Les q-déformations des suites récurrentes linéaires d.ordre deux

Le q-analogue des suites de Fibonacci et de Lucas 8 thèse de Doctorat d.Etat [3].

Au chapitre premier, on présente des généralités sur la suite de Fibonacci et la suite de Lucas, en se limitant à la présentation de certaines identités liées aux polynômes de Fibonacci et aux polynômes de Lucas, telles que les relations duales, les di¤érentes sommes partielles, le prolongement aux indices négatifs, et les développement établis par Belbachir et Bencherif [4]. On complète ce chapitre avec une introduction à la suite de Fibonacci généralisée et ces deux suites « compagnons », suivie par un préliminaire sur les coe¢ cients bisnomiaux et sur la suite multibonacci. Le chapitre deuxième est consacré aux di¤érentes dé.nitions du q-analogue des polynômes de Fibonacci et des polynômes de Lucas. On commence par la dé.nition proposée par Carlitz qui permet d.évaluer le produit matriciel On donne ensuite la dé.nition proposée par Cigler en remarquant qu.elle peut être obtenue par des transformations appliquées à la suite de Fibonacci. On conclut le chapitre par une extension uni.catrice proposée aussi par Cigler.

Le chapitre troisième introduit la dé.nition du q-analogue de la suite de Lucas de première espèce et la dé.nition du q-analogue de la suite de Lucas de deuxième espèce de façon à ce que chacune de ces deux suites satisfasse une des deux récurrences relatives à la suite q-Fibonacci. Cela permet de reconsidérer un q-analogue des identités exposées dans le premier chapitre. Le chapitre quatrième traite de récurrences satisfaites par le q-analogue de la suite de Fibo- nacci, on montre que le translaté d.une suite qui satisfait de telles récurrences s.exprime en termes de q-analogue de la suite de Fibonacci. On obtient alors un q-analogue des identités F2n+1 = F2 n + F2 n+1; F2n = FnFn􀀀1 + Fn+1Fn: Le chapitre cinquième reconsidère la question de Prodinger [41]. On utilise le q-analogue de la suite de Fibonacci proposé dans la dé.nition uni.catrice et le q-analogue de la suite de Lucas introduite dans le troisième chapitre, pour établir un q-analogue des développements obtenus par Belbachir et Bencherif [4]. On propose ensuite une extension en se basant sur le q- analogue de la suite de Fibonacci et le q-analogue de la suite de Lucas proposé dans la dé.nition uni.catrice. En.n on établit des développements duaux entre les di¤érents q-analogues de la suite de Lucas.

Une approche alternative du q-analogue des polynômes de Lucas

Les nombres de Fibonacci Fn et les nombres de Lucas Ln véri.ent la même relation de ré- currence an+2 = an+1 + an. De même, les polynômes de Fibonacci (Un (z)) et les polynômes de Lucas (Vn (z)) véri.ent la relation de récurrence an+2 (z) = an+1 (z) + zan (z). Cependant pour le q-analogue des polynômes de Fibonacci et des polynômes de Lucas suggérés par Cigler [21], ou par Carlitz [20], ou encore la proposition uni.catrice de Cigler [26], on remarque que la suite de polynômes (Fn (z;m))n satisfait deux relations de récurrence de longueur 2, dont aucune n.est satisfaite par la suite de polynômes (Lucn (z;m))n (voir Remarques 3), ce qui nous a amené à dé.nir un q-analogue des polynômes de Lucas de première et de deuxième espèce notés respectivement ((Ln (z;m))n et (Ln (z;m))n) a.n d.obtenir un q-analogue des polynômes de Fibonacci et des polynômes de Lucas de façon que chacun des couples de com- pagnons ((Fn (z;m))n ; (Ln (z;m))n) et ((Fn (z;m))n ; (Ln (z;m))n) satisfasse la même relation de récurrence. Ce travail a fait l.objet de la publication [7].

