Lien avec notre questionnement initial et formulation de la problématique

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Paradigmes expérimentaux et efficacité

Dans la littérature didactique anglo-saxonne, la notion de métacognition a été largement abordée, et des chercheurs ont proposé des ingénieries didactiques visant à développer la métacognition chez les élèves. Dans nombre d’entre elles, les élèves doivent formuler des questions auto-adressées et y répondre au cours de la recherche mathématique (Kramarski, 2002, p.228). Le même auteur identifie les éléments importants figurant dans ces questions et en donne des exemples :
« (a) Saisir le problème (“De quoi s’agit-il dans ce problème ?”).
(b) Construire des connexions entre des connaissances anciennes et nouvelles (“Quelles sont les similarités et les différences entre ce problème et ceux que j’ai résolus dans le passé ? Pourquoi ?”).
(c) Utiliser des stratégies appropriées à la résolution du problème (“Quelles sont les stratégies/tactiques/propriétés adaptées pour résoudre ce problème et pourquoi ?”).
(d) Retour réflexif sur les procédures et la solution (“Où est-ce que je me suis trompé ?”; “La solution est-elle vraisemblable ?”) »1.
La métacognition est souvent étudiée dans le contexte du travail en petits groupes. Des études citées par le même auteur ont montré que le travail individuel comportant un tel enseignement métacognitif a un effet plus positif sur la performance mathématique des élèves que le travail coopératif ou individualisé sans enseignement métacognitif, et que le travail coopératif avec enseignement métacognitif est encore plus efficace.

Paradigmes expérimentaux et efficacité

Dans le même cours, Dehaene soutient que le contrôle exécutif peut être entraîné, avec des effets positifs sur le développement cognitif chez l’enfant et une amélioration des performances cognitives chez l’adulte. De plus, ces effets seraient généralisables : des sujets qui se sont entraînés sur certaines tâches sont plus à même de réussir des tâches différentes exigeant aussi un grand contrôle exécutif.
Outre la pratique régulière d’un instrument de musique et de la méditation, qui permettraient d’améliorer le contrôle exécutif, plusieurs paradigmes expérimentaux ont été imaginés et testés dans la littérature. Les jeux vidéo d’action augmentent la capacité à maintenir une attention soutenue et à inhiber une réaction inappropriée (Cardoso-Leite, 2014, p.191). Chez les enfants, une expérimentation a été menée en maternelle (Diamond, 2007, p.1387) : on a donné aux enfants des notions très élémentaires sur le fonctionnement de leur esprit ainsi que des outils pour réguler leur comportement. Les enseignants ont également été sensibilisés à la problématique de l’attention et de sa gestion. Un effet positif important sur la capacité d’inhibition a été observé.

