Méta-modèles et analyse dimensionnelle au service de la thermique des systèmes multi-physiques

Etat de l’art sur la modélisation thermique des systèmes multi-physiques

Méthodes et approches pour la modélisation thermique 

La modélisation est définie comme la conception d’un modèle. Selon l’objectif et les méthodes employées, le modèle peut être mathématique, physique, empirique, etc. En effet, les approches utilisées pour la construction d’un modèle thermique peuvent prendre différentes formes suivant les méthodes employées. Une première catégorie regroupe les approches basées sur des techniques mathématiques : méta-modèles, surfaces de réponse. La seconde catégorie comprend les méthodes plutôt basées sur la physique du problème étudié : résolution analytique, lois de corrélation, analyse dimensionnelle. Une dernière catégorie peut être les méthodes qui emploient des approches numériques : méthode des éléments ou volumes finis, différences finies.

Approches mathématiques : Méta-modèles, surfaces de réponse 

Comme énoncé précédemment, la modélisation thermique d’un système peut se réaliser à partir d’approches qui utilisent des modèles purement mathématiques pour représenter un système en partie ou dans sa globalité.

Il existe différents cas où l’on peut faire appel aux méta-modèles (Simpson et al., 2001) :
· La connaissance du système est regroupée dans une base de données statistiques et il n’existe pas de modèles mathématiques correspondants.
· Le problème de conception nécessite des essais expérimentaux.
· Le problème de conception est implicite, et il doit être résolu pour obtenir la variable désirée.
· Le problème de conception est résolu à l’aide de simulations numériques (éléments finis ou volumes finis en 3D) qui peuvent prendre plusieurs heures à plusieurs jours de calcul.

Cette thèse s’intéresse plus particulièrement à ce dernier point. La complexité croissante des problèmes industriels posés (augmentation des interactions entre plusieurs disciplines, multiples non linéarité des phénomènes physiques mis en jeu, etc.), a pour conséquence une augmentation considérable du temps de simulation des systèmes étudiés. C’est pour faire face à ces problématiques que les métamodèles ont été développés. En effet, comme le sous-entend le préfix méta, les méta-modèles sont des modèles de modèles (Kleijnen, 1987). Un méta-modèle est donc le modèle simplifié ou approché d’un autre modèle, où la relation entre les variables d’entrée et la variable de sortie sera facilement programmable et aura une expression analytique explicite.

De nos jours, il existe différents types de méta-modèles qui ont chacun leurs avantages et leurs inconvénients plus ou moins handicapants selon les applications. La construction d’un méta-modèle peut se décomposer en plusieurs étapes :
1. Identification des variables influentes du problème ;
2. Réduction du nombre de variables (analyse de sensibilité, hypothèse simplificatrice, etc.) ;
3. Choix de l’expression mathématique ;
4. Choix et construction d’un type de plan d’expériences ;
5. Choix et application d’une méthode de régression pour identifier ses paramètres.

Choix des méthodes de régression pour construire le modèle 

Le choix de la méthode de régression pour construire le modèle dépend essentiellement de la forme mathématique du modèle sélectionné. La construction du modèle équivaut à la détermination des coefficients numériques mis en jeu dans ce modèle. Dans cette perspective, on peut distinguer deux types de modèle : les modèles où la relation entre les coefficients numériques et les variables du modèle est linéaire, et les modèles où cette relation est non-linéaire.

Dans le cas où les modèles font apparaitre une relation linéaire entre les coefficients numériques et les variables, une régression linéaire au sens des moindres carrés est suffisante pour déterminer les coefficients numériques (Montgomery et al., 2001) .

Approches basées sur la physique : analyse dimensionnelle et lois de corrélation

Analyse dimensionnelle 

Dans la littérature on peut trouver différents travaux en conception qui ont fait appel à des méthodes basées plutôt sur le sens physique (Nam, Soban and Mavris, 2005; Balaba and Mavris, 2011). Cet intérêt pour avoir des modèles d’estimation ou des lois de corrélation qui ont un sens physique existe déjà depuis le début du XXème siècle (Vaschy, 1892; Buckingham, 1914) avec l’analyse dimensionnelle et notamment le théorème de Vaschy-Buckingham.

Si l’analyse dimensionnelle permet de réduire le nombre de variables à manipuler, elle requiert néanmoins d’avoir un bon sens physique quant à la construction des nombres adimensionnels dont dépend le problème. De plus, elle est directement liée à l’identification des variables dimensionnelles dont dépend le problème. Il existe deux façons d’obtenir les nombres adimensionnels qui caractérisent un problème (Knudsen and Katz, 1958) :

· Adimensionnalisation des équations : La mise sous forme adimensionnelle du système d’équations du problème considéré permet de faire apparaitre les nombres adimensionnels.
· La ‘’Méthode de Rayleigh’’ : Cette méthode est généralement présentée lors de l’énoncé du théorème de Vaschy-Buckingham. Elle consiste à résoudre un système linéaire d’équations aux dimensions, dans le système SI (M,L,T,θ,N,I,J), à partir des variables physiques du système étudié. Une approche matricielle peut être aussi utilisée pour résoudre le système (Deb and Deb, 1986).

