Soutenance mémoire
Définitions concernant les grandeurs, mesures, aire
Grandeurs et mesures
Le concept de grandeur est difficile à définir. Sur différents objets de notre espace, proche ou lointain, nous pouvons identifier différentes grandeurs qui servent à décrire ces objets. « Ainsi, pour un objet aussi simple qu’une table, diverses grandeurs sont identifiables : hauteur, longueur, largeur, masse, couleur, surface, volume, etc. ».
D’après l’APMEP (1982), la grandeur est un caractère d’un objet qui est susceptible de variations chez cet objet, ou d’un objet à un autre.
Cependant, sur certaines grandeurs, il est possible de définir des relations d’équivalence, des relations d’ordre, des opérations internes ou externes. Ces grandeurs sont alors qualifiées de grandeurs mesurables.
Ainsi, des grandeurs comme les longueurs, les masses, les aires et les volumes sont des grandeurs mesurables. La couleur, quant à elle, ne l’est pas.
Par ailleurs, certaines grandeurs sont dites discontinues ou discrètes (comme les faces d’un cube) et on a recours au comptage pour les quantifier. Ainsi, les objets qui les représentent, dans l’usage que l’on en fait, ne peuvent pas être indéfiniment divisés en parties égales.
Certaines sont dites continues (longueur, volume, aire…) et pour celles-ci, on examine le nombre de fois qu’une grandeur unitaire de même nature y est contenue. De plus, ces grandeurs sont représentées par des objets qui peuvent être indéfiniment divisés en parties égales.
Pour quantifier les grandeurs continues, on utilise une grandeur unitaire de même nature que la grandeur à mesurer, et une unité de mesure est ainsi définie. Le nombre de fois que l’unité de mesure est contenue dans la grandeur est la mesure. Une distinction doit ainsi être faite entre objet, grandeur à mesurer, et mesure de cette grandeur (expr imée dans une unité déterminée). En effet, mesurer une grandeur consiste à « associer à cette grandeur un nombre exprimant un rapport entre cette grandeur et une grandeur de même espèce prise comme référence, c’est-à-dire un nombre tel qu’en multipliant cette grandeur de référence par ce nombre, on obtienne la grandeur en question. »
Les grandeurs sont donc des caractères quantitatifs d’un objet.
Pour simplifier l’usage des grandeurs, des dispositifs ont été inventés, permettant d’utiliser les nombres afin de les comparer ou de les ajouter, ou de les multiplier ou diviser par un entier : il s’agit de la mesure d’une grandeur. Mais cette simplification peut induire une conséquence, qui peut devenir un obstacle : la confusion entre une grandeur (qui n’est généralement pas un nombre) et sa mesure qui est, elle, un nombre.
Les élèves éprouvent souvent cette difficulté, d’autant plus que la mesure des grandeurs arrive généralement tôt dans le processus d’apprentissage. Les enseignants ont tendance à aller très vite sur des activités de mesurage, et ne laissent pas la place aux activités de comparaison ou de classement. Il n’y a qu’à visualiser certains manuels de mathématiques pour se rendre compte que certaines grandeurs sont directement abordées par le biais de mesure (maths +, petit phare…). La mesure, qui est un nombre, peut aisément masquer la grandeur physique qu’elle représente, et donc rendre difficile la compréhension. Les programmes depuis 2002 énoncent clairement l’importance de de construire le sens de lagrandeur, avant que la mesure n’intervienne.
Apports didactiques des lectures entreprises
J’ai effectué de nombreuses lectures sur la didactique des mathématiques, l’introduction des grandeurs et mesures, et plus précisément sur la grandeur aire. Plusieurs ouvrages s’intéressent à l’enseignement des grandeurs et mesures à l’école élémentaire.
Lors de mes diverses lectures, un point m’a interpelé. Quel que soit l’ouvrage (programmes officiels, livres de didactique, manuels scolaires, articles scientifiques…) , les avis concernant l’étude des grandeurs et mesures à l’école él émentaires sont assez unanimes.
L’accent est mis sur l’importance de donner du sens aux élèves concernant les grandeurs, de leur faire comprendre à quoi correspond réellement la grandeur en question, comment la qualifier ; avant d’établir sa mesure. Le doc ument d’accompagnement des programmes de 2002 est d’ailleurs très explicite, guidant de façon précise l’enseignant dans sa progression.
