LES PHENOMENES D’INSTABILITE DES PROFILS FORMES A FROIDS

LES PHENOMENES D’INSTABILITE DES PROFILS FORMES A FROIDS

Introduction

Les profilés formés à froids :

L’utilisation de l’acier dans la construction remonte à la fin du XIXème siècle, bien que les métaux ferreux soient connus depuis environ 40 siècles. En 1890, l’acier a pu être produit de façon industrielle pour s’imposer comme le matériau le plus utilisé grâce à ses caractéristiques physiques [43]. L’acier offre de nombreuses possibilités pour un usage fonctionnel à la fois agréable et flexible. Il a été produit et employé couramment pour la première fois aux Etats unis, et l’apparition des premières normes de calcul est l’œuvre de l’institut américain de sidérurgie (AISI) en 1946.Les premières spécifications d’AISI ont été basées sur une grande partie des recherches du professeur George Winter (1936-1946).
L’acier se présente sous une gamme importante de produits : longs ou plats, profilés formés à froids ou à chauds, poutres, poutrelles et poteaux. En effet les profilés formés à froids représentent le secteur qui se développe le plus dans le domaine de la construction métallique. La logique de la construction métallique est une logique d’assemblage ou l’ossature se fait par point porteurs de types poteaux poutres.
Les profils en acier sont légers et économiques mais cette efficacité se traduit par des complications particulières ce qui justifie qu’ils fassent l’objet des règles de calcul spécifiques. Leur procédé de fabrication permettent d’optimiser la forme des sections, ils sont pour la plus part constitués de barres fléchis, comprimés (figure (1-1)) ou simultanément et utilisé souvent dans les murs et toits de bâtiment industriels, commerciales et agricoles.
Ces éléments formés à froids se caractérisent par leur faible épaisseur leur forme est assez élaborée et complexe (U-Z-E-C) ce qui permet d’influencer la capacité d’un élément en terme de résistance, de rigidité et de mode de ruine (Figure (1-2)), Leur portée courante varie de 4 m à 7 m, exceptionnellement peut dépasser les 10 m. Leur faible épaisseur (0,5 mm à 5 mm environ) les rendent susceptibles aux phénomènes d’instabilité, c’est leur rapport longueur sur épaisseur (l/b) qui les classe comme des membres à parois mince.
Les profilés en acier sont classés en trois catégories :
 Les profils laminés à chaud.
 Les profils reconstitués et soudés.
 Les profils formés à froids
Les profilés formés à froids sont produit comme leur nom le suggère sous une température ambiante soit par profilage soit par pliage. Mais à cause du procédé de laminage, les dimensions du profil (légèreté, minceur du profil….) le rendent sensible à certains problèmes tels que :
 Ecrouissage :
Le laminage à froid de l’acier entraîne inévitablement des modifications mécaniques de l’acier par rapport au produit de base, une variation de la limite élastique le long du profilé Figure (1-3) se manifeste lors de la formation des arrondis par flexion plastique (les plis réalisés) et dépend du nombre et de la résistance et de la modification de la ductilité.
Elles peuvent être d’origine thermique due au refroidissement après laminage, mécanique du au dressage à froid. Lors de la mise en forme de la section, des efforts internes apparaissent et peuvent être responsable de l’apparition des contraintes résiduelles qui peuvent modifier sensiblement la résistance de l’élément. A titre d’exemple des contraintes résiduelles de traction produites dans des parois planes soumises à une compression engendrent un risque de voilement local.
 Imperfection géométrique :
Se sont des imperfections de forme des profilés c’est-à-dire que lors de la fabrication une déviation de profils par rapport à la géométrie parfaite, on distingue :
Local : tel que le défaut de planéité des parois et sont de deux types Figure (1-4).
Global : tel que les défauts de rectitude, les défauts de torsion (vrillage).
Plusieurs études paramétriques ont été effectuées, citons celles de Schäfer et Pekoz [55, 56], Huang et Chen [31], Key et Hancock [37] où ils se sont intéressés à modéliser l’état initial du profilé et son effet sur la stabilité de l’élément surtout l’imperfection géométrique et les contraintes résiduelles, cette dernière peut influencer la tenue en fatigue du profil surtout pour les profils soudés, ou assembler par boulonnage.