Dans le cadre de la conception préliminaire, la première méthode est difficilement envisageable car on peut avoir affaire à des systèmes complexes où différentes physiques et différents domaines matériaux sont présents ce qui augmentent le nombre d’équations à adimensionnaliser. Les travaux réalisés durant cette thèse s’orienteront donc plutôt vers une application du théorème de VaschyBuckingham (Vaschy, 1892; Buckingham, 1914).

La construction des nombres adimensionnels est une étape qui requiert un bon sens physique car ces nombres doivent représenter au mieux le problème étudié. L’objectif est de rendre compte des phénomènes physiques mis en jeu et de certains aspects géométriques du système étudié au travers de ces nombres. Si tel est le cas, la loi obtenue aura alors du sens et pourra représenter avec précision le problème étudié.

Dans le cas de convection forcée interne, la configuration de refroidissement qui peut être la plus rencontrée dans nos cas d’étude est le cas d’écoulement dans un espace annulaire concentrique. Ce type d’écoulement peut se retrouver lorsque l’on souhaite faire circuler un fluide entre le stator et le rotor d’un moteur électrique pour le refroidir (Hazyuk et al., 2015).

La littérature offre plutôt des abaques sous forme de tableaux où les valeurs de Nusselt sont données en fonction de certains paramètres (longueur d’établissement, diamètre hydraulique, nombre de Prandtl, nombre de Peclet, etc.). Les cas d’écoulement internes sont complexes car l’échange thermique dépend de si l’écoulement est établi ou non (thermiquement et dynamiquement). Dans le cas d’écoulements établis, les travaux de Lundberg ont permis de définir toute une série d’abaques permettant l’estimation des nombres de Nusselt aux parois pour différentes conditions aux limites (Lundberg, McCuen and Reynolds, 1963; Reynolds, Lundberg and McCuen, 1963; R.K. Shah and A.L. London, 1978). Les travaux de Shumway et McEligot ont permis de définir le même type d’abaques pour les cas d’écoulements en cours d’établissement (Shumway and McEligot, 1971).

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Table des matières

Introduction
Contextes et objectifs de la thèse
1 Contexte industriel
1.1 Les actionneurs de commande de vol
1.2 Les systèmes électriques embarqués
2 La conception préliminaire de systèmes multi-physiques
3 Les travaux de l’équipe
4 Plan du mémoire
5 Références
Chapitre I Méta-modèles et analyse dimensionnelle au service de la thermique des systèmes multi-physiques
I.1 Etat de l’art sur la modélisation thermique des systèmes multi-physiques
I.1.1 Méthodes et approches pour la modélisation thermique
I.2 La méthode VPLM : Variable Power Law Metamodel
I.2.1 Méta-modèle et analyse dimensionnelle
I.2.2 Lois en puissances variables
I.2.3 Principe général de la méthode VPLM
I.3 Application de la méthode VPLM : étude de l’effet Marangoni
I.3.1 Description du cas d’étude
I.3.2 Application de la méthode VPLM
I.4 Application à d’autres problèmes et domaines physiques
I.5 Conclusion
I.6 Références
Chapitre II Plans d’expériences optimaux pour la construction de méta-modèles utilisant des nombres adimensionnels
II.1 Plans d’expériences optimaux pour la construction de méta-modèles
II.1.1 Définition et généralités sur les plans d’expériences
II.1.2 Plans d’expériences optimaux et formalisme adimensionnel
II.2 Approche proposée
II.2.1 Description du problème d’optimisation et des concepts utilisés
II.2.2 Problème général d’optimisation
II.2.3 Illustration sur un cas numérique
II.3 Applications
II.3.1 Evaluation de la contrainte maximale admissible d’une bielle
II.3.2 Estimation du coefficient d’échange global d’un cylindre vertical en convection naturelle
II.4 Conclusion
II.5 Références
Chapitre III Contribution à l’analyse dimensionnelle : aide à la construction et au choix des nombres adimensionnels
III.1 Introduction à la construction et au choix des nombres adimensionnels
III.1.1 Contexte et état de l’art
III.1.2 Approches proposées
III.2 Contribution à la construction des nombres adimensionnels par analyse d’insensibilité
III.2.1 L’analyse d’insensibilité
III.2.2 Estimation des échanges thermiques par convection forcée interne dans un tube
III.3 Contribution au choix de nombres adimensionnels par optimisation
III.3.1 Optimisation et choix de nombres adimensionnels
III.3.2 Estimation du couple électromagnétique d’un moteur électrique
III.4 Conclusion
III.5 Références
Conclusion

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