissions polluantes que produit un avion au décollage, en croisière ou en approche font intervenir de nombreux mécanismes physiques et énergétiques complexes. C’est ce qui fait de ce problème un défi à la fois scientifique et technique ; la prédiction et la réduction des émissions acoustiques et polluantes pré-supposant une compréhension fine de tous les phénomènes impliqués.

C’est dans ce contexte actuel d’une problématique environnementale et sanitaire de lutte contre les bruits et les émissions polluantes par les avions commerciaux au voisinage des aéroports civils qu’un modèle d’optimisation acoustique des trajectoires et des procédures de vol réduisant le bruit au sol sera développé à travers cette thèse.

Impact environnemental des avions 

Le transport aérien est en croissance continue [2, 3]. Des considérations économiques et environnementales liées à l’augmentation du coût du pétrôle et à la nécessité de préserver l’environnement imposent des contraintes de plus en plus sévères aux gestionnaires du trafic aérien et aux constructeurs des avions. En particulier, les objectifs environnementaux établis par le conseil consultatif ACARE (Advisory Council For Aeronautics Research in Europe) dans sa vision stratégique 2020 représentent un réel défi technique pour les aérodynamiciens (émissions de CO2 et production acoustique réduites de moitié [4, 5]). Les avions circulant à basse altitude sont à l’origine de plus de la moitié des émissions polluantes. La maîtrise de l’impact environnemental d’un aéronef concerne l’émission des gaz à effet de serre contribuant au réchauffement climatique, la production de bruit gênante pour le voisinage des aéroports, voire pour une part plus large de la population si le transport supersonique se développe ; et enfin la présence de sillages tourbillonnaires qui constitue un risque pour les avions suiveurs surtout dans la phase de décollage. Ainsi, la diminution de la consommation de carburant contribue à la réduction de l’émission des polluants tandis que les dispositifs de réduction du bruit peuvent être défavorables aux performances aérodynamiques de l’avion.

Positionnement scientifique 

Dans le contexte actuel de la modélisation mathématique et du calcul scientifique, de nombreux travaux en rapport avec l’optimisation des systèmes dynamiques du transport aérien traitent la minimisation du bruit et la consommation du carburant par les avions commerciaux. Les équations 3D de la dynamique de vol des avions civils sont alors utilisées pour modéliser les trajecetoires de ces derniers en approche sous différentes contraintes physiques et opérationnelles [6]. Par ailleurs, plusieurs modèles peuvent être considérés pour simuler l’évolution dynamique d’un avion commercial en approche. De plus, ces modèles dynamiques qui tiennent compte des niveaux de bruit générés par l’avion et de la consommation du carburant permettent d’estimer les paramètres de vol dans l’objectif de maîtriser l’impact sur l’environnement et que ceci soit pour un avion ou un ensemble d’avions. Différents codes de calcul [7–11] ont été dévéloppés afin de simuler de tels phénomènes d’approche en domaine bidimensionnel. Certains d’entre eux utilisent des méthodes classiques pour la résolution des systèmes algébriques issus des équations différentielles, d’autres utilisent des techniques sophistiquées de méthodes indirectes et de programmation dynamique.

Dans ce travail, il s’agit de mettre en oeuvre un modèle d’optimisation permettant de générer des trajectoires optimales dans le sens où le critère à minimiser est le bruit émis en approche tout en tenant compte des contraintes imposées et en particulier la contrainte énergétique. C’est un modèle de type commande optimale non linéaire et non convexe régi par un système d’équations différentielles ordinaires (ODE). Ce modèle tient compte des équations exactes de la dynamique des avions et de leur variation de masse due à la consommation du carburant. Ce modèle sera réalisé dans le cas de deux avions de même type attérissant sur une même piste. La dynamique de vol, la configuration des avions à l’attérissage [12], la sécurité des appareils, les contraintes physiques, les contraintes opérationnelles, la consommation énergétique forment un modèle qui peut être traité en utilisant les méthodes numériques applicables en optimisation non-linéaire [13] et en commande optimale. Les codes élaborés à ce propos portent sur les modèles 3D en considérant deux avions en approche sans conflit et attérissant de manière successive sur une seule piste.

Méthode de Programmation Séquentielle Quadratique

La méthode de Programmation Séquentille Quadratique « Sequential Quadratic Programming »en anglais est l’une des méthodes les plus efficaces de résolution de problèmes de programmation non-linéaire [29]. Elle est de ce fait très utilisée dans plusieurs travaux de commande optimale[30, 31].

