L’évolution des variables d’états sous la distribution de probabilité neutre au risque

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 QUELQUES MODELE DE VALORISATION D’OBLIGATION 

Les approches modernes de valorisation d’obligation sont caractérisées par une bonne précision des sources d’incertitude dans l’économieet une meilleure formalisation qui est le calcul stochastique. Ces approches se divisent nettement en deux : un premier groupe de modèles nécessite l’équilibre résultant de l’égalité entrel’offre et la demande des biens et des titres (c’est-à-dire l’équilibre général), un second groupe de modèles utilise l’équilibre d’absence d’opportunité d’arbitrage.
Le premier modèle de valorisation d’obligation par l’équilibre général est du a Cox, Ingersoll, Ross en 1985. En fait, ces trois auteurs ont élaboré un modèle de valorisation d’actifs financiers en général (avec un équilibre générals debiens et des actifs) avant de spécifier le cas du zéro-coupon. Puis, ils spécifient d’innombrables hypothèses simplificatrices sur l’utilité des agents et sur l’évolution (aléatoire) des technologies deproduction pour arriver à un cas particulier de modèle d’équilibre général à un facteur (qui influence les taux) et ce facteur est le taux court.
L’outil mathématique utilisé par ce modèle d’équilibre général de Cox, Ingeroll et Ross est totalement complexe car il fait appel à la théorie des contrôles stochastiques pour maximiser les fonctions d’utilité des agents en incertitude et en temps continu. Ce qui fait que tout modèle d’équilibre général est pour nous très difficiles présenterà et à appliquer pour l’étude de cas de bon de trésor malgache.
Dans le cadre de l’équilibre d’absence d’opportunité d’arbitrage, le modèle le plus récent est celui de Heath, Jarrow, Morton (HJM) en 1992 (amélioré récemment encore par Pedro Santa Clara et Didier Sormette (2000)). Ce modèle n’a rien à dire sur les facteurs qui influencent les taux des obligations car il ne fait que déduire l’évolution en absence d’opportunité d’Arbitrage du taux à terne implicite instantané (c’est-à-dire que le titre conclus par le contrat à terme à être vendu dans le futur a pour maturité l’intervalle élémentaire dt)Ce. modèle de HJM a pour objectif de fournir un outil plus pratique de valorisation des actifs dérivés des taux d’intérêt tels que les contrats à terme, options sur obligation etc. et non de chercher les facteurs qui influencent les taux. Il ne répond pas alors à notre problématique.
Le modèle qui répond le plus à notre problématiquemais qui est aussi assez simple est le modèle d’équilibre d’arbitrage synthétisé par Cox,Ingersoll, Ross en 1981. En effet, ce modèle utilise certes le calcul stochastique mais sa formalisation est largement beaucoup plus simple que le modèle d’équilibre général de ces mêmes auteurs 1985en (en fait, le modèle d’équilibre général est établi avant l’équilibre d’arbitrage de ces trois auteurs mais la publication dans la revue « Econométrica » n’est qu’en 1985). A la différencedu modèle de Heath, Jarrow, Morton [1993], il intègre dès sa conception la notion de variables d’états ou facteurs qui représentent les incertitudes de l’économie. Ce modèle reste aussi dans le cadredu marché au comptant des zéro-coupons et non des marchés à terme. Sa formalisation est poursuivie par Duffie et Kan en 1996 pour devenir ce qu’on appelle « modèle affine ».
Laissons au chapitre II la présentation dans sa forme originale de ce modèle affine. Contentons tout simplement dans la section qui suit d’expliquer d’une manière simple ses outils mathématiques.

