Localisation spatiale de la lumière dans des systèmes à cristaux liquides

Qui ne s’est jamais demandé pourquoi un dalmatien présente des taches non uniformément réparties sur son pelage, ou comment certaines vagues peuvent se propager sur de très grandes distances sans jamais faiblir. A cette question nous répondons structure localisée, avec tous les mécanismes entrant en jeu dans sa formation. Localisée dans le sens où, en un point de l’espace, le système présente un état qui est différent de l’environnement dans lequel il se situe. Cet état spatialement localisé peut se présenter alors sous différentes formes selon le domaine d’étude, telles que des taches colorées sur des pelages d’animaux, mais aussi des différences de hauteur comme pour des vagues sur une étendue d’eau plane. Les mécanismes à l’origine de ces structures localisées sont universels, quel que soit le domaine dans lequel on les rencontre : biologie, chimie, hydrodynamique, optique, … Nous pouvons regrouper ces différents domaines où apparaissent des structures localisées dans la Science du Non-Linéaire. Celle-ci regroupe de nombreux phénomènes tels que la saturation, la quantification, les seuils critiques, la bistabilité… Le domaine de la Physique non linéaire, applicable à de nombreux phénomènes naturels, met en avant une réponse non directement proportionnelle à l’action à laquelle on soumet le système. Le nombre de manifestations naturelles qui en découle est astronomique, laissant une faible place aux évènements linéaires. De fait, beaucoup de systèmes d’apparence linéaire ne sont en réalité qu’une approximation première de systèmes non linéaires. Cependant, ils sont souvent utilisés dans le monde universitaire pour pouvoir mener par exemple des calculs analytiques, cachant la complexité du monde dans lequel nous vivons. Dans le cadre de cette thèse, nous abordons la physique non linéaire par tous les phénomènes optiques que l’on peut rencontrer lorsque les puissances mises en jeu sont assez importantes pour exacerber les phénomènes non linéaires et que l’on regroupe sous le nom d’Optique non linéaire.

L’origine des effets non linéaires en optique est dûe à l’interaction non linéaire d’un  milieu matériel avec un champ électrique −→E . Un tel matériau a la capacité de modifier localement le champ électrique par l’intermédiaire d’une polarisation non linéaire qui va induire à son tour une réponse non linéaire du système. Les non linéarités des matériaux sont en général très faibles, donc pendant longtemps les approximations linéaires des modèles théoriques étaient suffisantes pour prédire et valider les résultats expérimentaux obtenus à partir de sources optiques de faible intensité. Avec l’avènement de sources lumineuses intenses, telles le laser [1] dans les années 1960 les effets non linéaires sont exacerbés. Malgré des premières études théoriques antérieures [2], un corpus théorique tenant compte des nouveaux phénomènes observés dans cette discipline se mit en place (les modèles théoriques linéaires n’étant plus suffisants). Les nouveaux modèles non linéaires, dans les configurations les plus simples (loin des résonances), mirent en jeu un développement de la polarisation des matériaux en puissance de E jusqu’à l’ordre deux ou trois en général, permettant de reproduire les effets non linéaires observés.

Localisation de la lumière 

La morphogenèse

Qui ne s’est jamais surpris à contempler des formes, à la fois étranges et d’une beauté sans pareille, que l’on peut rencontrer dans la nature (Fig. 1.1). Que cela soit dans les airs, sur la terre ou dans les mers, des structurations aux visages complexes mais étonnants emplissent notre monde. Un simple œil avisé sait démasquer ces richesses au grès de la découverte de notre belle planète, la Terre. Ces formes, aussi variées soient-elles, ont des mécanismes morphologiques similaires dès que leurs structurations présentent des ressemblances. Et qu’importe les matières, les échelles ou le nombre de dimensions qui sont en jeu, une universalité regroupe tous ces phénomènes naturels.

