L’identification par signaux acoustiques

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M´ethodes num´eriques de domaine

Dans les cas o`u l’on ne se trouve pas dans une plage de fr´equences permettant les simplifications vues pr´ec´edemment et que l’obstacle n’a pas une forme canonique ou que le domaine ext´erieur n’est pas born´e, il n’est pas possible de faire appel a` des m´ethodes analytiques de r´esolutions. Mais, depuis l’apparition des ordinateurs, il est heureuse-ment possible de faire des calculs num´eriques avec un nombre d’inconnues assez impor-tant. Pour les probl`emes de propagations d’ondes, en plus d’une bonne repr´esentation de la g´eom´etrie, il est n´ecessaire de d´ecrire les variations du ph´enom`ene ondulatoire. Il est couramment admis qu’un minimum de dix points de discr´etisation par longueur d’onde soit n´ecessaire (il semblerait qu’en s’approchant des hautes fr´equences ce nombre dˆut augmenter).
Nous ne pr´esenterons pas les m´ethodes num´eriques de domaines [7]. Nous rappelons qu’il en existe deux principales : la m´ethode des diff´erences finies (obtenue directement `a partir de l’´equation de Helmholtz) et la m´ethode des el´ements finis. Leur principal avantage est de pouvoir prendre en compte simplement les h´et´erog´en´eit´es de comporte-ment `a l’int´erieur du domaine. Leur principal inconv´enient est dans les cas non born´es o`u il est n´ecessaire de mailler un domaine important. D’autre part, le domaine de simu-lation ´etant in´evitablement fini, des conditions aux limites doivent ˆetre impos´ees afin d’essayer de prendre en compte le comportement des ondes sortantes. En particulier, la condition de Sommerfeld n’est jamais exactement v´erifi´ee. Toutefois, des conditions absorbantes peuvent ˆetre appliqu´ees aux limites du domaine de calcul et permettent, par exemple, de r´esoudre des probl`emes d’inversion en 3D [35].

La m´ethode des el´ements de fronti`ere

La discr´etisation de la fronti`ere du domaine et des champs inconnus transforme les ´equations int´egrales vues pr´ec´edemment en un syst`eme lin´eaire : c’est la m´ethode des el´ements de fronti`ere [10]. Nous discuterons de ses propri´et´es dans l’introduction du chapitre 2. Notons toutefois que ces m´ethodes sont fort appr´eci´ees quand le domaine est non born´e pour les raisons que nous avons d´ej`a evoqu´ees. Pour notre part nous re-tiendrons que cette m´ethode r´eduit d’une dimension l’espace maill´e et que le remaillage des fronti`eres internes est plus simple que le maillage volumique de tout le domaine. Cependant ces consid´erations concernent essentiellement une m´ethode de r´esolution du probl`eme inverse.
L’´equation int´egrale conduit `a un syst`eme lin´eaire dont la matrice est pleine et complexe, ce qui limite s´ev`erement (besoin m´emoire O(N2) et temps de calcul O(N3)) la taille num´erique (nombre N d’inconnues nodales sur les el´ements de fronti`ere) des probl`emes si un solveur direct est employ´. Pour traiter les calculs de grande taille occasionn´es par le contexte 3D, on est ainsi amen´ `a faire appel `a un solveur it´eratif, qui ne demande pas le stockage de la matrice. La rapidit´e de r´esolution d´epend alors essentiellement de celle du calcul d’un produit matrice-vecteur. Cette op´eration est a priori de complexit´ O(N2), r´edhibitoire pour les cas de grande taille (domaine grand devant la longueur d’onde). La m´ethode multipˆole rapide, ou Fast Multipole Method en anglais (FMM), initialement propos´ee par Greengard et Rohklin vers 1985 et depuis ´etendue aux formulations int´egrales de nombreux probl`emes de la physique, permet d’acc´el´erer cette phase cruciale du calcul et r´eduire la complexit´ d’un produit matrice-vecteur `a O(N log N) en dynamique. Elle sera etudi´ee dans ce travail.

R´esolution du probl`eme inverse

Sont habituellement d´esign´es comme probl`emes inverses des probl`emes d’inversion qui sont ´egalement mal pos´es au sens d’Hadamard. Ce caract`ere math´ematique a fait que pendant longtemps ils n’ont pas et´ etudi´es. D´esormais la situation a chang´e et les int´erˆets pratiques d´ej`a evoqu´es ont suscit´e de nombreuses ´etudes sur les probl`emes mal pos´es en particulier les probl`emes inverses [6, 12, 14, 43, 66]. Passons en revue quelques m´ethodes propos´ees dans un cadre dynamique.