Voici, au fil des lectures entreprises, ce que je peux résumer concernant les grandeurs et leurs mesures, et ce qui peut m’être utile pour mettre en place un dispositif me permettant de répondre à cette problématique. Ces lectures m’ont également permis de réfléchir sur la façon avec laquelle j’avais abordé certaines grandeurs avec mes élèves.
Importance de la manipulation d’objets : les élèves doivent manipuler pour comparer des grandeurs
L’ouvrage de De Boeck intitulé Explorer les grandeurs et se donner des repères, m’a apporté de nombreuses informations théoriques sur le thème des grandeurs, en détaillant la notion globale, puis les grandeurs mesurées et celles non mesurées. Par ailleurs, les activités proposées permettent de comprendre l’enchaînement de procédés dans l’étude des grandeurs avant leurs mesures. Ce manuel explicite l’idée de comparer avant de mesurer. Il explique les différentes méthodes de comparaison, en précisant qu’il est utile de « comparer, sans devoir quantifier ». Il insiste sur la manipulation. Par ailleurs, ce livre m’a été utile pour savoir de façon exacte le vocabulaire que je souhaitais développer chez mes élèves lors de la mise en place de mon dispositif en classe. Les termes « aussi … moins… plus étendu » « aire aussi… plus… moins grande que » sont ressortis.
Plusieurs situations sont développées, notamment des situations de rangement et de classement, avec le comportement attendu des élèves, important pour l’anticipation quant à mon dispositif. Cependant, les situations les plus détaillées sont celles concernant la mesure d’une superficie avec des étalons naturels.
Remédiation au problème rencontré : objectif de l’expérimentation
L’objectif principal est de comprendre que la grandeur existe, indépendamment de sa mesure. Celle-ci ne suffit pas à définir la grandeur : c’est un enjeu qui ne concerne qu’une partie seulement du travail sur la grandeur.
Au-delà de ça, l’objectif du dispositif est d’aborder le thème des grandeurs et mesures autrement que ce qui a été fait jusqu’à là dans ma classe. J’ai saisi les limites sur mes élèves de la méthode que j’entreprenais, et je prends en compte le fait que les élèves doivent manipuler avant d’aller vers les mesures des grandeurs, d’autant plus que celles-ci peuvent être complexes.
Nb : Il y a d’ailleurs beaucoup de difficultés liées à la mesure : comprendre les unités de mesure, les propriétés de ce qu’est une mesure (la mesure est différente selon la précision : on parle d’incertitude). Les incertitudes de mesure sont également à prendre en compte : ce que l’on obtient par le mesurage d’un instrument n’est qu’un intervalle de confiance (cf. docs d’accompagnement 2002, grandeurs et mesures). Tout ceci apporte des difficultés aux élèves, d’autant plus si cela est introduit trop tôt dans une séquence sur une grandeur.
Même si les grandeurs exprimées autour de nous sont la plupart du temps quantifiées, et donc mesurées, elles sont appréhendables indépendamment de l’idée de mesure et l’appréhension d’une grandeur se réalise surtout par des actions de comparaison.
Dispositif mis en place : méthodologie
J’ai décidé d’étudier cette problématique spécifiquement sur la grandeur « aire ». A l’école, les problèmes que les élèves résolvent ne concernent que les surfaces planes. Selon
Explorer les grandeurs et se donner des repères, maths et sens, de boeck, plusieurs étapes sont indispensables pour construire l’idée de grandeur. « Etape 1 : Les premières résolutions s’appuient sur des manipulations qui permettent de distinguer l’aire d’autres caractéristiques attachées aux objets, comme le périmètre par exemple. Cette distinction s’opère d’abord, avant même que la mesure n’intervienne, par comparaison d’aires de surfaces planes par :
– Superposition
– Décomposition
– Recomposition de celles-ci sans perte, ni chevauchement »
L’objectif de ceci est que les élèves doivent donner à la grandeur aire sa « signification ». « Etape 2 : comparaison de surface plane sur fond de quadrillage : les carreaux ne sont pas là pour être dénombrés mais pour identifier des formes complémentaires ou égales.
