Manipulateurs parallèles, singularités et analyse statique

Les robots parallèles

Définition : un robot parallèle est un mécanisme en chaîne cinématique fermée, constitué d’un organe terminal à n degrés de libertés et d’une base fixe , reliés entre eux par des chaînes cinématiques indépendantes. [35] Nous traiterons dans ce document des robots parallèles ne possédant qu’un seul mode d’assemblage et la motorisation s’effectue par n actionneurs simples, un pour chaque jambe du mécanisme. Depuis quelque temps déjà, la robotique parallèle a pris pied dans l’industrie, et ce dans de nombreux domaines comme l’usinage, la médecine (figure 1.4), le positionnement d’antennes ou de caméras [15], mais aussi dans le “pick and place” avec notamment le succès du Robot Delta [10] (figure 1.5). Il existe également des simulateurs de vol (figure 1.6), principalement construits sur la base d’une des plus célèbres architectures parallèles, la plate-forme de Gough [17], [50] (figure 1.7).

Avantages et inconvénients des robots parallèles

   Les robots manipulateurs les plus répandus dans l’industrie restent sans aucun doute les robots séries. Cependant pour certains types d’applications, les robots parallèles se montrent, au vu des qualités intrinsèques de leur architecture, plus performants. Il est donc bon de comparer ces derniers à leurs cousins sériels afin d’identifier clairement (1947) utilisée pour tester des pneumatiques quelle famille de robot est la plus adaptée pour une tâche donnée. Évidemment les performances d’un robot sont intimement liées à la géométrie, aux actionneurs et aux capteurs, aussi nous ne pourrons dégager que des principes généraux sur leurs avantages et leurs inconvénients. Une des modélisations mathématiques utilisées en automatique pour le contrôle du robot considère chaque segment comme rigide, c’est-à-dire qu’il ne subit aucune déformation. Si nous considérons un robot série, nous nous apercevons que chaque segment doit supporter outre la charge placée sur l’organe terminal, celles des segments suivants. Ceci entraîne donc une déformation de type flexion. Et ces mêmes flexions (qui ne sont pas mesurées par les capteurs) induisent des erreurs de positionnement d’où l’interêt de commande référencée vision. Dans une architecture série il peut exister un autre facteur d’erreur de positionnement. En effet, une erreur de mesure d’un capteur sur le premier ou second segment va se répercuter de manière plus conséquente sur la pose de l’organe terminal. Aussi comptetenu de l’architecture série, nous assistons à une accumulation/propagation des erreurs qui peut se révéler désastreuse dans certaines applications où nous rechercherons par exemple une forte précision. Une solution possible pour limiter ces erreurs est d’augmenter la rigidité des segments mais cela passe par une augmentation conséquente de la masse du robot. Cela mène inévitablement à une baisse du rapport masse transportée sur masse du robot et à une augmentation conséquente des effets dynamiques nuisibles à la précision. Concernant un robot parallèle, le ratio va être meilleur car la charge est répartie entre les différentes chaînes. Les flexions pourront parfois être négligées puisque généralement le mécanisme subit des déformations du type traction/compression qui se révèlent moins problématiques. De plus, les erreurs de mesures dues aux capteurs sont réparties sur les chaînes cinématiques et donc l’erreur sur la pose de la plate-forme souffre moins de la répartition des erreurs contrairement à un mécanisme sériel. Avec le même type de moteurs, un robot parallèle va pouvoir en combinant ses différentes jambes mais aussi compte-tenu de la masse moins élevée de l’équipage mobile, déplacer l’organe terminal plus rapidement. En effet, une réduction de la masse déplacée permet d’obtenir des caractéristiques dynamiques plus élevées. Il est cependant illusoire de penser qu’un robot parfait puisse exister, aussi les structures parallèles n’ont bien évidemment pas que des avantages. Ainsi, l’espace de travail d’un robot parallèle dépend des différentes chaînes cinématiques indépendantes qui relient la base à la plate-forme mobile. Aussi il est constitué de l’intersection des espaces de travail de chaque chaîne cinématique reliant la plate-forme à la base. En conséquence, l’espace de travail d’un robot parallèle est généralement réduit en raison des différentes contraintes imposées par les chaînes cinématiques qui relient la base du robot à la plate-forme mobile de ce dernier. Un autre inconvénient dû aux contraintes des différentes jambes est l’existence de singularités (points où le mécanisme parallèle perd sa rigidité naturelle et voit parfois l’organe terminal perdre ou gagner des degrés de libertés rendant la plate-forme mobile incontrôlable). On comprend que ces poses particulières du robot sont donc d’un intérêt primordial aussi bien au niveau mécanique que pour le contrôle du robot, surtout si nous avons affaire à des mécanismes nécessitant une très forte précision (robotique chirurgicale par exemple).