M´ethodes lin´eaires

Dans des cas limites d´ej`a pr´esent´es pour la r´esolution du probl`eme direct il est possible de formuler le probl`eme inverse sous la forme d’un probl`eme lin´eaire. C’est le cas par exemple pour la d´etection d’un obstacle rigide a` haute fr´equence ou celui d’une r´egion de faible contraste a` basse fr´equence, si les mesures sont effectu´ees suffisamment loin de l’obstacle (mesure en champ lointain) (voir [14]).
Des m´ethodes utilisant des fonctionnelles d’´ecart `a la r´eciprocit´ sont utilis´ees pour la d´etection de fissures. Initialement d´evelopp´ees par Andrieux pour la d´etection de fissures planes dans des solides par des mesures statiques [3, 4, 5] . Des travaux r´ecents de Bui, Constantinescu, Maigre exploite la mˆeme id´ee en dynamique [15, 16]. L’id´ee principale de la m´ethode consiste `a exploiter le non respect d’une identit´ de r´eciprocit´ (type Maxwell-Betti) entre un champ d´efini sur un domaine sain et un autre d´efini sur le domaine r´eel dans le cas de pr´esence d’une fissure. Ensuite, la m´ethode repose sur le choix judicieux de familles de champs adjoints d´efinis sur le domaine sain afin d’obtenir des informations successivement sur l’inclinaison du plan de la fissure, sa position et l’´etendue de la fissure.
La m´ethode appliqu´ee `a la dynamique exploite les mˆemes id´ees. Notons toutefois que l’obtention des informations est moins explicite et n´ecessite plus d’exp´eriences num´eriques. En particulier, c’est l’enveloppe convexe de la fissure qui est obtenue. Par ailleurs, on pourra noter que dans ce cas la d´etection est de type impulsionnelle et n´ecessite des envois d’ondes dans un maximum de directions.

Approche par optimisation

Ces m´ethodes proposent de chercher la solution du probl`eme inverse comme mini-mum d’une certaine fonction coˆut ou fonction objectif J choisie par l’utilisateur [12, 9]. La fonction coˆut pourra, par exemple, ˆetre une distance au sens des moindres carr´es entre des donn´ees mesur´ees et des donn´ees simul´ees. Notons que cette d´emarche peut aussi ˆetre reli´ee a` la m´ethode de r´egularisation, via la minimisation d’une fonctionnelle stabilisatrice, propos´ee par Tikhonov et Arsenine [66]. R´esoudre notre probl`eme nous porte donc a` nous int´eresser aux m´ethodes d’optimisation non-lin´eaires.
Nous distinguerons deux types d’approches pour la minimisation de la fonction coˆut, celles faisant appel a` l’´evaluation du gradient et celles utilisant un algorithme g´en´etique.
Minimisation utilisant le gradient [2, 8, 20] Ces m´ethodes n´ecessitent la dif-f´erentiabilit´ de la fonction coˆut puisque le minimum est cherch´ it´erativement en suivant la pente du gradient. Les plus connues sont le gradient conjugu´e, DFP ou encore BFGS. Le minimum alors trouv´e d´epend fortement des conditions initiales choisies. Plus pr´ecis´ement ce minimum n’est que local, c’est le point le plus bas de la « cuvette » a` laquelle appartient le point initial. En revanche, ce minimum est g´en´eralement trouv´e en peu d’it´erations. La fonction coˆut est evalu´ee peu de fois, mais son gradient l’est autant. Pour ne pas perdre le plus gros avantage de ce type de m´ethodes (le temps de calcul) la m´ethode d’´evaluation du gradient doit ˆetre choisie soigneusement. Sans entrer dans les d´etails d’une discussion par ailleurs d´ej`a men´ee [9], nous retiendrons que la m´ethode pr´econis´ee, la m´ethode de l’´etat adjoint, permet une ´evaluation du gradient d’un coˆut faible par rapport a` celui de la fonction objectif.
Les algorithmes g´en´etiques [2] Ces m´ethodes de minimisation it´eratives reposent sur l’´evaluation de la fonction coˆut pour une population (i.e. un N-uplet de valeurs appel´ees individus) tir´ee al´eatoirement. Cette population ´evolue a` l’aide de crit`eres de performances et de tirages al´eatoires. Les avantages de telles m´ethodes sont qu’elles per-mettent une recherche globale du minimum et qu’elles ne reposent que sur l’´evaluation de la fonction coˆut, en particulier elles ne n´ecessitent pas l’´evaluation du gradient. Elles sont donc applicables a` des fonctions non diff´erentiables. Malheureusement chaque ´evaluation de la fonction coˆut n´ecessite la r´esolution d’un probl`eme direct. Ces m´ethodes sont alors trop ch`eres en temps de calcul, dans le contexte d’un probl`eme de dynamique, puisque chaque it´eration n´ecessite l’´evaluation de J pour chaque individu.
Inconv´enients de l’approche par optimisation. Si les m´ethodes utilisant la minimisation d’un fonction coˆut permettent de resoudre finement le probl`eme in-verse, ces approches peuvent poser probl`eme. En effet, chaque ´evaluation de la fonc-tion coˆut n´ecessite la r´esolution d’un probl`eme direct ce qui, pour la r´esolution d’un probl`eme dynamique tridimensionnel peut devenir limitatif. En particulier, les algo-rithmes ´evolutionnaires n´ecessitant un tr`es grand nombre de simulations directes sont donc ecart´es dans ce contexte. De leur cot´e les algorithmes plus classiques utilisant le gradient d´ependent des choix initiaux (position, taille, forme, nombre) sur les obstacles a` identifier et peuvent ne pas converger pour des choix inad´equats.