EXPLICATIONS DES OUTILS MATHEMATIQUES DU MODELE AFFINE 

C’est le modèle d’équilibre d’arbitrage de Cox, Ingersoll, Ross en 1981 qui est poursuivi par Duffie et Kan en 1996 pour devenir le « modèle affine ». Cox, Ingessoll, Ross modélisent l’évolution du prix d’une obligation ainsi que celle des variables d’états en temps continu. Ces variables varient tous aléatoirement dans le temps et pour bien expliquer la façon dont ces trois auteurs modélisent une évolution d’une variable aléatoire en temps continu, partons dans un premier temps d’une variable non aléatoire. Supposons que cette variable est le prix d’une obligation et notons le P. L’évolution de P dans un monde certain en temps continu est de la forme : dP (t)dt avec la valeur initiale de P connue.
Dès que la forme de liaison de avec le temps t est connue, cette équation différentielle ordinaire peut être résolue pour obtenir la valeurdu prix P à l’instant t quelconque.
Cette équation différentielle ordinaire signifie que le prix P augmente d’une valeur (t) dans l’intervalle élémentaire dt. Plus particulièrement pour le cas d’un actif financier, il est commode d’écrire en terme de taux. C’est à dire :  (t) (t) P et l’équation devient :  dP (t) Pdt .
C’est-à-dire que le taux d’accroissement de P dans l’intervalle élémentaire dt est (t) et a (t) P est la valeur de l’accroissement dans cet intervalle.
L’introduction des aléas dans l’évolution de P consiste à ajouter une ou plusieurs variables aléatoires (habituellement de loi usuelle) dans l’équation différentielle ci-dessus : dP (t)Pdt (t).
Supposons que  (t) suit une loi binomiale. C’est-à-dire que (t) à la date t a pour probabilité 1 par exemple de prendre la valeur u (comme « up ») et pour probabilité 1 de prendre la valeur d (comme « down »), avec u > d. Par conséquent, l’accroissement de P dans l’intervalle dt devient aléatoire. On dit qu’il est perturbé par la réalisation de la variable aléatoire  (t) . Si (t) prend la valeur u à la date t, l’accroissement ( ou la variation) de P (qui est dP ) prend la valeur (t) P u et ce avec une probabilité1 . Si (t) prend d, l’accroissement de prend (t) P d (avec une probabilité 1 ).

LE MODELE AFFINE A L’EPREUVE DU MARCHE DE BTA A MADAGASCAR

Etant donnée la possibilité d’une relation affine ntre les taux et les variables d’états, le présent chapitre est consacré à l’étude empirique esd taux des bons de trésor malgache. Le but de cette étude empirique est de déterminer l’influencede deux variables d’états observables qui sont le PIB réel et le taux directeur de la Banque centrale sur les prix des Bons de trésor. Ces deux variables d’états sont supposées suivre deux mouvements browniens arithmétiques dont les drifts évoluent selon deux processus d’Ornstein-Unlenbeck. Le filtre de Kalman est la méthode économétrique utilisée pour estimer le modèle affine car toutes les données malgaches qu’elles soient sur les prix ou sur le taux directeur ou sur le PIB réel ne sont stationnaires qu’après une différenciation. Nous trouvons après l’analyse des résultats de l’estimation que le PIB réel et le taux directeur affectent l’évolution des taux de BTA dans le long terme. Or, le drift du PIB n’a aucun effet sur ces taux. D’autres facteurs inconnus compilés par le filtre de Kalman dans l’estimation de la quatrième variable d’état (qui est supposé à priori être le drift du taux directeur mais qui ne semble pas l’être après l’estimation) nfluencenti la variation des taux à court terme. Mais avant d’arriver à ces résultats, la section 1 résume le fonctionnement du marché de bon de trésor malgache. La section 2 justifie le choix desdonnées sur les prix des bons de trésor, qui sont utilisées dans l’estimation. La section 3 et 4 décrivent toutes les données sur ces prix ainsi que sur les variables d’états. La section 5 se charge des tests de stationnarité de toutes ces données. La section 6 présente la méthode économétrique utilisée qui est le filtre de Kalman. La section 7 énonce les hypothèses qui permettent l’étude empirique du modèle affine. Elle spécifie aussi les dynamiques en temps continu de nos variables d’états. La section 8 présente le modèle espace-état à estimer. La section 9 analyse les résultats de l’estimation. La section 10 rapporte une étude empirique du modèle affine sur zéro-coupons américains avec facteurs macroéconomiques. La section 11 ajoute plus d’explications sur notre étude empirique. La section 12 ajoute plus d’explication de nos résultats.