Etape 3 : choix d’une surface de référence qui va servir d’étalon dont l’aire sera prise comme unité de base. Les élèves pourront donc établir des rapports entre cette unité et l’aire des surfaces planes. Ce n’est seulement qu’à cette étape que les unités d’aires conventionnelles dont introduites. »
L’objectif est que les élèves comparent sans quantifier, sans mesurer la grandeur de chaque objet. Les élèves vont classer et ranger les objets, selon la grandeur choisie, ici l’aire.
Des actions vont permettre d’effectuer ce travail. Pour ranger et classer les objets en fonction de leur aire, les élèves vont juxtaposer, superposer, découper, plier.
Un vocabulaire spécifique va être développé lors de ces étapes : « aussi étendu que » « moins étendu que » « plus étendu que », « a une aire aussi grande que » « moins grande que » « plus petite que »
Le dispositif mis en place est donc une séquence portant sur la grandeur aire (Voir annexe p 35), introduite de façon à donner du sens à celle-ci, avant d’y intégrer une quelconque mesure. Ce dispositif s’attarde plus particulièrement sur le début d’une séquence portant sur les aires. En effet, je souhaite développer de façon poussée l’étape de comparaison directe et indirecte chez les élèves. Compte tenu de toutes les lectures que j’ai eff ectué, je me suis rendue compte que la comparaison devait avoir sa place bien avant l’idée de mesure. J’ai donc décidé d’appuyer mon dispositif sur le plan suivant :
1) Faire des estimations perceptives
2) Faire des comparaisons directes
3) Faire des comparaisons indirectes
4) Faire entrer un étalon arbitraire
5) (Introduire la notion d’unité : prolongement de la séquence)
Troisième séance
Analyse factuelle
Cette séance est la première après l’identification de la grandeur aire. Des premières comparaisons directes par superposition ont été effectuées lors de la séance précédente et l’objectif ici est de comparer des aires de façon indirecte, toujours par un travail de manipulation. Cette séance est appelée « les papiers peints » et le matériel utilisé est issu du matériel photocopiable du manuel cap maths et plus précisément la fiche 11 (voir annexe p44).
Pour cette séance, les élèves travaillent individuellement même s’ils peuvent réfléchir à deux. Une feuille par élève est distribuée. La séance débute par un rappel collectif de ce qui a été vu jusque-là. Sur la fiche, les élèves ont un rectangle A et plusieurs morceaux de papiers peints autour. Il est demandé aux élèves de recouvrir le rectangle A avec du papier peint et de trouver, parmi les morceaux proposés, ceux qui permettraient de recouvrir entièrement le rectangle A. Il est également précisé que les papiers ne doivent pas être mélangés pour recouvrir le rectangle A. Les élèves ont à disposition une paire de ciseaux ainsi qu’un modèle agrandi au tableau, où la consigne est clairement énoncée. Il est attendu des élèves qu’ils comprennent l’intérêt du découpage du rectangle et des morceaux de papiers dans le but de superposer les seconds sur le premier.
A la suite des manipulations, une mise en commun est réalisée pour synthétiser le travail demandé, expliquer et montrer les procédures des élèves, et procéder à une institutionnalisation, la première du dispositif.
Analyse à postériori
Les élèves se mettent très rapidement à découper les figures et les rectangles. Lorsque je passe dans les rangs, ils m’expliquent que « c’est pour pouvoir les superposer et voir si ça rentre ou si c’est trop petit ». Les manipulations se font aisément mais de nombreux élèves se retrouvent bloqués au moment de répondre. En effet, si certaines figures comme la 3 sont vite éliminées par superposition, d’autres posent davantage de problèmes aux élèves. De plus, certains hésitent à découper les papiers peints en plusieurs morceaux pour faire des décompositions-recompositions sur le rectangle A et se retrouvent bloqués. J’ai constaté que ma consigne n’était pas assez explicite, puisque certains ont compris qu’il fallait prendre en compte les papiers peint avec exactement la même aire que le rectangle A, tandis que d’autres ont compris qu’il fallait sélectionner ceux avec la même aire ET ceux avec une aire plus grande. Le terme « recouvrir entièrement » n’a pas été assez claire pour les élèves. J’ai donc dû demander aux élèves de séparer ces deux critères pour qu’ils puissent trier les papiers peints.