Position du problème

L’utilisation des éléments minces formés à froids (les PFF) engendre des problèmes spécifiques dans le design et la construction qu’on ne trouve pas généralement dans les profilés formés à chaud. On doit immédiatement considérer les phénomènes d’instabilité qui posent actuellement un problème majeur aux ingénieurs pour la vérification et la compréhension du comportement de ce type de structure.
Les profilés formés à froids sont formés d’éléments plans et arrondis juxtaposés. Ils comportent souvent des raidisseurs. L’application d’une charge compressive et/ou flexion peut provoquer trois types d’instabilités :
– Instabilité locale
– Instabilité distorsionnelle
– Instabilité globale
L’instabilité locale ressemble beaucoup au voilement d’une plaque, le rapport épaisseur largeur très petit des profilés formés à froids les rendent susceptibles à l’instabilité locale. La présence de l’instabilité locale ne signifie pas que sa charge de ruine est atteinte ; c’est le phénomène postcritique.
L’instabilité distorsionnelle se manifeste par une flexion dans le plan et une torsion, alors que l’instabilité globale est un mode non périodique, ou les sections transversales subissent une rotation, ou une translation, ou les deux sans modification de la forme de la section.
La résistance ultime des pièces comprimées est souvent définie par un critère de stabilité de forme [42], la Figure (1-5) montre une analogie entre le flambage d’une barre biarticulé et l’équilibre d’une balle sphérique. L’étude de la stabilité d’un système consiste à déterminer sa charge critique.
Le dimensionnement de toute structure doit reposer sur un concept clair, définissant les types de vérification à effectuer pour garantir son aptitude au service et sa sécurité structurale. L’ingénieur doit calculer la charge critique des modes d’instabilité. Pour le mode local et global, le problème est résolu par des équations analytiques d’Euler établies depuis 1744. Le problème se pose pour la charge du mode distorsionnel. Actuellement il n’existe aucune approche analytique permettant de la calculer. Deux méthodes semi empiriques existent pour la calculer, celle de Schäfer (1997) et celle de Hancock (1987), mais ces dernières sont compliquées et lourdes à exploiter.
De ce fait, le recours aux méthodes numériques devient indispensable et nécessaire.
On se propose dans ce mémoire de fournir à l’ingénieur une méthode numérique qui permet de déterminer la contrainte de flambement du mode mixte distorsionnel- global(GD) en utilisant des techniques de décomposition modale.
Jusqu’à ce jour la décomposition modale des éléments de structures formés à froids soumisent à une force axiale de compression n’a été faite que par deux méthodes : la CFSM (Constrained Finite Strip Method) et la GBT (Generalized Beam Theory).
La CFSM à été établie par Schafer[1,2,3] en utilisant la méthode des bandes finies.
Elle consiste à contraindre la méthode des bandes finies à produire et isoler les modes purs d’instabilité en utilisant les hypothèses de la théorie généralisée des poutres (GBT).Notre contribution principale est d’élargir le même concept en utilisant une autre méthode numérique qui est « les splines bandes finies» et là est tout l’enjeu de ce travail.

L’objectif du travail

Les méthodes numériques telles que la méthode des éléments finis, la méthode des bandes finies, et la méthode des splines bandes finies qui traitent la stabilité des profilés formés à froids donnent un nombre important des modes d’instabilité et c’est à l’ingénieur de classer ces modes d’instabilité en se basant sur son intuition et sur son expérience, chose qui peut fausser les calculs. L’objectif de ce travail est de proposer une méthode simple permettant d’une part de séparer le mode combiné distorsionnel-global des autres modes d’instabilité et par la suite estimer la charge critique et d’autre part analyser et comprendre le comportement des PFF, nous permettant par la suite de fournir à l’ingénieur ceux dont il a besoin pour le calcul et le dimensionnement des profilés formés à froids et de valider la démarche proposée.
L’utilisation de la méthode des splines bande finis vient de l’idée que cette dernière prend en compte les différents chargements et conditions aux limites qui existent dans la pratique, un avantage par rapport à la méthode des bandes finies.
La démarche proposée est basée sur les critères mécaniques de la GBT « Generalized Beam Theory», qui sont injectés dans la méthode numérique « les splines bandes finies ».
Pour définir le mode GD seulement deux hypothèses de la GBT sont utilisées, l’hypothèse de la flexion cylindrique et l’hypothèse de la déformation membranaire négligeable.

Plan du mémoire

Le mémoire est structuré en six chapitres comme suit :
 Le Chapitre I comprend un bref aperçu sur les PFF, leurs caractéristiques, la motivation et l’objectif de ce travail.
 Le Chapitre II comportent une étude bibliographique sur les structures à parois minces de point du vue comportement ainsi qu’une vue détaillée sur les phénomènes d’instabilité [définition – forme déformée…..] et précisément l’instabilité distorsionnelle.
Nous abordons les méthodes de dimensionnements qui tiennent compte de l’influence du voilement sur le comportement global par le concept de la largeur efficace et la méthode de résistance directe(DSM).
 Le Chapitre III contient les méthodes de calcul da la charge critique tant analytique que semi empirique ou numérique. Les méthodes analytiques sont basées sur la théorie de Vlassov. les méthodes numériques tels que les éléments finis(FEM), les bandes finies(FSM), et les splines bandes finies(SFSM) .Les méthodes semi empiriques tels que la méthode de Schafer et la méthode de Lau-Hancock.
 Le Chapitre IV contient un bref énoncé de la CFSM « Constrained Finite Strip Méthod », ses hypothèses de calcul et leur implémentation et la manière de déterminer la matrice contrainte qui est le point fondamental de cette méthode.
 Le Chapitre V traite la mise en œuvre de la CSFSM «Constrained Spline Finite Strip Method ». On y trouve tout le calcul en détail, de la motivation à la résolution et la détermination de la charge critique du mode GD.
 Le Chapitre VI clôture ce mémoire par des exemples pour valider notre programme et une comparaison des résultats avec les méthodes numériques existantes telles que la méthode des bandes finies et la méthode des splines bandes finies classique et la méthode des bandes finis contrainte(CFSM) et la théorie généralisé des poutres(GBT). Elle est suivie par une étude comparative où on expose l’influence de l’épaisseur, la dimension du raidisseur de bord, la dimension du raidisseur de l’âme sur la charge critique distorsionnelle ou globale et à la fin on donne une conclusion où on interprète nos résultats et on expose nos perspectives.