Nomenclature d’un mécanisme

   En premier lieu, afin de décrire un mécanisme en robotique parallèle, nous nous restreignons aux types d’articulations suivantes :
-l’articulation prismatique (notée P) permet une translation suivant une direction.
-l’articulation rotoïde (notée R) permet une rotation suivant un axe.
-l’articulation cardan (notée U) permet une rotation suivant deux axes.
-l’articulation rotule (notée S) permet une rotation suivant trois axes.
Pour décrire la structure mécanique d’une jambe de robot parallèle, nous utilisons communément la liste de ces articulations à partir de la base. Par exemple la notation RP R indique que partant de la base la première articulation est une rotoïde qui sera suivie d’une prismatique elle même suivie d’une rotoïde qui sera connectée à la plate-forme. De plus pour différencier une articulation active (articulation qui peut-être contrôlée directement par l’utilisateur, par exemple via un moteur) d’une articulation passive, la notation de l’articulation active sera soulignée. Ainsi une articulation prismatique dont nous pouvons contrôler la longueur grâce à un moteur sera notée P. Si le mécanisme possède des jambes identiques, nous pouvons alléger la notation en faisant précéder une structure de jambe par le nombre de chaîne de ce type. Ainsi la notation 2−RPR−RRR désigne un robot à 3 chaînes, 2 de type RPR et une de type RRR.

Singularités et géométrie de Grassmann

   Nous avons vu dans la section précédente que pour la plupart des robots parallèles, les lignes de la matrice jacobienne cinématique inverse étaient des vecteurs de Plücker normalisés ou pas. Aussi si la matrice est singulière, cela signifie qu’il y a une dépendance linéaire entre ces vecteurs de Plücker. La géométrie de Grassman (XIX ème) montre que la dépendance linéaire entre les vecteurs de Plücker implique des relations géométriques entre les droites correspondantes [11], [47].

Principe théorique du calcul de la frontière

  Les étape précédentes nous ont permis d’attribuer à chaque courbe une liste non ordonnée de points clés. Nous savons également déterminer si un point d’une courbe n ou m situé entre deux points clés successifs fait partie ou non de la frontière. Si un point P non clé d’un arc appartient à la frontière, alors l’arc entier est une partie constitutive de Γs. Nous en déduisons un algorithme de base :
Etape 1 : Calcul des points clés (rappelons que nous ne faisons plus de différences entre les points clés des points clés auxiliaires).
Etape 2 : Ordonner les points clés pour chaque courbe, c’est-à-dire déterminer quels sont les points clés successifs, ce qui nous permettra d’identifier les différents arcs de courbes qui peuvent appartenir à Γs.
Etape 3 : Pour chaque arc de courbe (portion d’une courbe entre deux points clés successifs), prendre un point quelconque P sur l’arc et vérifier s’il appartient à la frontière ou non : s’il appartient à la frontière, alors l’arc de la courbe entre les deux points clés fait partie de Γs. Le résultat final de l’algorithme sera la liste de tels arcs.
Nous ne sommes malheureusement pas parvenu à obtenir une représentation paramétrique des courbes de type n ou m. En conséquence l’étape d’ordonnancement des points clés devient un obstacle majeur puisque nous ne sommes pas en mesure de déterminer parmi la liste des points clés lesquels sont des points clés successifs. Confrontés à ce problème, nous avons adapté notre méthode pour déterminer une approximation polygonale de la frontière de l’espace de travail statique.