La mise en commun a été l’occasion de discuter de ce classement. Il a été mis en évidence que, contrairement à la séance 1, ici la grandeur sur laquelle il fallait se base r pour réaliser le travail était clairement défini (l’aire) et pour expliciter le fait, j’ai créé un tableau à trois colonnes : surfaces dont l’aire est plus petite que celle du rectangle A, surfaces dont l’aire est égale à celle du rectangle A, surfaces dont l’aire est plus grande que celle du rectangle A.
Certains élèves ont donc re-manipuler durant cette mise en commun pour réponde au classement demandé. Par ailleurs, j’ai donc demandé aux élèves de m’expliquer les deux grandes méthodes pour comparer des aires, ce qui nous a amené à la trace écrite : « Pour pouvoir comparer des surfaces en fonction de leur aire, on peut superposer les deux surfaces ou découper l’une pour recouvrir l’autre. »
Le but de cette séance était de faire comprendre qu’une figure peut avoir la même aire sans avoir la même forme.
Quatrième séance
Analyse factuelle
Cette séance intervient après la séance de manipulation par comparaison indirecte des aires des figures. Elle vise à l’imprégnation des manipulations, qui n’ont pas toujours été évidentes lors de la séance précédente. Pour cette séance, j’utilise une fiche d’activité du cahier grandeurs et mesures CM aux éditions Retz. La fiche en question est la fiche nommé e « classer, ranger des surfaces selon leur aire. » (Voir annexe p 50). Deux activités de manipulation sont proposées aux élèves. Cette séance se déroule en binôme, pour faciliter les échanges de procédés entre les élèves. Pour chaque activité les élèves o nt plusieurs figures à comparer (4 pour la première activité, 5 pour la seconde). Le but est de ranger les surfaces par ordre croissant (activité 1) et ordre décroissant (activité 2). Les élèves doivent réinvestir les techniques découvertes et utilisées lors des séances précédentes, à savoir la superposition ou la décomposition-recomposition.
Pour mettre en avant le travail des binômes, je distribue à chacun d’eux une feuille cartonnée de couleur, ou sera exposée le classement des figures. L’étayage, lors de cette séance, se fait principalement de façon individuelle, lorsque je passe dans les rangs ou lorsque les élèves m’interpellent. Il leur est demandé de me montrer le classement trouvé avant de coller les figures, afin de valider ou non les réponses et d’en discuter ensemble. Une mise en commun est faite en fin de séance pour corriger les classements et répondre aux interrogations d’il y en a.
Analyse à posteriori
Les élèves, forts de l’expérience de la séance sur les papiers peints, ont vite compris comment procéder pour arriver à obtenir un classement des figues proposées. Tous les binômes ont commencé par découper l’intégralité des figures de l’activité 1. Puis, les superpositions se sont enchaînées pour la plupart des groupes, sauf un ou deux qui se sont retrouvés bloqués à cette étape, comme si les méthodes de comparaison n’avaient pas été comprises précédemment. Toutes les comparaisons par superposition ont débuté par l’utilisation de la figure C. En effet, cette figure se repère dé jà visuellement comme ayant une aire plus petite que les figures D et A, il était logique que les élèves commencent par elle pour leur manipulation. La comparaison entre D et A a également été assez aisée pour la plupart des groupes. Cela a été plus difficile pour comparer la figure B avec la figure C, puisque ses bords n’étaient pas réguliers et qu’elles avaient une aire semblable visuellement. Cependant,tous les groupes ont trouvé le classement croissant suivant :C,B,D,A.
J’ai noté des disparités de compréhension plus évidentes lors de cette séance, notamment au passage de l’activité 1 à l’activité 2, où certains étaient très en avance tandis que d’autres avaient du mal à terminer la première activité. La deuxième activité a posé plus de réflexion aux élèves. En effet, cette activité avait pour but de mettre en avant la technique de décomposition-recomposition par découpage. Si certains ont dégrossi le classement par le biais de superpositions, d’autres ont tout de suite pensé à faire des recompositions. Ces recompositions ont été réalisées à l’aide de papier calque, pour permettre de garder intactes les figures afin qu’elles soient collées sur la feuille de couleur. Dans l’ensemble, les techniques ont été assez bien maitrisées par les élèves, sauf pour q uelques groupes pour qui ça n’a pas été une évidence d’utiliser celles-ci. Cela m’amène à me questionner sur les manipulations, qui ne sont pas logique pour la totalité des élèves, même si pour la plupart elles sont intégrées et ont un sens.
