Les narrations de recherche : une aide pour résoudre des problèmes de mathématiques à l’école élémentaire ?

Professeur des écoles stagiaire en classe de CM2 avec un élève atteint d’un TDAH diagnostiqué et un élève présentant des troubles de l’attention notables je souhaitais travailler sur les dispositifs de classe permettant de favoriser la concentration de ces élèves. Au cours de mes premières lectures, il m’est apparu que :

– l’attention prend diverses formes et demande de nombreuses opérations mentales : faire attention c’est établir des priorités .
– une démarche métacognitive peut permettre aux élèves de développer leur attention : les élèves prennent conscience de « comment ils font » pour être attentifs. Dans ce sens, le site Développer l’attention et la concentration de l’Académie de Versailles précise : « Devenir élève, c’est comprendre “qu’il se passe quelque chose dans ma tête” et que je peux avoir prise sur cette activité. » .

J’ai donc orienté mes recherches sur la notion de métacognition. Deux aspects distincts de ce concept me sont apparus :
– les connaissances métacognitives : ce sont les connaissances que l’individu a de son propre fonctionnement cognitif pour accomplir un tâche ;
– les régulations métacognitives : ce sont les procédures que l’individu met en œuvre afin d’utiliser ces connaissances. On parle aussi de « contrôle » exercé sur le système cognitif. De plus, au cours des premières périodes de classe, j’ai observé que la plupart des élèves de la classe avaient des difficultés pour résoudre des problèmes de mathématiques :
– blocage sur l’énoncé ;
– utilisation aléatoire des données de l’énoncé ;
– « contrat didactique » implicite : les élèves pensent que l’enseignante attend uniquement « la bonne réponse » et se focalisent sur celle-ci.

Une démarche métacognitive pour résoudre des problèmes de mathématiques permet donc à l’élève de se décentrer de la seule réussite de la tâche, de se mettre à distance de ce qu’il fait et de se demander « comment il fait » pour les résoudre.

Les narrations de recherche me paraissent donc intéressantes car elles permettent à l’élève d’expliquer sa démarche mais aussi ses doutes, ses erreurs, etc. Ainsi, elles font fonctionner la métacognition. Il s’agit de persuader l’élève qu’il n’a pas perdu son temps si la recherche n’a pas abouti et de modifier ce « contrat didactique » implicite sur lequel les élèves se basaient auparavant.

Les problèmes en mathématiques

Les problèmes dans les instructions officielles

L’expression « résoudre des problèmes » apparaît dès l’introduction du socle commun de connaissances, de compétences et de culture . Ainsi, à l’issue de la scolarité obligatoire, l’élève doit être capable de résoudre des problèmes en mobilisant des connaissances, démarches et procédures adaptées. On retrouve cette idée dans le domaine 2 (les méthodes et outils pour apprendre) dont une des compétences du sous-thème « Organisation du travail personnel » est liée à l’identification des problèmes, la démarche de résolution, etc.

La résolution de problèmes est aussi au cœur des programmes de mathématiques pour le cycle 3. En effet, il est écrit que « la résolution de problèmes constitue le critère principal de la maitrise des connaissances dans tous les domaines des mathématiques, mais elle est également le moyen d’en assurer une appropriation qui en garantit le sens. » Ainsi, elle est à la fois une démarche qui permet aux élèves d’aborder les différentes notions mathématiques mais aussi un but à atteindre qui prouve l’acquisition des compétences mathématiques des élèves.

On retrouve encore cette notion dans les programmes de mathématiques , dans les domaines 1 et 4 du socle. La résolution de problèmes est donc une démarche générale qui est commune à tous les domaines des mathématiques et qui contribue à la construction des compétences du socle commun de connaissances, de compétences et de culture. Enfin « Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux, le calcul.» et « Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs (géométriques, physiques, économiques) en utilisant des nombres entiers et décimaux. » sont des compétences qui doivent être acquise en fin de cycle 3 pour les domaines « nombres et calculs » et « grandeurs et mesures ».

On note donc que deux expressions relatives aux problèmes coexistent dans les instructions officielles : « la résolution de problèmes » et « résoudre des problèmes». Il est donc indispensable de définir ce qu’est un problème.

Qu’est-ce-qu’un problème?

On trouve la phrase suivante dans la publication Le nombre au cycle 3 : « Faire des mathématiques, c’est avant tout résoudre des problèmes. » Le problème est donc le cœur de l’activité mathématique, c’est par lui que l’élève construit la connaissance mathématique.