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Table des matières

1 Introduction 
Introduction
1.1 Introduction
1.2 Les robots parallèles 
1.2.1 Définition
1.2.2 Avantages et inconvénients des robots parallèles
1.3 Les singularités 
1.4 Contributions 
2 Notations, Prérequis et Singularités 
2.1 Notations 
2.1.1 Nomenclature d’un mécanisme
2.1.2 Notations
2.2 Modèles géométriques 
2.2.1 Modèle géométrique inverse
2.2.2 Modèle géométrique direct
2.3 Modèles cinématiques
2.4 Singularités des robots parallèles 
2.5 Géométrie de Grassmann 
2.5.1 Vecteur de Plücker
2.5.2 Jacobienne cinématique inverse
2.5.3 Modèle statique
2.5.4 Singularités et géométrie de Grassmann
2.6 Transition
3 Espace de travail statique du 3-RPR 
3.1 Introduction 
3.2 Définition de l’espace de travail statique
3.2.1 Espace de travail statique du 3-RPR
3.3 Frontière de l’espace de travail statique 
3.4 Eléments de la frontière
3.5 Calcul de la frontière 
3.5.1 Les points clés
3.5.2 Détermination des points clés
3.5.3 Les points clés auxiliaires
3.5.4 Appartenance d’une pose à la frontière
3.5.5 Principe théorique du calcul de la frontière
3.5.6 Mise en pratique
3.5.7 Variation de l’algorithme
3.6 Résultats 
3.6.1 Exemple d’espace de travail statique
3.6.2 Temps de calcul
3.7 Conclusion
4 Introduction à l’analyse par intervalles 
4.1 Introduction 
4.2 Définitions élémentaires
4.2.1 Théorie des ensembles et intervalles
4.2.2 Arithmétique par intervalles
4.2.2.1 Opérations usuelles
4.2.3 Fonctions et intervalles
4.3 Un enjeu primordial : l’évaluation
4.3.1 Les causes d’évaluation non optimale
4.3.1.1 L’effet enveloppant
4.3.1.2 Occurrences multiples de variables
4.3.2 Utilisation de la formule de Taylor dans le cas de l’analyse par intervalles
4.3.3 Utilisation de la monotonie
4.4 Résolution d’un système d’équation en utilisant l’analyse par intervalles 
4.4.1 Les différents types de boîtes
4.4.2 L’algorithme classique de résolution : Evaluation-Bisection
4.4.3 Méthodes de filtrage
4.4.3.1 La méthode de contraction 2B
4.4.3.2 La méthode de filtrage reposant sur le rognage ou shaving
4.5 Résolution d’un système linéaire carré d’équations 
4.5.1 Préconditionnement
4.5.2 Résolution
4.5.2.1 Le pivot de Gauss
4.5.2.2 La méthode Gauss-Seidel
4.6 Transition 
5 Approximation de l’espace de travail statique par l’analyse par intervalles 
5.1 Introduction 
5.2 Objectifs
5.3 Boîte et espace de travail statique 
5.3.1 Test d’inclusion
5.3.2 Tests d’exclusion
5.3.2.1 Tests par résolution du système linéaire intervalle
5.3.2.2 Test par évaluation du torseur statique
5.3.2.3 Test de Rohn
5.4 Algorithme de calcul de l’espace de travail statique
5.4.1 Gestion de la bissection
5.4.2 Gestion du Stockage
5.4.3 Qualité de l’approximation de WS
5.4.4 Aspect incrémental et amélioration de la qualité
5.4.5 Implantation distribuée
5.5 Eléments pour l’implantation de différentes stratégies de résolution 
5.5.1 L’évaluation
5.5.1.1 Différentes stratégies pour l’évaluation
5.5.1.2 Formulation Matrice
5.6 Améliorer l’algorithme 
5.6.1 Etape du point de choix
5.6.2 Contraintes supplémentaires
5.6.3 Stockage de données
5.6.3.1 Stockage des valeurs des τi
5.6.3.2 Stockage du signe des dérivées
5.6.3.3 Stockage des contraintes vérifiées
5.6.4 Améliorer les tests d’inclusions et d’exclusions impliquant la résolution du système linéaire
5.6.5 Ajout d’une méthode de type rognage
5.6.5.1 Le rognage IN-OUT
5.6.5.2 Propriétés dérivant du principe fondamental
5.6.5.3 Implantation d’un algorithme de rognage IN-OUT
5.6.6 Bissection multi-niveaux
5.6.6.1 La structure pour le multi-niveaux
5.6.6.2 Algorithme multi-niveaux
5.7 Adaptation de l’algorithme pour répondre à différents problèmes
5.7.1 Prise en compte d’incertitude sur les paramètres géométriques
5.7.2 Vérification de l’inclusion d’une zone dans Ws
5.8 Résultats 
5.9 Conclusion 
6 Conclusion et Perspectives 
6.1 Conclusion 
6.2 Perspectives

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