Cinquième séance
Analyse factuelle
Voilà déjà quatre séances d’effectuées avec pour maître mot : la manipulation. D’après mes diverses lectures, la manipulation est essentielle à la compréhension de la notion d’aire, et cette séance a pour but de continuer dans ce sens en mettant à profit la créativité des élèves.
Pour effectuer cette séance, j’utilise le cahier de géométrie et mesure de Cap Maths, dans la lignée de l’activité sur les papiers peints. Le but de cette séance est de développer la réflexion des élèves, par le biais de manipulati on. Dans un sens, l’intégration d’un étalon de référence est réalisée. La séance est intitulée « les aires doubles et moitiés ». Pour cela, la séance de manipulation est réalisée individuellement. Chaque élève reçoit une fiche d’activité (Voir annexe p 55), du papier calque, et il a à sa disposition un crayon à papier, des ciseaux et une règle non graduée. Sur cette fiche d’activité est présent un carré. La consigne est de construire 6 surfaces où chacune a une aire double de celle du carré. Bien entendu, les surfaces représentées doivent toutes avoir des formes différentes. Il est attendu des élèves qu’ils comprennent que le carré doit servir d’étalon, et que des manipulations peuvent les aider à construire ces surfaces. Pour cela, ils doivent avoir acquis le fait que le carré peut être composé par exemple de deux triangles rectangles identiques (qui pourront également servir de gabarit.).
Conclusion
Après plusieurs semaines de préparation de séances, une période de mise en place, et quelques mois d’analyse, il est temps de faire le point sur tout le travail accompli, et bien entendu répondre à la problématique que je me suis posée il y a maintenant plusieurs mois.
Sur le plan du mémoire, mon intérêt s’est rapidement porté pour le thème des grandeurs et mesures, et les nombreuses observations réalisées dans ma classe m’ont vite fait prendre conscience que c’est un domaine où les difficultés des élèves sont moins évidentes à repérer qu’en géométrie ou en numération. Je ne regrette pas d’avoir élaboré mon travail de re cherche sur la grandeur aire, notamment par le fait qu’elle soit abordée pour la première fois en CM1.
Je peux conclure sur le fait que l’introduction de la grandeur aire peut poser des soucis, notamment de compréhension, de la part des élèves et qu’il est important de soigner sa progression afin d’éviter ces problèmes. Lors de mon dispositif, les manipulations successives de surfaces avaient pour but d’isoler cette grandeur puis d’en comprendre les caractéristiques.
Force est de constater que la plupart des élèves ont rapidement compris à quoi l’aire correspondait. Les première séances du dispositif ont été très satisfaisantes, et me permettent de valider leur rôle important dans l’appréhension de cette nouvelle grandeur. J’ai observé de la part des élèves de nombreuses reformulations du travail effectué, ainsi qu’un intérêt non négligeable pour ces comparaisons d’aires. Il est à noter que bon nombre d’élèves avaient le réflexe des instruments de mesure, et souhaitaient les utiliser pour répondr e aux diverses consignes que je posais. Il a été difficile pour eux de s’en détacher, ce qui signifie que la mesure a un fort impact sur les procédures des élèves, habitués très vite à mesurer les différentes grandeurs. La manipulation, dans un premier temps, leur a permis de visualiser clairement l’aire, de se l’approprier, et même de la « toucher » (lor sque les élèves ont découpé les rectangles et ont ainsi eu entre les mains les « quantités de papier »).
Là où ma réflexion émet des doutes est lors de l’introduction d’un étalon, donc lors des dernières séances de mon dispositif. En effet, sans l’expliquer, j’ai constaté que les élèves ont abordé ces séances sans se nourrir de tout le processus de compréhension des séances précédentes. Le fait d’intégrer un étalon a donné l’impression aux élèves d’étudier un fait nouveau, et ils n’ont pas eu le réflexe d’utiliser les comparaisons vues en amont pour résoudre ce qui leur était demandé.