Le principe SQP repose sur une reformulation itérative du problème de programmation nonlinéaire en un problème de programmation quadratique à l’aide d’une approximation quadratique du lagrangien de la fonction objectif et d’une linéarisation des contraintes. La résolution du problème de programmation quadratique se fait alors pour chaque itération. La force de la méthode SQP provient de son caractère « chemin non-réalisable » où la convergence vers la solution optimale est effectuée en partant des points intermédiaires réalisables et non réalisables dans un voisinage du domaine des contraintes. La méthode SQP n’impose le respect des contraintes que pour la solution finale.

Associée à la technique Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno d’estimation de l’inverse de la matrice hessienne, la méthode SQP devient une méthode extrêmement rapide avec une convergence quadratique.

Conditions d’optimalité du problème de contrôle optimal

Le système montre un problème de contrôle optimal avec des contraintes mixtes [35]. En posant x = (y, u), le problème peut être transformé au système suivant :

min J(x(.))
y˙ = f(x)
nj (x) ≤ 0, j ∈ Ξ
nj (x) ≥ 0, j ∈ Γ

Méthode indirecte

Le but principal de ce chapitre concerne une formulation générale de la méthode numérique dite indirecte en se basant sur le principe de maximum de Pontryaguine [40]. Eventuellement, il faut statuer sur son éfficacité lorsqu’elle est appliquée à la résolution d’un problème de commande optimale [41]. En commande optimale, nous considérons une formulation générale avec des contraintes mixtes [7, 24, 42]. La théorie de problème de contrôle optimal est vaste [43]. Les techniques de résolution des problèmes mathématiques d’optimisation dépendent éventuellement de la nature de la fonction objectif et de l’ensemble des contraintes. La méthode dévéloppée est donc la plus courante et surtout la plus utilisée en commande optimale [28].

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Table des matières

Introduction générale
I Méthodes numériques en commande optimale d’un système dynamique
1 Introduction
2 Méthodes directes
2.1 Méthode de Programmation Séquentielle Quadratique
2.1.1 Conditions d’optimalité du problème de contrôle optimal
2.1.2 Méthode de programmation Séquentielle Quadratique
2.1.3 Algorithme PQS
2.2 Algorithme PQS globalisé par Régions de Confiance
2.2.1 Modélisation mathématique du problème d’optimisation par la méthode des régions de confiance
2.2.2 Algorithme TRSQP et analyse de la convergence
2.3 Solveur SQPlab
3 Méthode indirecte
3.1 Problème de commande optimale
3.2 Cadre fini d’un problème de contrôle optimal
3.3 Problème de commande optimale et principe du maximum de Pontryaguine
3.3.1 Coût de la trajectoire associée
3.3.2 Application entrée-sortie, contrôlabilité
3.3.3 Existence de trajectoires optimales
3.3.4 Principe du maximum de Pontryagine
3.3.5 Commande optimale et équations d’Hamilton-Jacobi
4 Solveur KNITRO et méthode des points intérieurs
4.1 Algorithmes de KNITRO
4.2 Une application académique de KNITRO
5 Conclusion
II Modèle de commande optimale d’un avion minimisant le bruit perçu au sol
1 Introduction
2 Modèle aérodynamique d’un avion
3 Modélisation de la fonction-coût par l’avion
4 Modélisation des contraintes d’un avion en approche
5 Problème de commande optimale d’un avion
III Optimisation acoustique de deux avions en approche
Two-Aircraft Acoustic Optimal Control Problem
1 Introduction .
2 Modelization of the two-aircraft optimal control problem
2.1 General Formulation
2.2 The aircraft dynamic
2.3 The objective function
2.4 Constraints
2.5 The explicit formula of the two-aircraft optimal control problem
3 SQP methods and KKT-optimality conditions
3.1 The optimality conditions for the optimal control problem
3.2 SQP Method
3.3 SQP algorithm and added transfomations
3.4 The TRSQP algorithm and convergence analysis
3.5 Analysis of the algorithm and its convergence
4 Numerical experiments and results
5 Conclusion
IV Une méthode directe appliquée à un problème de contrôle optimal des avions en approche
1 A direct method applied to aircraft optimal control problem on approach. RK4 scheme and KNITRO solver
1.1 Introduction
1.2 Mathematical description of the basic equations
1.3 The numerical processing
1.4 Numerics results
1.4.1 Numerics results relative to the first cost function
1.4.2 Numerics results relative to the second cost function
1.5 Conclusion
1.6 Appendix B : Explicit equations for the optimal dynamic system
2 Two-Aircraft optimal control problem. The in-flight noise reduction
2.1 Introduction
2.2 Mathematical description of the basic equations
2.2.1 Aircraft dynamic equations
2.2.2 The objective function model
2.2.3 Constraints
2.2.4 The two-aircraft acoustic optimal control problem
2.3 The numerical processing
2.4 Numerics results
2.5 Conclusion
Conclusion générale

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