Loi des extrêmes généralisées, approche block maxima

Discussion sur la méthode block maxima

Le formalisme de la loi des extrêmes généralisée ne tient compte que d’une seule observation, la plus grande alors que seul le maximum de l’échantillon ne permet pas de modéliser le comportement des valeurs extrêmes. L’ajustement de la loi limite sera toutefois très influencé par la taille des blocs formés à partir de l’échantillon initial. Cette approche mène aussi à une perte d’informations sur les observations extrêmes qui sont par définition très rares. Par exemple, on peut avoir plusieurs observations extrêmes au sein du même bloc, mais seule la plus grande d’entre elles sera prise en compte. Une alternative à la loi GEV dans la modélisation du comportement du maximum d’un échantillon est l’approche par dépassement de seuil se basant sur les « grandes valeurs » de l’échantillon.

Loi des excès, approche POT

L’approche par dépassement de seuil, en anglais « Peaks-Over-Threshold approach  » notée (POT), repose sur l’utilisation des statistiques d’ordre supérieur de l’échantillon. Elle consiste à ne conserver que les observations dépassant un certain seuil. L’excès au delà du seuil est défini comme l’écart entre l’observation et le seuil.

Analyse exploratoire des données

L’information préliminaire utile sur un ensemble de données à analyser, peut être obtenue par plusieurs résultats graphiques et analytiques assez faciles. On commence habituellement l’analyse statistique des données par la détermination des statistiques de base (moyenne, variance,…) et dessin de nuages points, histogrammes, box-plots…en outre, dans l’analyse des extrêmes, la première tâche consiste en étudiant le poids de queue des données Dans la théorie des extrêmes, le QQ-plot sous l’hypothèse d’une distribution exponentielle est la représentation des quantiles de la distribution empirique sur l’axe des X contre les quantiles de la fonction de distribution exponentielle sur l’axe des Y.

Application : Estimation probabiliste des débits maximums annuels Pour appliquer l’approche block maxima de la théorie des valeurs extrêmes ainsi que la méthode par dépassement de seuil, on a utilisé les débits maximums annuels de Oued Sebou depuis 1957 jusqu’à 2008 représentés dans le tableau On commence par explorer les données de la variable aléatoire qui nous intéresse à savoir : Le débit. Dans un premier temps, on présente dans le tableau 1.3 les valeurs des statistiques générales à savoir : la médiane, la moyenne, le premier et le 3 ème quantile , le min et le max de la série d’observations. Ensuite, on représente dans la figure 3.3 différents graphes permettant d’explorer les valeurs extrêmes des débits comme le QQ-plot et le Mean excess plot. Les graphes de la figure 3.3 représentent les débits estimés par la théorie des valeurs extrêmes. A gauche, les débits extrêmes sont estimés en utilisant la loi des excès et à droite, en utilisant la loi généralisée des extrêmes. Pour estimer les quantiles extrêmes des débits, on a utilisé le package fExtremes du logiciel R qui contient les fonctions gev et gpd dédiées respectivement à la loi généralisée des extrêmes et à la loi des excès.

Monte Carlo dans un contexte bayésien

Les méthodes de Monte Carlo sont d’usage courant dans le cadre typique où la loi de la variable X dépend d’un paramètre _. Dans l’approche fréquentiste, _ est inconnu mais supposé avoir une valeur fixée et les observations (x1; :::; xn) permettent de l’estimer , par une méthode donnée par exemple au maximum de vraisemblance. L’approche bayésienne est différente : Elle consiste à considérer que _ est lui même aléatoire et suit une loi (dite à priori) donnée, les observations (x1; :::; xn) permettent d’affiner cette loi via sa mise à jour au vu des observations. Plus formellement, notons _ la densité de la loi à priori de _ et f(xj_) la densité conditionnelle de x sachant _. Par la règle de Bayes, la densité à posteriori de _ sachant x s’écrit alors..

Simulation suivant la loi uniforme

Dans la suite, on suppose que l’on a un générateur de nombres aléatoires suivant la loi uniforme sur [0; 1].Disposer d’un tel générateur n’est néanmoins pas trivial :Un ordinateur ne dispose d’aucun composant aléatoire. Un générateur de nombres aléatoires est donc un programme déterministe qui produit une suite de valeurs « suffisamment » désordonnées pour ressembler à un échantillon aléatoire, on parle alors de générateur pseudo-aléatoire.

Simulation de pluies

La pluie résulte de processus physiques naturels dont les principes fondamentaux sont connus. Les phénomènes énergétiques et mécaniques concernant la physique atmosphérique sont alors à la base des modèles de prévision météorologique. Mais ces modèles sont associés à des échelles souvent trop grandes pour être utilisés en hydrologie. Le phénomène de précipitation est alors plutôt considéré comme un phénomène aléatoire qui peut être étudié de façon statistique par le biais d’approches stochastiques,à la base de générateur de pluies. Les modèles de génération de pluies sont plus fréquemment associés à un pas de temps journalier. La modélisation des pluies au pas de temps journalier est plus simple car le phénomène est moins complexe qu’aux pas de temps horaire plus fin or l’étude des crues nécessite souvent d’avoir une information à pas de temps infra-journalier. Les modélisations de chroniques de pluies à pas de temps fin ont fait l’objet de nombreuses recherches à travers différentes approches.Le modèle retenu est basé sur une simulation « directe » des hyétogrammes, définie à partir de l’analyse descriptive du signal de pluie observé.