Typologie des erreurs et statut de l’erreur

L’erreur a eu de multiples statuts en pédagogie. Dans le modèle transmissif, qui tend aujourd’hui à disparaître, l’erreur a un statut négatif. Sa réalisation est considérée comme une faute par l’élève, et l’enseignant doit se remettre en question lorsqu’elle survient. Dans le modèle constructiviste, le but de l’enseignant n’est plus d’éviter que ses élèves produisent des erreurs mais plutôt de les laisser apparaître et de les traiter (Scala, 1995). Elles fournissent à ce dernier des informations essentielles comme le savoir initial de l’élève, les tâches intellectuelles qu’il réalise et les obstacles qu’il rencontre. Le statut de l’erreur passe du négatif au positif, voire à l’indispensable lorsque l’on parle non plus d’erreurs fautives mais d’erreurs créatrices. Ainsi, pour reprendre les mots de Jean-Pierre Astolfi (1997, p.26) :
“Il n’est finalement pas d’apprentissage vrai sans tentative de tester dans un cadre nouveau des outils dont le caractère opératoire ne s’applique qu’à un champ limité. “
Ainsi, si l’on ne s’est pas trompé, c’est que l’on n’a pas testé assez loin (ou suffisamment extrapolé) nos connaissances pour en établir de nouvelles. On peut maintenant se poser les questions suivantes : Toutes les erreurs sont-elles potentiellement créatrices? Y a-il des facteurs communs entre elles qui peuvent nous permettre de mieux les analyser et d’en tirer des remédiations afin de mieux les traiter?
Plusieurs didacticiens ont proposé des typologies d’erreurs commises par les élèves. Guy Brousseau en établit plusieurs correspondant à autant de points de vue (par l’échelle d’importance que lui donne l’élève, l’importance pour l’enseignant, etc). Plus récemment, Jean-Pierre Astolfi (1997, p.58-59) a proposé la typologie des erreurs suivante, souvent reprise dans la littérature didactique :
1. des erreurs relevant de la compréhension des consignes.
2. des erreurs résultant d’habitudes scolaires ou d’un mauvais décodage des attentes.
3. des erreurs témoignant de conceptions ou de représentations erronées.
4. des erreurs liées aux opérations intellectuelles impliquées.
5. des erreurs portant sur les démarches adoptées.
6. des erreurs liées à une charge cognitive trop importante.
7. des erreurs ayant leur origine dans une autre discipline.
8. des erreurs causées par la complexité du contenu.
Parmi les catégories ci-dessus, deux sont en lien étroit avec notre problématique :
les erreurs résultant d’habitudes scolaires ou d’un mauvais décodage des attentes (2) et celles témoignant de conceptions ou de représentations erronées (3).
Jean-Pierre Astolfi (1997, p.65-68) détaille les erreurs classées dans la catégorie 2 de la façon suivante :
• réponses non adaptées à la situation et non logiques.
• résolution erronée mais utilisant des règles plaquées sans réflexion.
• absence de réponse par peur de se tromper.
• difficultés liées à des obstacles épistémologiques et psychologiques non pris en compte lors de l’apprentissage (exemple : 5,43 > 5,7).
Face à ce type d’erreurs, il propose comme remédiations l’explicitation des règles scolaires (clarifier le contrat didactique), l’apprentissage par situation – problème complexe, le travail sur “la représentation de l’erreur qui doit être considérée comme témoin des processus intellectuels en cours” ainsi que la construction par les élèves des règles à appliquer et l’analyse du domaine de validité de ces dernières.
Ce dernier point, l’analyse du domaine de validité des règles, a été travaillé de manière spécifique comme il en sera fait mention ultérieurement.
Concernant la catégorie 3 – des erreurs témoignant de conceptions ou de représentations erronées – Jean-Pierre Astolfi (1997, p.69) leur donne pour cause la construction depuis l’enfance de « systèmes cohérents d’explication » et des « conceptions alternatives [qui] s’avèrent très résistantes aux efforts d’enseignement » ainsi que les différences de signification de certains mots utilisés en mathématiques par rapport au langage courant (“le sommet” en géométrie par exemple).
Il faudrait, pour diminuer leurs apparitions, toujours selon Jean-Pierre Astolfi (1997, p. 74-75), prendre en compte les représentations des élèves en les leur faisant schématiser, les faire discuter des conceptions ou en provoquant une contradiction apparente dans certaines d’entre elles. Le débat d’idées et les tâches coopératives grâce auxquelles des conflits socio-cognitifs peuvent apparaître seraient à encourager.
On pourrait penser, à première vue, que la cinquième catégorie d’erreurs : “des erreurs portant sur les démarches adoptées” fait partie intégrante de notre sujet de recherche. Mais Jean-Pierre Astolfi (1997, p.81) y classe les productions d’élèves qui ne sont pas conformes aux attentes au regard de ce qui a été travaillé auparavant, ce qui signifie qu’elles dénotent une réelle compréhension de l’élève concernant ce qui lui est demandé et qu’elles ne manquent pas de pertinence. De ce fait, elles n’entrent pas dans le cadre de notre présent travail.