LA COMPETITIVITE DU MARCHE DE BTA MALGACHE

Avant de conclure sur la compétitivité ou non du marché de bon de trésor, il est d’abord nécessaire de comprendre le fonctionnement de ce marché à travers la description du titre et les actions des acteurs intervenant sur ce marché.

GENERALITE SUR LE BTA MALGACHE

Les obligations émises par le bon de trésor Malgache sont des obligations sans coupons. Elles transitent à travers deux marchés : le marché primaire où elles sont crées (ou émises par le trésor) et le marché secondaire où les titres déjà émis sont vendus et achetés.
A Madagascar, c’est la méthode de l’intérêt précompté qui est utilisée. L’intérêt précompté est la différence entre la valeur nominale du titre et sa valeur d’acquisition et cet intérê est perçu par l’investisseur (le prêteur ou l’acheteur du titre) dès l’achat du titre. A toute transaction, c’est alors le taux d’intérêt annuel récompté –calculé sur la base 1 an = 360 jours– associé avec la valeur nominale qui est utilisé pour exprimer le prix. Ce qui implique que la valeur nominale de l’obligation est variable et par conséquent fractionnelle. Pourtant sur le marché primaire, ce fractionnement ne peut être effectué ua dessous de 20 millions d’Ariary puisque chaque soumissionnaire (acheteur) doit proposer une valeur nominale supérieure ou égale à ce montant.

LES ACTEURS DU MARCHE ET LEURS ACTIONS

Les deux marchés de bon de trésor qui sont le marché primaire et le marché secondaire font intervenir quatre types d’acteurs à savoir : l e trésor publique, un organisme centralisateur, les intermédiaires et les souscripteurs.
Le trésor public est le seul émetteur des BTA. Il al’obligation de publier à chaque début de trimestre un calendrier annonçant les valeurs no minales –selon les maturités– faisant l’objet des adjudications futures qui se font par quinzaine (et tous les mercredi), tout en réservant le droit de modifier ces valeurs nominales avant les séances d’adjudication. Lors de l’adjudication (après dépouillement des offres d’achat des soumissionnaires, qui est organisé par la banque centrale), le trésor accepte en priorité les offres dont les tauxsont les moins élevés jusqu’à concurrence du montant qu’il souhaite collecter (emprunter).
L’organisme centralisateur est la banque centrale. Cette dernière a le rôle de :
– gérer les séances d’adjudication sur le plan matériel. Elle organise le dépouillement des offres d’achat.
– tenir des comptes (compte titre et compte espèce) des autres acteurs à l’aide d’un système informatisé. Ces derniers sont : le trésor,les intermédiaires et les souscripteurs possédant des comptes titres au niveau de la banque centrale. Il y a, en effet, les autres souscripteurs qui ne disposent pas des tels comptes mais masqués sous lecompte de leur intermédiaire au point de vue de la banque centrale. Ce sont les agents économiques agissant exclusivement sur le marché secondaire.
– dénouer les opérations de règlement /livraison.
– centraliser toutes les opérations. Toute transaction que ce soit sur le marché primaire ou sur le marché secondaire fait l’objet d’un enregistrement (comptable) au   niveau   de  la banque centrale.
– publier les taux de référence. Il est à la charge de la banque centrale de publier (sur Internet) les résultats des séances d’adjudication(les taux, les montants annoncés par le trésor, les montants adjugés) ainsi que les statistiques journalières des opérations passées sur le marché secondaire (le taux maximum, le taux minimum, le taux moyen pondéré, le montant des transactions).
Les intermédiaires du marché sont les organismes (les banques et les organismes d’assurance) chargés d’animer le marché secondaire .Ils doivent afficher dans leurs agences un taux à la vente et un taux à l’achat des bons pour chaqu e maturité. Ils incitent leurs clients à vendre ou à acheter des obligations. Ils ont aussi l’obligation de faire une souscription minimale annuelle de 4 milliards d’Ariary sur le marché primaire.
Les souscripteurs de bon de trésor sont les agents économiques détenteurs d’obligations. N’importe quel agent peut l’être à condition que sa signature ne figure pas sur “ la liste des signatures écartés du refinancement de la banque centrale ” (selon les termes utilisés par le “ Manuel de procédure de marché de bon de trésor paradjudication ” Banque centrale de Madagascar, Direction Générale du Trésor, Novembre2006). Autrement dit, aucune discrimination d’agent s’impose aux entrés sur le marché secondair ou sur le marché primaire. Pourtant, les agents doivent satisfaire quelques conditions pour pouvoir accéder au marché primaire : ils doivent constituer un dépôt de garantie de 5% du montant de leur offre d’achat qui ne doit pas être inférieure à 20 millions d’Ariary et qui doit êtremultiple de 10 millions d’Ariary.
C’est ainsi que le marché de bon de trésor Malgacheest organisé. Les acteurs ont leur rôle bien précis et se mettent en relation les uns avec les autres en s’échangeant des informations et des flux monétaires. Le but de cette organisation est clair : assurer le bon fonctionnement du marché ainsi que la securité des livraisons et paiements.
A travers cette organisation, le niveau de la concurrence sur ce marché peut être analysé.