L’émergence spontanée de formes ou de structures  se prénomme morphogenèse  et contribue à un phénomène d’auto-organisation  [13] du système. Autrement dit, la formation et le maintien de structures imposent au système une dissipation d’énergie. Il s’agit alors de structures dissipatives [14, 15, 16, 17] dans le sens de la théorie des structures dissipatives introduites par Ilya Prigogine [18]. C’est à dire des structures, qui malgré le deuxième principe de la thermodynamique  , apparaissent hors état d’équilibre. Cette notion d’ordre dans le désordre est longtemps restée inexpliquée du fait d’un manque de reproductibilité en laboratoire ou de modélisation mathématique. Un engouement de la communauté scientifique pour la morphogenèse émergea lorsque des structures spatialement organisées purent être générées en laboratoire. La première avancée majeure sur la compréhension de ces phénomènes date de 1952, avec le travail d’Alan Turing [19]. Il expliqua de manière fort simple la formation de structures spatiales grâce à une réaction de diffusion chimique appelée instabilité de Turing. Il identifia les composants indispensables à la morphogenèse de toute structuration. Premièrement, une non-linéarité pour briser la symétrie  du système, deuxièmement, un couplage spatial, par l’intermédiaire de gradients spatiaux (diffusion ou diffraction), assurant un transport spatial de l’information dans le système.

Les travaux novateurs de Turing ouvrirent la porte à d’autres domaines scientifiques présentant de la structuration spatiale. L’hydrodynamique, domaine très riche en structures spatiales, offrit de nouveaux champs d’études à la morphogenèse, notamment avec les structures convectives obtenues dans des fluides chauffés. Le phénomène le plus connu est l’instabilité de Rayleigh-Bénard  [20, 21] qui explique par exemple les mouvements du manteau terrestre ou encore la dynamique des couches moyennes de l’atmosphère (formation des altocumulus stratiformis) [Fig. 1.1(c)]. Ces deux types d’instabilités (Turing et Rayleigh-Bénard), malgré leur caractère universel, présentent des longueurs d’ondes d’instabilités spatiales différentes. Pour l’instabilité de Turing, la période caractéristique de la structure ne dépend pas de l’extension spatiale du système contrairement à l’instabilité de Rayleigh-Bénard. D’autres types d’instabilités, bien connues en hydrodynamique, existent dans la nature comme celles de Kelvin-Helmholtz  , de Rayleigh-Tailor  ou de Faraday  qui peut aussi être observée dans les milieux granulaires. L’hydrodynamique n’est pas le seul domaine scientifique riche en structures organisées spontanément, on retrouve de telles structures en biologie [22, 23], en chimie [24, 25], en électroconvection dans les cristaux liquides [26], en optique [27, 28, 29, 30, 13], etc. Toutes ces recherches ont fourni des outils puissants nécessaires à l’étude des instabilités spatio-temporelles. Les équations aux amplitudes [31, 16] en sont un bon exemple, elles décrivent l’évolution spatio temporelle au voisinage des bifurcations  des modes dominants de la structure. Elles peuvent être identifiées à l’une des formes normales  connues.

L’émergence d’une structure, dans n’importe quel système dynamique non linéaire, correspond à la déstabilisation d’un état homogène spatial ou temporel. Pour effectuer cette transition, d’un état homogène vers un état inhomogène, nous avons besoin d’une contrainte extérieure, appelée communément paramètre de contrôle  (noté F0 ici). Ce paramètre décrit de manière quantitative la transition s’opérant dans le système lorsque celui-ci dépasse une valeur critique F0c. Quand F0 = F0c on dit que le système bifurque vers une nouvelle solution, l’état homogène stable devient instable et engendre un nouvel état stable structuré. Lorsque l’on augmente encore le paramètre de contrôle F0, la longueur d’onde fondamentale d’instabilité s’accompagne de différentes harmoniques faisant apparaitre par exemple, une modulation toujours périodique, mais non sinusoïdale ou un régime d’émission d’évènements rares et intenses. Quand les énergies mises en jeu sont assez élevées, la dynamique peut devenir complexe avec un régime chaotique ou turbulent.

