Mémoire mathématiques variétés semi-finsleriennes et finsleriennes

Mémoire en vue de l’obtention du diplôme d’études approfondies spécialité : Mathématiques Appliquées

Introduction générale
CHAPITRE 1 Préliminaires 
1.1 Rappels
1.2 Tenseurs canoniques sur TM
1.2.1 Le fibré π ∗ (TM)
1.2.2 L’endomorphisme vertical J et le champ canonique C
1.3 Dérivations algébriques
1.4 Formes semi-basiques et formes homogènes
1.5 Semi-gerbes et gerbes
CHAPITRE 2 Généralités sur les connexions  
Généralités sur les connexions
2.1 Définitions et théorèmes
2.2 Projecteur vertical et Projecteur horizontal
2.3 Semi-gerbe associée à une connexion
2.4 Courbure et torsion d’une connexion
CHAPITRE 3 Variétés semi-finsleriennes et finsleriennes
3.1 Variétés semi-finsleriennes
3.1.1 Semi-gerbe associée canoniquement à une structure semi-finslerienne
3.1.2 Connexions conservatives
3.2 Variétés finsleriennes
3.2.1 Existence d’une fonction énergie d’une connexion
3.2.2 Existence d’une structure finslerienne de dimension 2 à connexion donnée
Conclusion générale

Rapport PFE, mémoire et thèse avec la catégorie géométrie différentielle

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Préliminaires
Rappels
Définitions

— Une variété topologique M de dimension n est un espace topologique séparé, localement homéomorphe à un ouvert de R n .
— Une carte de la variété M de dimension n est un couple (U,ϕ) tel que U est un ouvert de M et ϕ un homéomorphisme de U sur un ouvert ϕ(U) de R n . Cette carte définit un système de coordonnées (locales) noté souvent (x i ) 1≤i≤n .
— Un atlas différentiable de classe C ∞ de la variété M est un recouvrement de M par des cartes (U i ,ϕ i ) telles que pour tous i,j tels que U i ∩ U j 6= ∅, alors  ϕ j (U i ∩ U j ) −→ ϕ i (U i ∩ U j ) est un C ∞ -difféomorphisme. Cette variété est dite différentiable de classe C ∞

Proposition 1.6. [RAD86] Soit M une variété différentiable de dimension n, de classe C k , k ≤ n. Rappelons que T x M est l’ensemble de vecteurs tangents en x sur M ; c’est un espace vectoriel de dimension n.
Posons TM = ∪ x∈M T x M. Alors TM peut être muni canoniquement d’une structure de variété différentiable de dimension 2n et de classe C k−1 . L’ensemble TM muni de cette structure s’appelle le fibré tangent de M.
Ainsi, chaque élément de TM peut être identifié à un couple (x,X x ), où x ∈ M et X x ∈ T x M.

Formes semi-basiques et formes homogènes

Définition 1.24. Une l-forme vectorielle L, l ≥ 1, est dite semi-basique si les assertions suivantes sont vérifiées :
• L(X 1 ,…,X l ) est vertical pour tous X 1 ,…,X l des champs de vecteurs sur TM ;
• L(X 1 ,…,X l ) = 0 si l’un des champs X 1 ,…,X l est vertical.
En d’autres termes, une l-forme vectorielle L sur TM, avec L antisymétrique et l ≥ 1, est dite semi-basique si :
JL = 0
i JX L = 0, ∀X ∈ X(TM).
Une p−forme scalaire ω sur TM, p ≥ 1, est dite semi-basique si :
i JX ω = 0, ∀X ∈ X(TM),avec J est la 1-forme vectorielle définissant la structure tangente de la variété M.
Exemple 1.25. La 1−forme vectorielle J est semi-basique, ceci vient du fait que J 2 = 0.

CONCLUSION

Ce présent mémoire à pour but l’étude des variétés finsleriennes du point de vue de la connexion de Grifone à courbure non nulle. Nous avons défini une connexion à l’aide de sa gerbe. Cette connexion est à torsion nulle et a la forme Γ = [J,S], où S est la gerbe associée à la connexion et J la structure tangente naturelle sur la variété M. Grace à l’isotropie de la gerbe, la courbure d’une connexion donnée peut se mettre sous la forme 3R = (d J λ − η) ∧ J + d J η ⊗ C, où λ ∈ C ∞ (T M) et η une 1−forme semibasique sur C ∞ (T M). Cette relation nous permet de simplifier certains calculs dans ce présent travail. Particulièrement en dimension 2, la courbure d’une connexion donnée s’écrit R = (˜ R + d J ˜ R 0 3)∧ J − d J ˜ R 3 ⊗ C, avec ˜ R désigne le contracté de la courbure R et ˜ R 0 = i S ˜ R étant le potentiel de ˜ R. En combinant cette dernière formule avec des résultats jugés indispensables, nous arrivons à prouver l’existence d’une structure finslerienne de dimension 2 à connexion donnée; toute courbure étant bien sûr régulière, d’après M.
Matsumoto dans [MAT95]. L’existence d’une fonction énergie E homogène de degré 2, non triviale telle que d R E = 0 peut aussi être prouvée directement à l’aide du théorème de Fröbenius, puisque l’image de la courbure est de dimension 1.

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