Conclusion

Les suites de Fibonacci et de Lucas dé.nies par leur interprétation combinatoire sont connues par les caractérisations suivantes : 1) Les suites de Fibonacci et de Lucas satisfont des relations de récurrence de mêmes types et d.ordre deux. 2) Les suites de Fibonacci et de Lucas sont liées à la puissance ni_eme d.une matrice. 3) Les suites de Fibonacci et de Lucas admettent des formes explicites de Binet. 4) Les suites de Fibonacci et de Lucas admettent des expressions via les coe¢ cients binomiaux. Dans la littérature les approches de Carlitz et de Cigler sont les principales dé.nitions pour le q-analogue des suites de Fibonacci et de Lucas, cependant l.examen des quatre caracterisations citées ci-dessus pour le cas q-analogue, nous a conduit à faire les deux remarques suivantes : 1) Pour les approches de Carlitz et de Cigler, les relations de récurrence satisfaites par le q-analogue de la suite de Fibonacci et celles satisfaites par le q-analogue de la suites de Lucas ne sont pas de même type, ce qui a fait l.objet de la première partie de notre travail où on a associé à chacune de ces deux approches une nouvelle approche pour le q-analogue de la suites de Lucas, on a en conséquence, établi plus de propriétés. 2) Le q-analogue de la formule de Binet pour l.approche de Carlitz reste à établir, et voir si elle induit des liens entre la diagonalisation de la matrice C (z) = 0 1 z 1 ! et la diagonalisation du produit matriciel C (qn􀀀1z) _ _ _C (qz)C (z). Dans la seconde partie de notre travail, on a introduit le q-analogue de la suite r-Fibonacci, et de la suite r-Lucas, avec lesquels on a généralisé plusieurs propriétés, mais il reste à étudier les points suivants :

1) Les suites obtenues par les di¤érentes directions de sommation dans le triangle q-Pascal autres que la direction de sommation utilisée pour le q-analogue des suites r-Fibonacci, et r-Lucas.

2) La formule de Binet pour le q-analogue des suites r-Fibonacci, et r-Lucas. La dérnière partie de notre travail traite du q-analogue des coe¢ cients bisnomiaux et de la suite « multibonacci ». L.approche proposée dans cette partie généralise l.approche de Cigler pour le q-analogue des suites de Fibonacci et de Lucas. Il serait interessant d.établir :

3) Un q-analogue des coe¢ cients bisnomiaux ainsi qu.un q-analogue de la suite « multibonacci » lié à l.approche de Carlitz, pour les exploiter ensuite dans des identités liées aux matrices.

4) Un q-analogue des coe¢ cients multinomiaux qui soit compatible avec le q-analogue des coe¢ cients bisnomiaux et le q-analogue de la suite « multibonacci ».

Les suites de Fibonacci et de Lucas sont liées à d.autres suites telles que les suites de Chebychev de première et de seconde espèce, les suites de Pell et de Pell-Lucas, et d.autres suites. Pour le cas q-analogue on trouve dans la litterature des approches pour les nombres de Stirling comme celle de Gould [31], des approches pour la fonction exponentielle comme celle de Gessel [30], des approches pour les nombres et les polynômes de Bernoulli comme celle de Carlitz [18]. Se pose alors naturellement la question de savoir s.il est possible d.uni.er toutes ces approches dans une seule théorie globale !