La morphogenèse en optique 

L’attention portée par les scientifiques à la morphogenèse en optique date des années 80. Plusieurs raisons peuvent expliquer cet intérêt soudain : (i) la volonté de travailler sur des systèmes de plus en plus complexes en incorporant des degrés de liberté spatiaux, car il était devenu évident que les modèles en onde plane ne suffisaient plus à expliquer les résultats expérimentaux observés [32] ; (ii) la montée en puissance des ordinateurs permettant de simuler numériquement des équations aux dérivées partielles, à trois dimensions dont une temporelle ; (iii) des effets non linéaires exacerbés, grâce à l’avènement de sources lasers intenses ; (iv) et l’utilisation d’expériences d’optique pour comprendre la morphogenèse rencontrée dans d’autres domaines. Les expériences d’optique offrent l’avantage de générer une grande variété de formes géométriques, telles que des carrés [33], des hexagones [34], des spirales [27], des triangles [35], … qui reproduisent les structures observées en dynamique des fluides. Pour générer de telles structures optiques, les scientifiques font appel, à différents dispositifs expérimentaux. Le plus aisé à mettre en œuvre est la propagation d’un faisceau lumineux à travers un matériau non linéaire. Cette configuration est bien connue puisque des effets non linéaires comme l’autofocalisation furent observés dès les années 70 [36]. En ajoutant un second faisceau, on obtient un dispositif de faisceaux contra propageants [37] qui dans une configuration de mélanges d’ondes a donné lieu à la première mise en évidence de phénomènes de structurations en optique. Les résonateurs optiques de types Pérot-Fabry ou en anneau, éléments clés du fonctionnement des sources lasers, ont été les premiers à présenter les premières organisations de modes transverses à partir des années 60 [38, 39, 40]. La configuration la plus récemment utilisée est un dispositif de rétro-action optique proposé par Firth [28] au début des années 90. Elle repose sur le principe d’un matériau non linéaire, disposé devant un miroir et irradié par un faisceau laser de forte puissance.

Ces dispositifs, en plus de pouvoir générer des structures à la géométrie spatiale diverse et variée, peuvent offrir une grande hétérogénéité d’échelles de temps. Cela comprend des temps caractéristiques très rapide (τ ∼ 10−9 s) pour les OPO 13, mais aussi très lent (τ ∼ s) pour des cristaux liquides (de type nématique, utilisé dans les expériences [41]). Un des grands atouts de l’optique en général est de pouvoir fournir en temps réel à l’expérimentateur la transformée de Fourier (TF) de la structure observée. Une simple observation dans le plan focal d’une lentille met en évidence son spectre optique. Cela nous offre alors différentes possibilités de travail comme l’analyse de régime complexe où plusieurs nombres d’onde peuvent coexister ou encore la sélection de certains nombres d’onde en réalisant un filtre spatial fréquentiel dans le plan de Fourier. Il est aussi possible de modifier à volonté le profil spatial d’intensité du faisceau de pompe optique (ou paramètre de contrôle) en utilisant un modulateur spatial de lumière (SLM pour Spatial Light Modulator en anglais) dans le plan confocal de deux lentilles identiques. Il ne faut pas perdre de vue non plus que les équations de Maxwell [42], établies il y a près de cent cinquante ans, fournissent une modélisation théorique permettant de reproduire les différentes structures observables expérimentalement. Enfin l’étude de la morphogenèse en optique a aussi des applications directes. En effet, de nombreux phénomènes d’auto-organisation existent naturellement et peuvent être une source de problèmes ou d’effets indésirables dans différents dispositifs expérimentaux. Il est alors intéressant de pouvoir les supprimer telle que la réduction de fluctuations d’intensité lors de la génération de supercontinuum dans les fibres optiques [43]. Mais aussi, de les maitriser et d’en tirer partie dans des applications technologiques (propagation de plasmons de surface [44], manipulation de cavity soliton [45], etc [46, 47]).

