Mémoire fin d’étude exemples des applications de contrôle dans le domaine de la biologie

Origine du contrôle optimal

Une fois le problème de contrôlabilité résolu, on peut de plus vouloir passer de l’état initial à l’état final en minimisant un certain critère ; on parle alors d’un problème de contrôle optimal.
En mathématiques, la théorie du contrôle optimal s’inscrit dans la continuité du calcul des variations. Elle est apparue après la seconde guerre mondiale, répondant à des besoins pratiques de guidage, notamment dans le domaine de l’aéronautique et de la dynamique du vol. Historiquement, la théorie du contrôle optimal est très liée à la mécanique classique, en particulier aux principes variationnels de la mécanique (principe de Fermat, de Huygens, équations d’Euler-Lagrange). Le point clé de cette théorie est le principe du maximum de Pontryagin, formulé par L. S. Pontryagin en 1956, qui donne une condition nécessaire d’optimalité et permet ainsi de calculer les trajectoires optimales. Les points forts de la théorie ont été la découverte de la méthode de programmation dynamique, l’introduction de l’analyse fonctionnelle dans la théorie des systèmes optimaux, la découverte des liens entre les solutions d’un problème de contrôle optimal et des résultats de la théorie de stabilité de Lyapunov. Plus tard sont apparues les fondations de la théorie du contrôle stochastique et du filtrage de systèmes dynamiques, la théorie des jeux, le contrôle d’équations aux dérivées partielles. L’allure des trajectoires optimales dépend fortement du critère d’optimisation.

Contrôle optimal moderne et applications

On considère que la théorie moderne du contrôle optimal a commencé dans les années 50, avec la formulation du principe du maximum de Pontryagin, qui généralise les équations d’Euler-Lagrange du calcul des variations. Dès lors, la théorie a connu un essor spectaculaire, ainsi que de nombreuses applications. De nos jours, les systèmes automatisés font complètement partie de notre quotidien, ayant pour but d’améliorer notre qualité de vie et de faciliter certaines tâches : système de freinage ABS, assistance à la conduite, servomoteurs, thermostats, régulation hygrométrique, circuits frigorifiques, contrôle des flux routiers, ferroviaires, aériens, boursiers, fluviaux, barrages EDF, photographie numérique, filtrage et reconstruction d’images, lecteurs CD et DVD, réseaux informatiques, moteurs de recherche sur internet, circuits électriques, électroniques, télécommunications en général, contrôle des procédés chimiques, raffinage pétrolier, chaînes industrielles de montage, peacemakers et autres systèmes médicaux automatisés, opérations au laser, robotique, satellites, guidages aérospatiaux, bioréacteurs, distillation, … La liste est infinie, les applications concernent tout système sur lequel on peut avoir une action, avec une notion de rendement optimal.

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Table des matières

INTRODUCTION GENERALE
Chapitre 1 : Théorie de Contrôle des systèmes biologiques 
1. Introduction
2. Biologie des systèmes
3. Modélisation et analyse
4. Comportement stochastique
5. Système dynamique, Rétroaction et Contrôle 
6. Exemples des applications de Contrôle dans le domaine de la Biologie
6.1 Système cardio-vasculaire
6.2 Pancréas artificiel
6.3 Neurosciences
6.4 D’autres applications médicales
7. Des systèmes à la biologie synthétique
8. Conclusion 
Chapitre 2 : Système immunitaire 
1. Introduction 
2. Que fait le système immunitaire?
3. Où se trouve le système immunitaire dans ton corps ? 
4. Réponse immunitaire
5. Immunité innée
6. Immunité adaptative
7. Soigner le cancer avec l’immunothérapie
8. Conclusion 
Chapitre 3 : Commande optimale 
1. Introduction
2. Généralités
Commande d’un système biologique Page
2.1 Contrôlabilité
2.2 Origine du contrôle optimal
2.3 Contrôle optimal moderne et applications
3. Commande optimale 
3.1. Position du problème
3.2. Hamiltonien et Principe du minimum de Pontriaguin
3.3. Exemple
3.4. Le calcul des variations
3.5. Equation d’Euler-Lagrange
4. Commande Linéaire Quadratique a horizon fini
5. Conclusion
Chapitre 4 : Commande de la réponse immunitaire innée 
1. Introduction
2. Le modèle dynamique de la maladie 
3. Réponse du modèle sans commande
3.1 Cas (1) : cas sub-clinique
3.2 Cas (2) : cas clinique
3.3 Cas (3) : cas chronique
3.4 Cas (4) : cas mortel
4. Linéarisation par retour d’état de la réponse immunitaire innée 
4.1 Généralités sur la commande linéarisante
4.2 Application au système immunitaire
4.3 Etude de la robustesse commande linéarisante
5. Commande optimale de la réponse immunitaire innée
6. Commande optimale avec retard
7. Conclusion
Conclusion générale

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