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Table des matières

Remerciements
Introduction
1 Préliminaires sur la suite de Fibonacci et la suite de Lucas.
1.1 La suite de Fibonacci et la suite de Lucas
1.2 Les polynômes bivariés de Fibonacci et de Lucas
1.2.1 Dualité entre la suite de Fibonacci et la suite de Lucas
1.2.2 Quelques sommes partielles
1.2.3 Convolution avec les coe¢ cients binomiaux
1.2.4 Extension aux indices négatifs
1.2.5 Un changement de base pour les formes explicites
1.3 Polynômes de Fibonacci et de Lucas généralisés
1.4 La suite « multibonacci » et les coe¢ cients bisnomiaux
2 Le q-analogue des polynômes de Fibonacci et de Lucas
2.1 Le coe¢ cient q-binomial
2.2 L.approche de Carlitz pour les q-analogues de la suite de Fibonacci et de la suite de Lucas
2.3 L.approche de Cigler pour le q-analogue de la suite de Fibonacci et de la suite de Lucas
2.4 Une approche uni.catrice de Cigler
3 Une approche alternative du q-analogue des polynômes de Lucas
3.1 Introduction
3.2 Une approche alternative aux approches de Carlitz et Cigler
3.3 Dualité entre les polynômes de Fibonacci et les polynômes de Lucas
3.4 Identités sommatoires des polynômes q-Lucas:
3.5 Convolution avec les coe¢ cients binomiaux
3.6 Extension du q-analogue des polynômes de Lucas aux indices négatifs
4 Les q-déformations des suites récurrentes linéaires d.ordre deux
4.1 Introduction
4.2 Le cas de la proposition uni.catrice du q-analogue
4.3 Le cas du q-analogue proposé par Carlitz
4.4 Le cas du q-analogue proposé par Cigler
5 Un changement de base pour les formes explicites
5.1 Le développement des polynômes Fn, Ln et Ln sur des bases appropriées
5.1.1 Les polynômes q-Lucas d.indices pairs en fonction des polynômes q-Fibonacci
5.1.2 Les polynômes q-Fibonacci d.indices impairs en fonction des polynômes q-Lucas
5.1.3 Les polynômes q-Fibonacci d.indices pairs en fonction des polynômes q-Fibonacci d.indices inferieurs
5.1.4 Les polynômes q-Lucas d.indices impairs en fonction des polynômes q-Fibonacci
5.1.5 Les polynômes q-Lucas d.indices impairs en fonction des polynômes q-Lucas d.indices inferieurs
5.1.6 Les polynômes q-Fibonacci d.indices pairs en fonction des polynômes q-Lucas
5.2 Le challenge de Prodinger
5.2.1 Développements des polynômes Lucn (z;m
5.2.2 Di¤érents développements des polynômes Fn (z;m) en fonction des poly-nômes Lucn (z;m)
5.3 Développements duaux entre les q-analogues des polynômes de Lucas Le q-analogue des suites de Fibonacci et de Lucas
5.3.1 Le développements des polynômes Ln (z;m) et Lucn (z;m) en fonction des polynômes Ln (z;m)
5.3.2 Le développement des polynômes Ln (z;m) et Lucn (z;m) en fonction des polynômes Ln (z;m)
5.3.3 Le développement des polynômes Ln (z;m) et Ln (z;m) en fonction des polynômes Lucn (z;m)
6 Le q-analogue des polynômes de Fibonacci et de Lucas généralisés 77
6.1 Approche uni.catrice pour le q-analogue des polynômes de Fibonacci et des polynômes de Lucas généralisés
6.2 Extension de l.approche de Carlitz et représentation matricielle
6.2.1 Le cas des polynômes de Fibonacci
6.2.2 Le cas des polynômes de Lucas
6.3 Extension de l.approche de Cigler
6.3.1 Le cas des polynômes de Fibonacci
6.3.2 Le cas des polynômes de Lucas
6.4 Appendice
6.4.1 L.approche de Cigler
6.4.2 L.approche de Carlitz
7 Un q-analogue de la suite « multibonacci » et des coe¢ cients bi snomiaux 96
7.1 Un q-analogue des coe¢ cients bisnomiaux
7.1.1 Dé.nition et caractérisation
7.1.2 Relations de récurrence
7.1.3 Généralisation du q-analogue de l.identité de Chu-Vandermonde
7.2 Un q-analogue de la suite « multibonacci »
7.3 Suites compagnons de la suite « q-multibonacci »
8 Le cas p; q-analogue
8.1 Les coe¢ cients p; q-binomiaux
8.2 Les coe¢ cients p; q-bisnomiaux
8.3 La suite p; q-Fibonacci
8.3.1 Un p; q-analogue associé à l.approche de Cigler
8.3.2 La suite p; q-Lucas
8.3.3 Un p; q-analogue de la suite « multibonacci »
9 Conclusion