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Table des matières

Introduction
1 Contexte, position du problème, systèmes utilisés et caractéristiques techniques
1.1 Localisation de la lumière
1.1.1 La morphogenèse
1.1.2 La morphogenèse en optique
1.1.3 Les structures localisées en optique
1.2 Les systèmes utilisés
1.2.1 Les différentes configurations
1.2.1.1 Rétro-action optique pour les évènements rares et intenses
1.2.1.2 Cavité Pérot-Fabry pour les structures localisées
1.2.2 Le milieu non linéaire : le cristal liquide nématique ancré
1.2.2.1 Organisation structurelle
1.2.2.2 Équation de réorientation moléculaire du directeur sous l’action d’un champ électrique
1.2.3 Modélisation des systèmes
1.2.3.1 Intégration numérique
1.2.4 La diffraction négative
1.2.4.1 La rétro-action optique
1.2.4.2 La cavité Kerr
1.2.4.3 Dispositifs à distances optiques négatives
1.2.4.4 Mesure des longueurs optiques
1.3 Les caractéristiques expérimentales
1.3.1 Les dispositifs expérimentaux
1.3.1.1 La rétro-action optique
1.3.1.2 La cavité Pérot-Fabry
1.3.2 La source lumineuse
1.3.3 Angle d’inclinaison de l’échantillon du cristal liquide
1.3.4 Fonction de transfert de la cavité Pérot-Fabry
1.3.4.1 Source incohérente avec un front d’onde plan
1.3.4.2 Source cohérente avec un front d’onde non plan : le laser
1.3.4.3 Étude expérimentale de la fonction de transfert de la cavité Pérot-Fabry plan-plan
1.3.4.4 Étude numérique de la fonction de transfert de cavité
1.3.5 Les paramètres et constantes des dispositifs de rétro-action et de cavité
1.3.6 Stabilisation active de la longueur de la cavité Pérot-Fabry
I Les structures localisées en cavité diffractante ou anti-diffractante
2 Cavité à diffraction positive : génération de solitons
2.1 Prédictions analytiques & numériques
2.1.1 Prédictions analytiques à partir du modèle en champ moyen
2.1.2 Prédictions numériques à partir du modèle itératif
2.1.3 Étude numérique des solitons
2.1.3.1 Largeur à mi-hauteur des solitons
2.1.3.2 Périodicité des oscillations des ailes des solitons
2.1.3.3 Analyse des pics d’intensité des oscillations des ailes des solitons
2.1.3.4 États liés de solitons
2.1.4 Influence du profil gaussien du champ de pompe et du bruit sur la robustesse des solitons
2.1.4.1 Influence du profil gaussien
2.1.4.2 Influence du bruit
2.1.4.3 Cas expérimental
2.2 Résultats expérimentaux
2.2.1 Mise en évidence de solitons
2.2.2 États liés de solitons
3 Cavité à diffraction négative : génération de parois de domaines
3.1 Prédictions analytiques & numériques
3.1.1 Prédictions analytiques à partir du modèle en champ moyen
3.1.2 Prédictions numériques à partir du modèle itérati
3.2 Influence d’un pompage inhomogène : Le blocage des parois
3.2.1 Un modèle simple de parois propagatives : la bifurcation fourche imparfaite
3.2.1.1 Expression analytique de la paroi stationnaire
3.2.1.2 Calcul de la vitesse de déplacement d’une paroi
3.2.2 Blocage de parois par un forçage spatial gaussien
3.2.2.1 Étude analytique
3.2.2.2 Étude numérique du blocage de parois de domaines par un forçage spatial parabolique
3.2.2.3 Étude numérique du blocage de parois de domaines par un forçage spatial gaussien
3.2.3 Influence du profil transverse du faisceau dans le modèle itératif
3.2.3.1 Ancrage de parois de domaines par un forçage spatial gaussien
3.2.3.2 Ancrage des parois par la fonction de transfert de la cavité Pérot-Fabry (FTC)
3.3 Résultats expérimentaux
3.3.1 Mise en évidence expérimentale de parois de domaines
3.3.2 Dynamique des parois de domaines expérimentales
3.4 Cavité à diffraction nulle : génération de parois de domaine sans modulation
3.4.1 Prédictions numériques à partir du modèle en champ moyen
3.4.2 Prédictions numériques à partir modèle itératif
3.4.3 Dynamique des parois de domaines
II Une forme de localisation spatiale en régime très fortement non linéaire
4 Continuum de fréquences et structures rares et intenses
4.1 Évènements rares en régime très fortement non linéaire
4.2 Génération du continuum spectral
4.3 Approche statistique
4.3.1 Fonction de Densité de Probabilité
4.3.2 Influence du profil gaussien sur la Fonction de Densité de Probabilité
4.3.3 Analyse de la transition vers les régimes fortement non linéaires en terme de PDF
4.4 Analyse du régime très fortement non linéaire
4.4.1 Rapport des pics les plus intenses au pic significatif
4.4.2 Modélisation des PDFs – Distribution Gamma Généralisée (GGD)
4.4.3 Application de la modélisation de la PDF au régime très fortement non linéaire observé dans l’Équation de Schrödinger non linéaire (NLSE)
4.4.4 Étude de la transition : régime faiblement non linéaire – régime très fortement non linéaire
4.4.5 Dissymétrie de la Fonction de Densité de Probabilité
4.5 Expériences en régime très fortement non linéaire
4.5.1 Génération du supercontinuum spectral
4.5.2 Étude statistique
Conclusion

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