Ce type de modèle part aussi du principe que la pluie peut être assimilée à un processus aléatoire et intermittent (succession d’états secs et pluvieux). L’élaboration de ce type de modèle se résume donc à trouver les bonnes variables aléatoires indépendantes décrivant le processus de pluie, ainsi que les lois de probabilité qui les représentent le mieux. La reconstruction du signal s’effectue grâce à une hiérarchisation logique du tirage des différentes variables, afin de parvenir à une représentation la plus fidèle possible du signal de départ. La validation du modèle consiste à étudier sa capacité à reproduire des variables représentatives du signal simulé, non utilisés lors du calage du modèle. Sur cette base, différents modèles peuvent êre élaborés, les différences proviennent en particulier du choix des variables descriptives et de leurs lois de probabilité.

Application

Estimation stochastique des débits maximums annuels de Oued Sebou Pour appliquer la méthode SHYPRE, on a utilisé les données de pluies horaires enregistrées à Fès et qui sont disponibles dans [19]. On a sélectionné tous les événements pluvieux qui vérifient le critère extrême ( toute succession de pluies journalières supérieures ou égales à 4mm qui contient au moins un cumul journalier de 20mm). 50 événements pluvieux ont été sélectionnés. Dans les tableaux 3.1, 3.2 , 3.3, 3.3, on présente les détails de chaque événement ( nombre de périodes pluvieuses de chaque événement, nombre d’averses de chaque période pluvieuse, le volume des averses de chaque période pluvieuse, la durée entre les averses, la pluie maximale de chaque averse ainsi que sa position au sein de l’averse ).

En utilisant les données des tableaux 3.1, 3.2 , 3.3, 3.3, les paramètres de chaque variable aléatoire sont ainsi ajustés en utilisant la méthode des moments pondérés. Ensuite, et en respectant l’ordre de simulation décrit dans le paragraphe 3:2:2, on simule différentes valeurs de chaque variable sous le logiciel R pour construire des hyétogrammes. Et pour transformer la pluie simulée en débit, on utilise le modèle GR3H de transformation de pluie en débit. Les paramètres A;B;C de ce modèle sont déterminées en optimisant la fonction de critère NASH décrite dans le paragraphe 3:3:2. Ainsi, les débits sont calculés en utilisant les formules figurantes dans 3.2.

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Table des matières

0.1 Missions principales de L’ONEE
0.2 Les ressources de l’ONEE de Fès
0.3 Complexe de production d’OUED SEBOU
0.4 Description de la station de pré-traitement
1 Étude probabiliste des Valeurs Extrêmes
1.1 Principe de la théorie des extrêmes
1.2 Loi des extrêmes généralisées, approche block maxima
1.2.1 Loi des valeurs extrêmes généralisée
1.2.2 Estimation des quantiles extrêmes par l’approche de la loi GEV
1.2.3 Estimation des paramètres de la loi GEV
1.3 Loi des excès, approche POT
1.3.1 Théorème de Pickands
1.3.2 Estimation des quantiles extrêmes par l’approche de la loi des excès
1.4 Estimation des paramètres de la loi des excès
1.5 Analyse exploratoire des données
1.5.1 Application : Estimation probabiliste des débits maximums annuels
2 Méthodes de Monte Carlo
2.1 Principe de la méthode
2.2 Validité et comportement de la méthode
2.2.1 Convergence de la méthode
2.2.2 Vitesse de convergence et erreur d’estimation
2.3 Comparaison avec l’intégration numérique
2.4 Monte Carlo dans un contexte bayésien
2.5 Simulation de variables aléatoires
2.5.1 Simulation suivant la loi uniforme
2.5.2 Méthode d’inversion
2.5.3 Méthode d’acceptation-rejet
2.6 Méthodes de réduction de la variance
2.6.1 Échantillonnage préférentiel (Importance Sampling)
2.6.2 Variables de contrôle
2.7 Application : Estimation des débits maximums annuels par la méthode de Monte Carlo
3 Prédétermination des crues extrêmes par simulation : Méthode SHYPRE
3.1 État de l’art de la méthode SHYPRE
3.1.1 Simulation de pluies
3.1.2 Le passage aux débits
3.2 Modèle de génération stochastique de pluies horaires de la méthode SHYPRE
3.2.1 Principe
3.2.2 Variables du modèle
3.3 Modèle de transformation pluie-débit(Modèle GR3H)
3.3.1 Architecture du modèle GR3H
3.3.2 Calage du modèle GR3H
3.3.3 Application : Estimation stochastique des débits maximums annuels de Oued Sebou
Bibliographie

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