LE MARCHE DU BTA EST COMPETITIF

A première vue, le fait que le trésor est le seul émetteur de BTA fait penser qu’il n’y a qu’un seul “ offreur de titre de bon de trésor par adjudication ” sur le marché de ce titre. Or, il y a plusieurs souscripteurs c’est à dire plusieurs dema ndeurs de bon de trésor et ce sont ces sousripteurs qui proposent les prix sous forme de taux précompté (associé à une valeur nominale). Autrement dit, ces derniers semblent “ proposeurs d e prix ” et non “ preneurs de prix ”. Ainsi, avec cette vision superficielle de marché, le trésor est en situation de monopole sur le marché de BTA devant plusieurs demandeurs mais paradoxalement, les demandeurs nombreux semblent “ proposeurs de prix ” (ou “ imposeurs ”) pour ce m onopole.
En fait, la vision doit se poser sur le marché des placements en général et non sur le seul marché de BTA. En effet, le degré de préférence desagents sur le titre intervient ici. Si cette préférence sur le bon de trésor se dégrade, le nombre de demandeur de BTA baisse et le prix diminue. Si cette préférence s’amplifie, le nombrede demandeur s’accroît et le prix est en hausse. Or, la préférence des agents pour le BTA dépend deleur préférence sur les autres titres de placement que le BTA. Autrement dit, si les gains apparaissent meilleurs dans les dépôts à vue ou terme, dans les bons de caisse et autres placements proposés par les banques et autres institutions financières, le marché de bon de trésor est délaisspar les agents. Ils y misent des faibles montants et proposent des prix médiocres s’ils trouvent attrayants les autres investissements financiers que le BTA. Autrement dit, le trésor malgache est concurrencé par les banques et les autres institutions financières (caisse d’épargne etc.) sur le marché esd placements. C’est alors la concurrence sur ce dernier marché qui fait que le trésor soit un preneur de prix sur le marché de bon de trésor.
En plus, avec l’existence du marché secondaire, il est logique de penser que lorsque plusieurs quantités de BTA sont déjà émises, le trésor n’est pas le seul offreur de BTA sur le marché lors d’une journée d’adjudication. Il y a aussi les intermédiaires. L’organisation du marché de BTA décrite par la sous-section précédente ne met aucune entrave à la réalisation du fait qu’il n’ y a pas d’opportunité d’arbitrage entre les titres du marché primaire et ceux du marché secondaire. Autrement dit, un titre de valeur nominale quelconque avec une échéance quelconque sur le marché primaire produira le même gain que celui de même valeur nominale avec la même échéance sur le marché secondaire (sachant l’existence des coûts de transaction sur le marché secondaire tels que les commissions des banques etc.).
La concurrence entre les souscripteurs sur la proposition des montants et des taux précomptés favorables pour le trésor marque l’existence de la compétitivité sur le marché. Si un investisseur veut acquérir réellement un titre, ildoit proposer un prix plus élevé pour que son “ offre d’achat ” ne soit pas délaissée par le trésor au détriment de celle d’un autre investisseur. Comme il y a libre entré (à condition que l’agent économique dispose le minimum de 20 million d’ Ariary) dans la souscription et par conséquent il y a plusieurs souscripteurs, chaque sousmissionnnaire (d’offre d’achat) tend alors à être un preneur de prix résultant de la concurrence au fur et à mesure que le nombre de souscripteurs ( dans son ensemble) augmente.
Ainsi le marché de BTA malgache est compétitif au ens où l’existence de la concurrence sur ce marché peut être affirmée, de sorte qu’ à lafois, le trésor qui est le seul émetteur (ou offreur) et les souscripteurs qui sont les demandeurs sont tous des preneurs de prix.
Sur ce marché de BTA, quelques types de données peuvent être obtenus de sorte qu’il faut choisir parmi ces types ce qui est convenu pour l’étude empirique impliquant le modèle affine.