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Table des matières

CHAPITRE 1: INTRODUCTION GENERALE
1-1 Introduction
1-2 Les profiles formés à froids
1-3 Position du problème
1-4 L’objectif du travail
1-5 Plan de mémoire
CHAPITRE 2 : LES PHENOMENES D’INSTABILITE DES PROFILS FORMES A FROIDS
2-1 Introduction
2-2 Définition des phénomènes d’instabilité
2-2-1 Instabilité globale
2-2-2-1 Exemple : instabilté locale
2-2-2 Instabilité globale
2-2-3 Instabilité distorsionnelle
2-2-3-1 Discussion et analyse des investigations sur le mode distorsionnelle
2-3 Interaction des modes d’instabilté
2-4 Règles dee calcul des PFF
2-4-1 Méthode de largeur efficace
2-4-2 Méthode de résistance directe (Direct stength méthod : DSM)
CHAPITRE 3 : METHODE DE CALCUL DE LA CONTRAINTE DISTORSIONNELLE
3-1 Introduction
3-2 Méthode de Schäfer
3-3 Méthode de Lau Hancock
3-4 Les méthodes numériques
3-4-1 Ia méthode des splines bandes finis :la théorie
3-4-1-1 Modélisation : La fonction standard B3-spline
3-4-2-2 Notations et Repères
3-4-2-3 Modifications des C A L
3-4-2-4 Fonctions de déplacement
3-4-2-4-1 Déplacement membranaire
3-4-2-4-2 Déplacement flexionnel
3-4-2-5 Bilan énergétique
3-4-2-5-1 Energie de déformation
3-4-2-5-2 Travail des forces extérieures
3-4-2-5-3 Energie potentielle totale
3-4-2-6 Matrice de transformation géométrique
3-4-2-7 Assemblage des matrices
3-5 La théorie généralisée des poutres (Généralized Beam Theory G.B.T)
CHAPITRE 4: CONSTRAINED FINITE STRIP METHOD : CFSM
4-1 Introduction
4-2 Notation: Fonction de forme, DDL
4-3 Definition des modes d’instabilité
4-4 Derivation de la matrice de contrainte RGD
4-4-1 Implémentation de la 1ère hypothèse : Hypothèse de Vlassov
4-4-2 Implementation de la 2ème hypotheses
4-4-3 Assemblage de RGD
4-5 Exemple de validation
4-6 Conclusion
CHAPITRE 5: CONSTRAINED SPLINE FINITE STRIP METHOD: CSFSM
5-1 Introduction
5-2 Formulationn de la CSFSM
5-2-1 Equation de la stabilté
5-2-2 Matrice de contrainte
5-2-3 matrice de contrainte condernant les deformations membranaires
5-2-4 Matrice de rigidité d’une bande dans l’espace GD
5-2-5 Conséquence des hypothèses 1 et 2 sur la matrice de rigidité
5-2-6 Développement de la matrice de contrainte du sous espace GD
5-3 Effet des CAL sur l’instabilité distortionelle
CHAPITRE 6: VALIDATION ET APLICATION NUMERIQUE
6-1 Introduction
6-2 Exemples d’illustration
6-2-1 Comparaison avec la SFSM, CFSM, FSM, GBT
6-2-1-1 Exemple1 : cas d’un profilé simplement appuyé aux extrémités
6-2-1-2 Exemple2 : Cas d’un profilé articulé ou encastré à ses extrémités
6-3 Utilisation de la CSFSM
6-3-1 Exemple 3
6-3-2 Exemple 4
6-3-3 Exemple 5
6-3-4 Exemple 6
6-3-4 Influence des conditions aux limites
6-3-6 Influence du raidisseur de l’âme
6-3-7 Influence du raidisseur de bord
6-3-8 Influence de l’épaisseur de la section
Conclusions et Recommandations
Annexe
Bibliographie

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