M´ethodes d’exploration globale

Des m´ethodes r´ecentes proposent donc une alternative a` l’approche par optimisa-tion. Elles ne n´ecessitent pas la r´esolution r´ep´et´ee du probl`eme direct, mais reposent sur le calcul d’une fonction indicatrice dont les valeurs donnent des informations sur la pr´esence ou l’absence d’obstacle. Le principal avantage de ces m´ethodes est que le calcul de la fonction indicatrice, qui permet une exploration globale du domaine, est peu couteux par rapport a` la r´esolution compl`ete du probl`eme d’optimisation, sans n´ecessit´ d’hypoth`ese physique trop forte. Un ´etat de l’art pourra ˆetre trouv´e dans l’article de synth`ese r´ecent [59].
La linear sampling method qui consiste a` calculer, pour chaque point z, la solution gz d’une ´equation int´egrale lin´eaire de premi`ere esp`ece (E), permet de localiser un obs-tacle Θ. En effet, la norme de la fonction gz est petite si z ∈ Θ, elle est grande sinon. La construction de (E) repose sur la connaissance, a` l’infini, du champ cr´e´ par une source ponctuelle plac´ee au point z et de mesures du champ lointain dans toutes les directions. La lin´earit´ de (E) est a` l’origine du nom de la m´ethode propos´ee initiale-ment dans [25] pour des obstacles rigides ou des milieux h´et´erog`enes. Des applications au cas acoustique tridimensionnel pourront ˆetre trouv´ees dans [23], celles pour le cas electromagn´etique dans [24]. Notons que cette m´ethode, qui teste pour chaque point son appartenance a` l’obstacle, ne suppose pas la connexit´ de ce dernier.
La m´ethode de la source singuli`ere [57, 58] repose sur l’utilisation de la m´ethode de la source ponctuelle [55, 56] qui permet de reconstruire une approximation du champ diffract´e par un obstacle Θ. Cette reconstruction se fait a` partir de la connaissance du champ lointain et l’utilisation, dans la repr´esentation int´egrale (1.38), d’une ap-proximation en ondes planes, sur tout ou partie des directions, de la fonction de Green G(. − x) pour tout point source x ext´erieur a` Θ. Appliquant cette m´ethode pour une source dont le champ diffract´e, calcul´e au point x de la source, diverge proche de l’obs-tacle, ceci permet d’obtenir des informations sur la fronti`ere de cet obstacle. C’est le cas en particulier, pour un obstacle rigide ou mou, si la source est la fonction de Green G(. − x). Des exemples tridimensionnels en acoustique sont donn´es dans [32].
La probe method repose sur un principe similaire `a celui de la m´ethode de la source singuli`ere. Elle s’appuie, en effet, sur le calcul d’une fonction indicatrice qui diverge pour des points proches de la fronti`ere de l’obstacle recherch´. Cette fonction, dite en « ´energie », est la repr´esentation int´egrale (1.24) (calcul´ee sur la fronti`ere d’un domaine contenant l’obstacle) de la solution diffract´ee par l’obstacle d’un champ cr´e´ par une source ponctuelle plac´ee en x. Dans cette int´egrale a` la fois la fonction de Green et le champ diffract´e sont approxim´es. Cette m´ethode, ant´erieure a` la pr´ec´edente, a et´e propos´ee dans [41, 42], puis test´ee num´eriquement [33].
C’est dans le cadre de ce type de m´ethode que se situe ce travail. Nous avons choisi comme fonction indicatrice le calcul du gradient topologique associ´ee a` une fonction coˆut d’´ecart aux moindres carr´es. Cette approche d´ej`a propos´ee dans [13, 40, 36], s’appuie sur des travaux ant´erieurs d’optimisation topologique des structures [64, 37]. C’est une m´ethode d’exploration globale a` caract`ere qualitatif. En effet, elle exploite une notion de nature asymptotique dont la validit´e math´ematique est restreinte aux obstacles de taille infinit´esimale.