Cependant, les résultats aux évaluations ont démontré une bonne réussite générale de la part de ces élèves, ce qui me conforte dans l’idée que ces comparaisons ont tout de même un impact sur la compréhension de la grandeur aire. En effet, elles structurent les caractéristiques liées aux grandeurs, et le fait d’apporter des compa raisons directes puis indirectes permet d’apporter une progression dans l’apprentissage de cette nouvelle grandeur. Je pense que la manipulation est indispensable car elle permet de s’attarder sur les éléments importants, et elle évite de rester fixé sur des problèmes de technique opératoire lors de mesures. Elle permet de surcroit de passer de la perception à l’abstraction. Je pense également que l’expérimentation aide à la compréhension générale de la notion .
Malgré tout, j’effectuerai des modifications dans mon dispositif, en introduisant l’étalon arbitraire d’une autre façon ; en essayant ainsi de trouver une activité qui lie davantage étalon et comparaisons directes et indirectes que celle que j’ai proposée ici. J’utiliserai davantage le jeu, comme par exemple le tangram, qui aurait permis aux élèves d’aborder les aires de façon plus ludique, tout en utilisant la manipulation.
Ouverture
Ce dispositif mis en place m’a permis par la suite de développer la grandeur aire par le biais de sa mesure grâce à un étalon arbitraire. Les élèves ont ainsi pu s’entraîner à la réalisation d’activités présentes lors de l’évaluation.
A la suite de cette séquence, dans le domaine grandeurs et mesures, les élèves vont aborder les angles ainsi que le volume. Pour ces deux grandeurs, mon objectif est de continuer à aborder les notions par le biais de comparaisons directes et indirectes. Ainsi, je souhaite mettre en place deux grosses séances pour les angles : « reconnaître un angle aigu, droit, obtus » et « comparer des angles » ; avant d’introduire une comparaison à l’aide d’un gabarit.
Par ailleurs, je pense que le dispositif élaboré et détaillé plus haut est idéal pour amorcer la notion d’aire en CM1, afin de la poursuivre en CM2. Ainsi, la mesure est inévitable, et les programmes de 2008 stipulent que les élèves de CM2 doivent savoir calculer l’aire d’un carré, d’un rectangle, d’un triangle en utilisant la formule appropriée ; et connaître et utiliser les unités d’aire usuelles (cm2, m2 et km2). Les nouveaux programmes de novembre 2015 stipulent quant à eux qu’en fin de cycle, on attend des élèves qu’ils sachent calculer des périmètres, des aires ou des volumes, en mobilisant ou non, selon les cas, différentes formules. »
Cela prouve que les textes officiels restent unanimes quant à l’utilité de la manipulation et des comparaisons de grandeurs avant l’introduction de leur mesure.
D’un point de vue professionnel, cette expérience a été très enrichissante. Faire travailler les élèves avec une méthode tournée vers la manipulation permet un meilleur apprentissage et les erreurs commises permettent de réfléchir et d’apprendre, tant pour les élèves que le maître.
Pour les mathématiques, matière scientifique, il faut dé velopper des connaissances –qui en dehors du fait d’être apprises, doivent être comprises – mais également des attitudes : la recherche, le raisonnement et la pensée critique. C’est le rôle de l’école de développer ceci, dès le plus jeune âge, et c’est ce que je veux continuer à développer dans ma pratique professionnelle tout au long de ma carrière.
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Table des matières
Introduction
Partie Théorique
I. Quelques éléments historiques
II. Les aires dans les instructions officielles, de 1887 à aujourd’hui
III. Définitions concernant les grandeurs, mesures, aire
1. Grandeurs et mesures
2. La grandeur aire
3. Les niveaux de pensée de Van Hiele
IV. Apports didactiques des lectures entreprises
Partie Pratique
I. Présentation
II. Constats et diagnostics relatifs aux élèves : les difficultés rencontrées
III. Remédiation au problème rencontré : objectif de l’expérimentation
IV. Dispositif mis en place : méthodologie
V. Description de la séquence
1. Première séance
2. Deuxième séance
3. Troisième séance
4. Quatrième séance
5. Cinquième séance
6. Sixième séance
Partie Analyse
I. Résultats et analyse du dispositif
II. Bilan et limites
Conclusion générale
I. Conclusion
II. Ouverture
Références bibliographiques et sitograhiques
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