LE CHOIX DES DONNEES SUR LES PRIX DES BTA A UTILISER :

Comme il est impératif pour l’organisme centralisateur qui est la banque centrale de publier les statistiques des opérations journalières du marché secondaire ainsi que les résultats des séances d’adjudication, nous pouvons collecter les données sur le site web de cet organisme.
Pour le marché secondaire, la banque centrale annonce le taux minimum, le taux moyen pondéré et le montant des transactions relatives aux opérations sur les quatre bons de trésor (trois bons de trésor si la requête soumise à la base de onnéesd implique une date antérieure à Janvier 2003) disponibles sur le marché à savoir le bon de trésor de 4 semaines, de 12 semaines, de 24 semaines et de 52 semaines. Or, ces maturités annoncées ne sont employées que pour distinguer les quatre titres différents mais ce ne sont pas les vraies maturités des titres à la date des opérations affichées dans l’annonce (c’est-à-dire de la date impliquée par la requête soumise à la base de donnée). Par exemple, le site annonce que le 20/10/06, les moyennes pondérées de la journée des taux annuels précomptés sont de 18% et de 13,58% pour les bons de trésor de maturité de 24 semaines et de 52 semaines respectivement. Or, les échéances de ces bons ne sont pas après 24 et 52 semaines (respectivement) du 20/10/06. A la date d’émission de ces deux titres, que nous supposons pour simplifier être la même date, leursmaturités sont exactement de 24 et 52 semaines mais au 20/10/06 qui est ultérieure à cette date d’émission, leur “ nouvelles et vraies maturités ” sont inférieures à ces maturités annoncées car leurs dates d’échéance fixées dès la date d’émission sont fixes. Ces “ vraies maturités ” ne sont pas a ccessibles. Il est alors impossible de construire la courbe des taux zéro-coupons à chaque date. En conséquence, les taux du marché secondaire livrée sur le site web ne sont pas utilisables dans présente étude empirique car ce ne sont pas des taux relatifs à des zéros-coupons aux maturités annoncées. Pour le marché primaire, la banque centrale stocke aussi dans une base de données les résultats de chaque séance d’adjudication et elle esl publie sur son site internet. Les bons de trésor dont les prix sont adjugés sont tous sans coupons (à Madagascar). Leur échéances sont fixées à la date de leur émission (après 4, 12, 24, et 52 semaines de cette date pour les 4 bons de trésor). C’est-à-dire qu’à cette date et moyennant une hypothèse plausible que nous allons poser dans la section 7 de ce chapitre, les taux qui prévalent à cette date d’émission sont des taux relatifs à des zéro-coupons. Le seul problème avec ces données est qu’elles ne sont disponibles qu’avec une période d’échantillonnage restreinte. La banque centrale ne livre que des résultats des adjudications strictement ultérieurs à l’année 2 000 (c’est-à-dire l’année 2 000 non comprise). La périodicité de ces données est alors de 15 jours car les séances ’adjudication se font par quinzaine.
Or, à côté de ces données relatives au marché primaire, il y a aussi celles qui sont publiées par la banque centrale à travers les “ Bulletins d’ Informations Statistiques ”. Ces données sont mensuelles et disponibles dans une période d’échantillonnage assez large (depuis 1989 jusqu’à maintenant). Pourtant, elles ne sont pas utilisables dans notre cas. D’abord, il y a trop de données manquantes de sorte que l’ensemble des données qui seraient vraiment utilisées ne couvrent que la période d’octobre 1996 jusqu’au Juin 2007. Ensuite, l’essentielle raison de les laisser est que malgré le fait qu’elles proviennent du marché primaire, les considérer comme des taux relatifs à des zéro-coupons est hésitant. En effet, le but principal de la banque centrale dans la publication des données concernant les soumissions mensuelles des BTA, à travers ces bulletins est de livrer des taux de rendement annuel moyen pour chaque mois. Il y a deux quinzaines dans un mois donc deux ou trois séances d’adjudication. Pour arriver à cette fin, la banque centrale calcule ces taux de rendement publiés de la manière suivante : pour un bon de maturité particulière, la banque additionne les montants encaissés par le trésor dans les deux ou trois séances d’adjudication du mois. Puis, elle additionne les valeurs nominales de ces séances d’adjudication relatives à cette maturité particulière (c’est-à-dire les valeurs nominales des “offres d’achat” acceptées dans ces adjudications). Le montant des “intérêts” du mois (c’est-à-dire le rendement) est considéré comme la différence entre la somme de ces valeurs nominales et la somme de ces montants acquis par le trésor. Alors, la banque calcule et publie après, uivants la méthode de calcul d’intérêt simple le taux de rendement (ou le taux d’intérêt) annuel sur la aseb de 1 an = 360 jours relatif à la durée (en jours) égale à cette maturité particulière. Par exemple, des bons de trésor de maturité de douze semaines (à compter de la date de leur émission) ont été vendus par le trésor dans deux séances successives d’adjudication du mois. Dans la première séance, le montant acquis par le trésor pour les bons de maturité de 12 semaines est AC. AC est celui dans la deuxième séance. Pour le mois,
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Table des matières