Algorithme

A la vue de ce qui vient d’ˆetre dit, il parait ´evident qu’il suffit de pr´esenter la m´ethode pour le calcul d’un produit matrice-vecteur afin d’en comprendre le m´ecanisme. Mieux, dans le cas des ´equations int´egrales de fronti`eres on a tout int´erˆet a` exposer ces principes avant discr´etisation (i.e. sur le calcul d’une int´egrale) ce que nous ferons avec le terme repr´esentatif G(y − x)p(y) dSy, (2.3) (o`u le point x parcourt typiquement tous les nœuds du maillage el´ements de fronti`ere) `a partir duquel on pourra d´eduire tous les autres cas.
Les m´ethodes de calcul classiques de cette contribution demandent un temps de cal-cul d’ordre O(N2) car pour chaque nouveau choix de x toutes les int´egrales el´ementaires doivent ˆetre recalcul´ees.
L’algorithme de la Fast Multipole Method n´ecessite l’utilisation d’une formule, dite d’addition, propre a` chaque solution fondamentale. Pour fixer les id´ees, on peut l’ima-giner comme un d´eveloppement en s´erie de Taylor autour d’un point de la solution fondamentale, ce sera parfois le cas. Nous supposerons dans cette section que l’on dis-pose d’une telle formule, sans se soucier de la fa¸con dont elle a et´ obtenue. Aussi, nous pr´esenterons une formule d’addition g´en´erique, repr´esentante abstraite de ce qu’on ob-tiendrait pour chaque probl`eme, qui nous permettra d’exposer et de discuter la partie commune a` tous les probl`emes : l’algorithme multipˆole.
A partir de cette formule l’id´ee principale de l’algorithme va ˆetre de faire les calculs par « paquets ». Prenons, pour un instant, le calcul d’une int´egrale de fronti`ere de type (2.3) apr`es discr´etisation. Par le biais de la solution fondamentale chaque point de collocation est « reli´ » a` chaque point de Gauss. On peut prendre l’analogie de sources (charges ´electrostatiques) pour les points de Gauss et de points d’observation pour les points de collocation.

La m´ethode mono-niveau

Dans cette version de l’algorithme, toutes les boˆıtes cubiques (i.e. tous les « pa-quets »), que l’on appellera cellules, ont la mˆeme taille.
On consid´erera, dans un premier temps, que cette dimension est impos´ee puis l’on discutera de la taille optimale a` choisir afin d’obtenir l’efficacit´ maximale.
L’espace est donc d´ecoup´ en boˆıtes cubiques d’arˆetes constantes. L’ensemble des centres de ces cubes forme ainsi une grille uniforme autour desquels seront effectu´es les d´eveloppements en s´erie. En d’autres termes, on prendra pour points x0 ou y0 dans les expressions telles que (2.13) les centres des cellules cubiques.
Une fois le d´ecoupage effectu´e, l’algorithme se d´ecompose en trois ´etapes :
1. Initialisation ou calcul des moments multipˆoles
2. Transfert
3. Fin ou calcul local
Pour effectuer l’´evaluation de (2.3) sur l’ensemble des points de collocation x du maillage, il faut donc r´ep´eter ces trois ´etapes pour toutes les cellules Cx d’intersection non vide avec .
Complexit´ Bien que nous ayons pr´esent´ la m´ethode pour le calcul d’une int´egrale, nous allons compter le nombre d’op´erations qu’un tel algorithme n´ecessite sur l’´equation discr´etis´ee. On suppose que la fronti`ere comporte N degr´es de libert´ et que chaque cellule non vide en contient M. Le nombre de cellules non vides est donc O(N/M). En outre chaque cellule poss`ede moins de nn voisins.
L’´etape 1 de l’algorithme n´ecessite O(pN) op´erations pour l’ensemble des cellules o`u, si l’on tronque les sommations sur n dans (2.4) ou (2.5) au rang t, p = O(t) en 2D et p = O(t2) en 3D d’apr`es (2.4).
L’´etape 2 est calcul´ee par O(p2(N/M)2) op´erations.
L’´etape 3, enfin, n´ecessite O(pN) op´erations pour l’expansion du moment local et O(nn(N/M)M2) pour le calcul direct avec les cellules voisines.
Si p est constant, le coˆut total de l’algorithme est alors de l’ordre de O(N) + O((N/M)2) + O(N M). Le choix optimum de M = O(N1/3), nous permet d’obtenir une complexit´ totale de l’algorithme en O(N4/3) au lieu de O(N2) par la m´ethode traditionnelle.

