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INTRODUCTION
Notre but est de proposer un modèle mathématique d’un matériau composite aléatoirement renforcé de type TexSolTM [15, 23, 24]. Pour cela nous effectuons une étude asymptotique variationnelle afin d’obtenir une structure homogène et déterministe rendant compte du comportement mécanique de ce matériau. Nous souhaitons entre autre retrouver le formalisme non-local développé par Frémond (voir [15]). Cet effet nonlocal est dû à la présence d’un fil synthétique fin renforçant un matériau mou et statistiquement présent dans toute la structure. Plus précisément, le TexSolTM, breveté par le Laboratoire Central des Ponts et Chaussées en 1980, est constitué d’un réseau de fil sythétique très dense et totalement aléatoire « emprisonné » dans du sable, conférant ainsi à la structure des propriétés mécaniques intéressantes. Dans notre cas, nous favorisons une direction pour l’orientation du réseau de fil et le matériau étudié dans cette thèse n’est pas exactement le TexSolTM mais une structure que nous qualifierons de « type TexSolTM ». Nous soulignons le fait que l’étude proposée dans cette thèse n’est qu’une première approche, très simplifiée, de la modélisation du matériaux TexSolTM par un procédé d’homogénéisation. Pour les modèlisations étudiées, nous sommes amené à utiliser trois classes d’outils mathématiques précisés dans le Chapitre 1. Dans un premier temps, nous introduisons quelques rappels sur une notion de convergence sur les fonctionnelles énergies, qualifiée de variationnelle, car préservant à la limite les formulations en terme de minimisation énergétique. Pour le traitement probabiliste relatif à la présence du fil de forte rigidité, nous précisons la notion de processus ergodique sous-additifs ainsi que les convergences associés, de type Loi des Grands Nombres où plus généralement de type Birkhoff. Enfin, nous rappelons quelques outils d’analyse convexe, comme ceux de la continuité pour certaines convergences variationnelles de la transformée de LegendreFenchel ou de l’opérateur sous-différentiel. Notre stratégie de modélisation du Texsol consiste à faire un découpage suivant x3 de notre structure O en fines plaques d’épaisseur h(ε) dépendant d’un petit paramètre ε << 1 (h(ε) = εp). Pour h(ε) assez petit, nous acceptons de considérer les fibres verticales dans chaque plaque, c’est dans ce sens que nous privilégions une direction dans l’orientation du réseau de fil, i.e., la direction x3. Notre problème initial est alors décomposé en n := 1 h(ε) modèles de type plaque dont au préalable on souhaite pour chacun donner une formulation 2-dimensionnelle. C’est pourquoi, dans le chapitre 2, préparatoire au Chapitre 3 dans lequel nous mettons en oeuvre notre stratégie, nous proposons un modèle déterministe 2D d’un matériau mince renforcé par des fibres aléatoirement distribuées. Dans ce chapitre, la rigidité des fibres dépend également de ce petit paramètre ε. La configuration de référence du matériau s’écrit alors Oh(ε) = O ׈ (0, h(ε)), O ⊂ˆ R 2 où h(ε) tend vers 0 avec ε. Ce matériau est renforcé par des fibres aléatoirement distribuées Tε(ω) = εD(ω) × (0, h(ε)). Nous supposons que les fibres sont verticalement disposées et considérées parfaitement collées à la matrice hyper-élastique qui représente le sable. Dans le Chapitre 3, en appliquant ce résultat à chacune des plaques, on obtient ainsi une énergie discrète (suivant x3), somme de n énergies 2-dimensionnelles homogènes et déterministes. Nous reconstruisons une structure 3D par une « intégration variationnelle » en x3, i.e en passant à la limite en n de manière variationnelle. L’énergie limite, homogène et déterministe ainsi obtenue est proposée comme modèle. Malheureusement, par les hypothèses trop restrictives sur les ordres de grandeurs des différents petits paramètres dépendant de ε, le modèle déterministe simplifé obtenu dans les Chapitres 2 et 3 ne sont pas non-locaux, contrairement à ce que l’on s’attend. Dans le Chapitre 4, dans le but de retrouver une formulation homogénéisée déterministe et non-locale, nous reprenons l’étude asymptotique du Chapitre 2 sous des hypothèses moins restrictives mais dans le cas où l’épaisseur h du matériau ne dépend plus de ε. Nous proposons deux énergies déterministes et non locales bornant le modèle limite escompté et qui, dans le cas périodique, coïncident avec l’énergie trouvée par M. Bellieud, M. Bellieud & G. Bouchitté et Licht & Michaille. Introduction. 5 Le Chapitre 5 consiste en une étude numérique destinée à évaluer la pertinence de nos modèles dans différents situations. La principale difficulté, est de créer un maillage respectant l’ensemble des hypothèses géométriques aléatoires précisées dans les différents chapitres. Cette étude numérique est faite uniquement dans le cas scalaire avec les densités d’énergie f =g=12|.|2.