Lien avec notre questionnement initial et formulation de la problématique

Le point de départ de notre questionnement était l’observation d’un certain type d’erreurs récurrentes chez les élèves. Dans cette partie, nous réexaminons ce point de départ à la lumière des notions qui viennent d’être exposées et nous précisons les aspects théoriques les plus pertinents pour notre questionnement. Cela nous permet d’aboutir à la formulation de notre problématique.
Au début de notre questionnement, nous nous demandions en fait comment éliminer les erreurs qui résultent de l’application d’une procédure hors de son domaine de validité. Nous pensons désormais que ces erreurs sont des erreurs créatrices, utiles pour la construction de la connaissance mathématique. Cependant, nous constatons que des erreurs de ce type qui surviennent dès le début du cycle 4 perdurent souvent trop longtemps, parfois jusqu’au lycée. Par conséquent, nous ne nous donnons pas pour objectif d’empêcher leur apparition, mais de faire en sorte qu’elles soient réellement l’occasion d’un apprentissage lorsqu’elles surviennent, et qu’elles ne survivent pas à leur utilité.
Nous pensons que cet objectif pourrait être atteint à travers :
– un contrôle des résultats plus fréquent.
– l’acquisition de certaines connaissances métacognitives.
– le développement de l’autorégulation et du contrôle exécutif.
– un changement de point de vue sur l’erreur.
Ces trois points sont développés ci-dessous.
Le contrôle des résultats. Parmi la grande diversité des pratiques et des types de contrôle, en nous appuyant sur les programmes de 4eme et de 5eme, nous voulons donner aux élèves certaines des procédures leur permettant de vérifier leurs résultats. Parmi celles-ci figurent l’incohérence des résultats, les ordres de grandeurs ou le fait de revenir à des images mentales.
Connaissances métacognitives visées. Nous aimerions amener les élèves à acquérir certaines connaissances métacognitives. Nous voudrions notamment faire réaliser à certains élèves qu’ils doivent parfois se méfier de leur première intuition. Bien entendu, cela n’implique pas que l’intuition doit disparaître de l’activité mathématique des élèves. Au contraire, elle en est une composante majeure et apprendre à faire des mathématiques, c’est aussi forger, affiner et corriger son intuition. La connaissance d’un certain nombre d’erreurs spécifiques que l’élève a tendance à commettre est aussi un objectif.
Autorégulation et contrôle exécutif. Nous ne nous attachons pas à développer chez les élèves une meilleure capacité à gérer l’allocation de ressources au cours de la recherche sur un problème, même si cela pourrait faire l’objet d’un travail intéressant, notamment en lien avec les problèmes ouverts. Nous ne voulons pas non plus encourager les élèves à exercer un “monitoring” de tous les instants, qui alourdirait sans doute excessivement la charge cognitive (Focant, 2004) et serait peut-être contre-productif.
En revanche, nous voulons encourager l’apparition d’un moment d’intrusion de la métacognition dans la pensée au moment d’appliquer une procédure : cette procédure est-elle adaptée/correcte ? Pour répondre à cette question, outre la référence au cours mémorisé, nous voulons aussi équiper les élèves de deux outils : la capacité à tester une procédure, et la connaissance d’un répertoire d’erreurs classiques qu’ils ont commis dans le passé.
Le cas échéant, les élèves doivent être capables d’inhiber la démarche incorrecte. Statut de l’erreur. De la part des élèves comme des enseignants, deux attitudes sont possibles face à une erreur : l’écarter car elle n’a pas été obtenue par la méthode attendue, ou l’invalider par des procédures de contrôle (incohérence dans le raisonnement, ordre de grandeur, contradiction avec un résultat obtenu par une procédure validée, etc). Nous voulons favoriser chez les élèves cette seconde attitude, qui permet à la fois de donner plus de sens à l’activité mathématique, et, nous l’espérons, de progresser dans ses capacités et ses connaissances mathématiques.
Cela nous amène à la question suivante : comment concevoir des activités et des pratiques à composante métacognitives dans le but d’encourager les élèves à exercer davantage de contrôle sur leur pratique mathématique ?