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Table des matières

1 Introduction 
1.1 L’identification par signaux acoustiques
1.2 Formulation du probl`eme
1.2.1 L’´equation des ondes acoustiques
1.2.2 L’´equation de Helmholtz : le r´egime stationnaire
1.2.3 Vers l’´electromagn´etisme et l’´elastodynamique
1.3 Equations et repr´esentations int´egrales
1.3.1 L’identit´e de r´eciprocit´e : la deuxi`eme formule de Green
1.3.2 La solution fondamentale ou fonction de Green
1.3.3 La repr´esentation int´egrale
1.3.4 Equation int´egrale de fronti`ere
1.4 ´Etude du probl`eme direct
1.4.1 Diffraction par un obstacle dans un milieu homog`ene
1.4.2 Propagation en milieu h´et´erog`ene
1.4.3 M´ethodes num´eriques de domaine
1.4.4 La m´ethode des ´el´ements de fronti`ere
1.5 R´esolution du probl`eme inverse
1.5.1 M´ethodes lin´eaires
1.5.2 ´Ecart `a la r´eciprocit´e
1.5.3 Approche par optimisation
1.5.4 M´ethodes d’exploration globale
1.6 Objectif et contenu
2 M´ethode multipˆole rapide : partie th´eorique 
2.1 Pr´esentation
2.2 Algorithme
2.2.1 La formule d’addition
2.2.2 La m´ethode mono-niveau
2.2.3 La m´ethode multi-niveau
2.3 Equation de Helmholtz
2.3.1 Une alternative pour l’´equation de Helmholtz : la forme diagonale
2.3.2 Le calcul complet
3 FMM : mise en oeuvre et r´esultats num´eriques 
3.1 Pr´esentation
3.1.1 Le cas test
3.2 Les structures de donn´ees et l’algorithme
3.2.1 Un arbre autour du noeud
3.2.2 Construire l’arbre
3.2.3 Parcourir un arbre
3.3 Les listes de tˆaches
3.3.1 Principe
3.3.2 Les listes
3.3.3 Un algorithme g´en´eral
3.3.4 Une r´eorganisation du calcul
3.3.5 Le tri de la liste des transferts
3.4 Interpolation et extrapolation
3.4.1 Notion de largeur de bande
3.4.2 Discr´etisation de la sph`ere unit´e
3.4.3 Sch´ema d’interpolation
3.5 Les fonctions sp´eciales
3.5.1 Polynˆomes de Legendre et fonctions de Legendre associ´ees
3.5.2 Les harmoniques sph´eriques
3.5.3 Les fonctions de Bessel et Hankel
3.6 Le nombre de pˆoles
3.7 Calcul global : complexit´e et pr´ecision
3.7.1 Temps de calcul d’une it´eration
3.7.2 Evolution de la pr´ecision et du nombre d’it´erations
4 Identification par gradient topologique 
4.1 Le contexte
4.2 Le gradient topologique
4.2.1 Pr´esentation
4.2.2 Calcul par un champ adjoint
4.2.3 ´Etude du comportement asymptotique
4.2.4 Fin du calcul par le champ adjoint
4.2.5 Sur la forme de l’obstacle
4.3 Calcul num´erique du gradient topologique
4.4 Pr´esentation des r´esultats
4.4.1 Un premier cas test
4.4.2 Accroissement de la longueur d’onde
4.4.3 Variations de la taille de l’obstacle
4.4.4 Accroissement de la taille du domaine
4.4.5 Variations de la position de l’obstacle
4.4.6 Influence de la forme de l’obstacle
4.4.7 Donn´ees bruit´ees
4.4.8 Conclusion sur les r´esultats num´eriques
Conclusions et perspectives 
A Calcul des int´egrales singuli`eres

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