Gérard Vergnaud, donne la définition suivante : « Par problème il faut entendre, dans le sens large que lui donne le psychologue, toute situation dans laquelle il faut découvrir des relations, développer des activités d’exploration, d’hypothèse et de vérification, pour produire une solution. » Un problème suppose donc que la solution ne se trouve pas immédiatement dans l’énoncé. Il faut, en effet, que l’élève éprouve le besoin de chercher, de se questionner. Il doit avoir l’occasion de mettre en œuvre une réelle démarche par laquelle il se questionne, émet des hypothèses, tâtonne, etc. Ainsi, la solution au problème n’est pas le but atteindre mais sera la preuve que l’élève a tout mis en œuvre pour résoudre ce problème.

Mais les problèmes ne sont pas seulement une mise en activité des élèves, si on entend par là, faire manipuler les élèves. Les problèmes sont avant tout une activité mentale, basée sur la représentation que l’élève se fait de la situation inspirée du réelle qui lui est proposée. Les problèmes relèvent donc bien de l’espace des représentations et non de l’espace sensible, même si, l’activité de l’élève peut osciller entre ces deux espaces, notamment lorsqu’il procède par recherche et tâtonnement. L’évocation du problème peut donc être pratique (manipulation) ou dessinée (dessin, schéma) mais la résolution sera toujours mathématique (raisonnement, calculs).

J’ai défini ici le problème mathématique de manière générale mais les didacticiens ont caractérisé les problèmes plus précisément en construisant des typologies.

Typologies

Je vais m’intéresser ici à deux typologies de problèmes qui coexistent et sont toutes deux utiles pour mieux comprendre les problèmes et notamment ceux de l’école élémentaire, mais aussi pour construire des séquences qui font sens et qui permettent aux élèves de construire des connaissances.

La première à laquelle je m’intéresse est la typologie de Roland Charnay11 qui est construite à partir des objectifs d’apprentissage poursuivis. Cette typologie classe les problèmes selon leur fonction :
– Faire construire de nouvelles connaissances par les élèves : ce sont les situationsproblèmes.
– Travailler les connaissances déjà acquises :
• Immédiatement après la construction de la connaissance : ce sont les problèmes de réinvestissement.
• De façon différée après la construction de la connaissance en utilisant une situation différente de celles abordées lors de la construction de la connaissance mais qui demande tout de même son réinvestissement : ce sont les problèmes de transfert.
– Faire utiliser différentes catégories de connaissances construites antérieurement par les élèves : ce sont les problèmes de synthèse.
– Faire le point sur la façon dont les connaissances sont maîtrisées par les élèves : ce sont les problèmes d’évaluation.
– Apprendre à chercher, donc faire développer aux élèves des compétences méthodologiques : ce sont les problèmes ouverts.

Les différents types de problèmes présentés ici vont permettre de construire une séquence en les organisant de façon chronologique. En effet, on abordera en général une notion par une situation-problème, on la travaillera grâce à des problèmes de réinvestissement puis éventuellement des problèmes de transfert. On pourra approfondir la notion en utilisant des problèmes de synthèse. Enfin, l’enseignant évaluera les connaissances des élèves grâce aux problèmes d’évaluation. Pendant la phase d’entraînement, on pourra proposer des problèmes ouverts pour faire travailler aux élèves leurs compétences de chercheur.

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Table des matières

Introduction
Partie 1 : éclairage théorique
1. Les problèmes en mathématiques
1.1. Les problèmes dans les instructions officielles
1.2. Qu’est-ce-qu’un problème?
1.3. Typologies
1.4. Résoudre un problème : quels éléments importants?
2. Les narrations de recherche
2.1. Historique et définition
2.2. Objectifs
2.2.1. Objectifs relationnels
2.2.2. Objectifs disciplinaires
2.2.3. Objectifs méthodologiques
3. La métacognition
3.1. Définitions
3.2. Le rôle de l’enseignant
3.3. La narration de recherche : une activité métacognitive?
Partie 2 : méthodologie
1. Hypothèses
2. La classe
3. Dispositif
3.1. Situation test
3.2. Séquence d’apprentissage
3.2.1. Choix des problèmes
3.2.2. Présentation de la narration de recherche aux élèves
3.2.3. Correction et évaluation des productions des élèves
3.2.4. Rôle de l’enseigant et mise en commun
3.2.5. Déroulement de la séquence
Partie 3 : résultats et analyse
1. Situation initiale
1.1. Résultats
1.2. Analyse
1.2.1. Compréhension de l’énoncé
1.2.2. Sens de l’égalité
1.2.3. Statut de la solution
1.2.4. Procédures de résolution rencontrées
2. Séquence de narration de recherche : résultats et analyse
2.1. Première narration de recherche
2.1.1. Recherche
2.1.2. Narration
2.2. Travail en binômes : analyse du rendu d’autres élèves
2.3. Réécriture de la première narration
2.4. Mise en commun fictive
Conclusion
Bibliographie
Annexes

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