Chapitre I Notions préliminaires et revue de la littérature de valorisation d’obligation
Section 1 Notions préliminaires
1.1 Notion d’obligation
1.2 Notion de taux d’intérêt
1.3 Notion de zéro-coupons
1.4 La signification du prix zéro-coupon
1.5 Le taux zéro-coupon
1.6 Le taux court instantané
1.7 La structure par terme des taux d’intérêt
Section 2 Les théories traditionnelles de structure par terme des taux d’intérêt
Section 3 Quelques modèle de valorisation d’obligation
Section 4 Explications des outils mathématiques du modèle affine
Chapitre II Le modèle d’équilibre par arbitrage de valorisation d’obligation
Section 1 Les hypothèses du modèle générique du modèle d’équilibre d’arbitrage.
Section 2 La condition d’absence d’opportunité d’arbitrage prix zéro-coupon
Section 3 L’évolution des variables d’états sous la distribution de probabilité neutre au risque
Section 4 Le modèle affine de Duffie et Kan
4.1 Les taux zéro-coupons en tant que fonction affine des variables d’états
4.2 Interprétation et conclusion
Chapitre III Le modèle affine à l’épreuve du marché de BTA à Madagascar
Section 1 La compétitivité du marché de BTA Malgache
1.1 Généralité sur le BTA Malgache
1.2 Les acteurs du marché et leurs actions
1.3 Le marché du BTA est compétitif
Section 2 Le choix des données sur les prix des BTA à utiliser
Section 3 Déscription des prix des BTA
3.1 La transformation des données sur les prix des BTA
3.2 L’évolution des prix des BTA dans la période d’échantillonnage
3.3 Les statistiques déscriptives des prix des BTA
Section 4 Déscription des variables d’états
4.1 Transformation des données sur les variables d’états
4.2 Evolution des variables d’états
4.3 Statistiques déscriptives des variables d’états
Section 5 La non stationnarité des données
Section 6 Choix de la méthode économétrique
6.1 Les raisons du choix les racines unitaires
6.2 Le modèle espace-etat et le filtre de Kalman
Section 7 Les hypothèses du modèle empirique
Section 8 Le modèle espace-états à estimer
Section 9 Les résultats de l’estimation
Section 10 L’étude empirique d’Ang et Piazzesi en 2003
Section 11 Quelques explications de notre étude empirique
Section 12 Résumé et interprétation de nos résultats
CONCLUSION GENERALE
Table des matières
Bibliographie

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