Dans les classes de Pauline

● Les erreurs fréquentes dans les interrogations et les contrôles sont reprises à l’oral, avec un débat entre les élèves. Cela prend souvent la forme de Vrai/Faux ou de diapositives présentant plusieurs solutions, parmi lesquelles les élèves doivent identifier celles qui sont incorrectes. Un tel exemple figure en annexe (A). Les arguments permettant d’invalider des réponses incorrectes sans passer par la procédure correcte sont valorisés. Les élèves identifient ainsi parfois des incohérences dans certaines réponses.
L’objectif de ce travail est double : il s’agit d’identifier ensemble des erreurs fréquentes à ne pas commettre – en comptant sur l’attention des élèves qui se reconnaissent dans les erreurs présentées – mais aussi de développer la capacité à détecter une erreur dans une production finie et à argumenter de manière convaincante, à l’aide de procédures de contrôle.
● Après chaque évaluation sommative, Pauline regroupe les élèves selon les erreurs qu’ils commettent et élabore pour chaque groupe une fiche de remédiation. Ces fiches contiennent souvent des exercices de repérage d’erreur (voir annexe B). Des rappels de cours, ainsi que des exemples d’erreurs commentées, y figurent aussi.
Cette remédiation différenciée permet aux élèves de travailler sur leurs propres erreurs.
● Pendant les évaluations, les élèves sont invités à estimer leur note sur leur copie. L’objectif est de les amener à faire un retour réflexif sur leur production. En évaluant leur propre travail grâce au barème, ils pourraient penser à vérifier certaines réponses, ou au moins effectuer un jugement métacognitif de confiance dans leur résolution. Ils acquièrent ainsi un certain recul sur leur production. En répétant cette tâche à chaque évaluation, ils apprennent aussi peut-être à mieux évaluer ce qu’ils savent et ce qu’ils ne savent pas.
Dans tout ce qui précède, nous avons fait l’hypothèse que les erreurs relevant de l’application de procédures hors de leur domaine d’application sont liées à une incapacité à inhiber certains automatismes. Il faut cependant considérer une autre éventualité : les élèves qui font ces erreurs savent que leur réponse est probablement fausse, mais savent aussi qu’ils sont incapables de résoudre le problème de manière correcte. Ils préfèrent alors écrire quelque chose plutôt que rien. L’estimation de la note peut donner une indication à ce sujet en permettant d’évaluer la distance entre ce que l’élève croit avoir réussi et ce qu’il a réellement réussi.

Difficultés prévues

Les élèves pourraient avoir des difficultés à repérer l’erreur dans chaque extrait avant de commencer le classement proprement dit. Les plus faibles, qui sont susceptibles de commettre ces erreurs, doivent fournir un effort pour conséquent pour repérer certaines erreurs. C’est pourquoi nous avons choisi, contrairement à ce qui a été fait dans la première séance, de mentionner dans la fiche élève que les extraits contiennent des erreurs.
Comme mentionné précédemment, les catégories choisies par les élèves pourraient ne pas correspondre aux types d’erreurs mais à autant d’objets mathématiques contenus dans les copies d’élèves (fractions, inconnues). Nous avons fait le pari que la discussion au sein d’un groupe ou entre les groupes dans la phase de mise en commun ferait ressortir le fait que certaines erreurs sont très similaires même si elles ne contiennent pas les mêmes objets mathématiques.
Au moment de compléter le tableau, les élèves risquent de prendre un nombre arbitraire de catégories pour pouvoir commencer à remplir le tableau. C’est aussi pourquoi chaque groupe dispose de plusieurs fiches élèves, ce qui leur permet le cas échéant de recommencer la fiche qu’ils rendront.
Les élèves pourraient aussi ne pas comprendre comment utiliser le tableau, car il est inhabituel de demander de diviser un tableau en plusieurs colonnes. Des explications personnalisées pourront être données à ce sujet pendant la phase de recherche.
Certaines erreurs peuvent être interprétées de plusieurs façons, dont certaines que nous n’avons sans doute pas envisagées. Par exemple, l’erreur dans la copie d’élève “H” est susceptible de ne pas être perçue par les élèves comme relevant des priorités opératoires.
Comme pour tout travail en groupe, dans la phase de mise en commun, les élèves, concentrés sur leurs propres classements, risquent de ne pas prêter attention aux classements de leurs camarades. Pour maintenir leur attention, ils pourront être sollicités pour comparer les classements présentés à leur propre classement et se préparer à modifier ou à défendre le leur.

Analyse a posteriori

Déroulement réel. La séance a eu lieu sur deux heures consécutives avec les deux demi-groupes. Pendant la première heure, les élèves ont perdu trop de temps à comprendre ce que l’on attendait d’eux. Ils se sont souvent engagés dans des classifications sur des critères qui ne remplissaient pas les objectifs (les plus faibles au hasard). Par conséquent, Pauline a donné oralement dès le début une consigne plus fermée aux élèves de l’autre demi-groupe. Il leur a été demandé de classer les extraits en regroupant dans une même catégorie ceux qui témoignaient de “la même erreur”.
Par ailleurs, l’exposé successif des différentes classifications pendant la première heure n’a eu qu’un intérêt très limité en termes d’apprentissage. Les passages à l’oral dans le deuxième demi-groupe se sont donc déroulés un peu différemment : une première classification a été exposée et notée au tableau par le premier porte-parole, puis cette classification a été discutée et modifiée peu à peu par les autres groupes.