THÉORIE ERGODIQUE
Dans notre travail, on considère un milieu homogène, renforcé par des fibres aléatoirement réparties et supposées toutes verticales. Nous sommes donc amenés à faire une étude probabiliste sur la répartition aléatoire des section de fibres dans R 2. Les centres des sections des fibres sont répartis suivant un processus ponctuel de type Poisson auquel on adjoindra des hypothèses supplémentaires précisées dans le chapitre suivant. Ces hypothèses sont des conditions de stationnarité, d’invariance par translation de la loi du processus ainsi qu’une condition d’indépendance ou plus généralement d’ergodicité traduisant l’homogénéité statistique de la présence des fibres. Nous précisons ici les outils qui permettent d’élaborer un cadre mathématique à notre étude. La théorie ergodique des systèmes dynamiques à réellement vue le jour dans les années 1930 essentiellement grâce à G. D. Birkhoff et J. Von Neumann dans la continuité des travaux de H.Pointcaré (1890). À l’origine, l’ hypothèse d’ergodicité nous dit que lorsqu’on a un système de particules en mouvement, presque toutes les trajectoires sont réparties de façon « homogène » dans l’espace où elles sont définies. Pour nous, ces trajectoires seront caractérisées par (τz(ω))z∈Z2 où τz est l’opérateur de translation τz(ω) = ω + z dans un sous ensemble Ω bien choisi de R 2 décrivant les centres des sections des fibres. La théorie ergodique consiste en l’étude des systèmes dynamiques abstraits du point de vue de la théorie de la mesure. Dans notre cas, les théorèmes et définitions qui suivent seront énoncés dans le cadre d’un espace probabilisé (Ω, A, P), mais ces définitions et résultats restent valables dans un espace mesuré quelconque (X, A, µ).
CONCLUSION GÉNÉRALE
La modélisation des matériaux aléatoirement renforcés de type TexSolTM conduit à un large domaine d’étude et à de multiples difficultés tant du point de vue mathématique que mécanique. Dans cette thèse, tout en restant le plus fidèle possible au comportement physique du matériau, pour traiter mathématiquement l’aléatoire, on a considérablement simplifié la géométrie complexe représentant l’inclusion du fil . Nous avons développé une stratégie de modélisation conduisant à un modèle déterministe et homogène du TexSolTM. Cette stratégie se décompose en deux étapes. Dans un premier temps, nous proposons un modèle déterministe 2-dimensionnel issu d’un problème plaque d’un matériau aléatoirement renforcé. Ce modèle limite nous permet essentiellement de connaitre le comportement d’une fine couche du matériau. Nous utilisons dans un second temps, un procédé d’intégration variationnelle consistant, par sommation des modèles 2 dimensionnels ainsi obtenus, à construire un modèle 3-dimensionnel équivalent. Nous passons plus pécisément d’un modèle à énergie discrète dans une direction, à un modèle à énergie continue par convergence variationnelle suivant le pas de discrétisation. Par une étude numérique, nous avons montré que ces deux modèles génèrent des erreurs acceptables lorsque l’on compare les problèmes limites aux problèmes initiaux bien que les champs de déplacement limites soient obtenus par des convergences faibles. Cette étude a également fait ressortir la forte influence des fibres sur la matrice (par leur disposition).