Difficultés observées et limites de cette séance

Rétrospectivement, la question “classer ces erreurs” nous paraît bien trop ouverte, surtout pour un si grand nombre d’extraits et de catégories. L’enseignant ne peut remettre en cause la classification des erreurs donnée par les élèves. Il ne peut que les guider dans leurs prospections et si aucun des groupes présents ne pointe les bons critères, il est très difficile de donner une catégorisation “corrigée” aux élèves à la fin de la séance.
Voici quelques exemples de classifications proposées par des élèves du premier groupe. Elles montrent que plusieurs critères pouvaient être imaginés, valides mais qui ne permettent pas les apprentissages visés. Nous ne reprenons ici que les deux premières lignes du tableau.

L’activité d’analyse d’erreurs

Le choix des erreurs. Afin que les élèves de quatrième d’Ibrahim puissent voir et analyser précisément un maximum d’erreurs durant cette séance, nous avons décidé de ne retenir que quatre types d’énoncé parmi ceux qui ont été présentés aux élèves de quatrième de Pauline lors de la séance 2 :
• Déterminer la longueur d’un côté adjacent à l’angle droit d’un triangle rectangle en connaissant les deux autres.
• Comparaison de fractions.
• Addition/soustraction de fractions.
• Réduction d’expressions littérales.
Notre choix s’est fait sur trois critères :
• La richesse didactique. On voulait donner la possibilité de contrôler les résultats par divers moyens. Par exemple, les réponses proposées aux questions sur la comparaison et l’addition/soustraction de fractions peuvent être vérifiées en réduisant au même dénominateur ou en recourant à la calculatrice. Par l’incohérence aussi : dans les quatre situations proposées faisant appel à l’égalité de Pythagore, la longueur de l’hypoténuse est inférieure à la longueur trouvée du côté adjacent à l’angle droit. Nous voulions aussi voir figurer une réponse correcte avec une justification fausse car cela incite à réfléchir sur le domaine de validité d’une procédure, comme nous l’avons constaté au cours de la séance 1.
• La fréquence de ces erreurs dans la classe. Des erreurs récurrentes que les élèves font depuis le premier trimestre liées à l’utilisation de l’égalité de Pythagore et à la réduction d’expressions littérale ont été accompagnées d’erreurs “classiques” sur le chapitre qu’ils viennent de voir : sommer/comparer les numérateurs et les dénominateurs   pour   sommer/comparer  deux fractions.
• Leur présence au devoir commun qui se déroulera 3 jours après la séance d’analyse d’erreur. Seuls les trois derniers types de questions y sont abordés sachant que le dernier chapitre traité avant cette séance porte sur la comparaison et l’addition/soustraction de fractions.
La généralisation des règles fausses proposées avec des expressions littérales étant un travail coûteux en temps (voir II. 4. 2. Analyse a posteriori) et ne rentrant pas dans les objectifs de cette séance, nous ne l’avons pas pris comme critère de sélection des situations erreurs (le calcul de la longueur du côté adjacent à l’angle droit d’un triangle rectangle ne s’y prêtant pas). Ce travail est tout de même très intéressant (voir II.3. 1. Analyse a posteriori) et mériterait de prendre place dans une seconde séance d’analyse d’erreurs du même type lorsque les élèves seraient plus familiers avec ce qui leur est demandé.

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Table des matières

I. Outils théoriques
1. Contrôle
2. Métacognition
3. Autorégulation et contrôle exécutif
4. Typologie des erreurs et statut de l’erreur
5. Lien avec notre questionnement initial et formulation de la problématique
II. Expérimentation
1. Objectifs et démarches choisies
2. Dans nos pratiques
3. Séance 1
3.1. Analyse a priori
3.2. Analyse a posteriori
4. Séance 2
4.1. Analyse a priori
4.2. Analyse a posteriori
III. Améliorations et prolongements
1. Séance 3
1.1. Analyse a priori
1.2. Analyse a posteriori
2. Dans nos pratiques
2.1. Améliorations
2.2. Prolongements
Conclusion
Bibliographie

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