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Table des matières
NOMENCLATURE
INTRODUCTION
1 OUTILS MATHÉMATIQUES
1.1 Γ-CONVERGENCE
1.2 THÉORIE ERGODIQUE
1.2.1 Systèmes dynamiques abstraits
1.2.2 Théorème ergodique de Birkhoff
1.2.3 Processus additifs
1.2.4 Processus sous-additifs
1.2.5 Processus sous-additifs paramétrés
1.3 OUTILS D’ANALYSE CONVEXE
1.3.1 Convergence dans Convα,β,p(RN ), des transformées de Fenchel et des sous-différentiels
1.3.2 Inf-convolution continue
2 MODÉLISATION 3D−2D D’UN MATÉRIAU ALÉATOIREMENT RENFORCÉ PAR DES FIBRES DE FORTE RIGIDITÉ
2.1 DESCRIPTION PRÉCISE DU PROBLÈME
2.1.1 Définition de l’espace probabilisé
2.1.2 Hypothèses relatives aux densités d’énergies f et g
2.1.3 La densité limite f0
2.1.4 Enoncés des résultats
2.2 PREUVE DES RÉSULTATS
2.2.1 Preuve du Lemme 2.1.1 (compacité)
2.2.2 Preuve de la limite supérieure Théorème 2.1.2, ii)
2.2.3 Preuve de la limite inférieure du Théorème 2.1.2 i)
2.2.4 Preuve du Corolaire 2.1.2
2.2.5 Preuve de la Proposition 2.1.2
3 RECONSTRUCTION 3D DE LA STRUCTURE INITIALE
3.1 CONTEXTE
3.2 DESCRIPTION DU PROBLÈME DISCRET
3.3 CONVERGENCE DU PROBLÈME DISCRET
3.3.1 Lemme de compacité
3.3.2 Γ-convergence
4 VERS UN MODÈLE NON-LOCAL D’UN MATÉRIAU DE TYPE TEXSOL PAR HOMOGÉNÉISATION STOCHASTIQUE
4.1 INTRODUCTION
4.2 DÉFINITION DES DENSITÉS D’ÉNERGIE f−0ET f+ 0 ASSOCIÉES AU MILIEU MOU
4.2.1 Définition de la densité f+0
4.2.2 Définition de la densité f−0
4.3 BORNES VARIATIONNELLES DE L’ÉNERGIE ASSOCIÉE À LA STRUCTURE (S) 70
4.3.1 Lemme de compacité
4.3.2 Estimation de la borne variationnelle de la Γ-limite supérieure
4.3.3 Estimation de la borne variationnelle de la Γ-limite inférieure
4.3.3.1 Estimation de la borne inférieure dans la matrice
4.3.3.2 Estimation de la borne inférieure dans les fibres
4.4 LE CAS PÉRIODIQUE
5 APPROCHE NUMÉRIQUE
5.1 APPROCHE NUMÉRIQUE DU CHAPITRE 2, DANS LE CAS SCALAIRE
5.1.1 Calcul de la solution u¯
5.1.2 Approximation numérique de Λ
5.1.2.1 Maillage aléatoire
5.1.2.2 Calcul numérique de Λ
5.1.3 Estimation de l’erreur entre les solutions de Pε,h(ε)(ω) et de P dans le cas scalaire
5.2 APPROCHE NUMÉRIQUE DU CHAPITRE 3 : COMPARAISONS DU PROBLÈME min u∈W1,p Γ0 (O,R3) Eε(u) AVEC LE MODÈLE RECONSTRUIT
5.2.1 Cas d’une distribution de fibre identique sur chaque plaque
5.2.2 Cas d’une distribution de fibre différente sur chaque plaque
CONCLUSION
BIBLIOGRAPHIE
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