Soutenance mémoire
Les modes d’instabilité de base dans le dimensionnement des profilés en acier formés à froid
Introduction
L’utilisation des structures en acier formées à froid et à parois minces dans les constructions industrielles et résidentielles a augmenté ces dernières années, principalement en raison des formes de section inhabituelles qui peuvent être produites économiquement, en plus de leur légèreté et leur facilité de fabrication. Dans la plupart des cas, les phénomènes d’instabilité sont le facteur déterminant dans le dimensionnement des éléments structuraux en acier formés à froid à cause de leurs élancements très grands. La démarche classique pour déterminer leur capacité portante consiste à chercher d’abord la contrainte critique élastique qu’il faut ensuite corriger pour tenir compte des effets défavorables des imperfections géométriques et matérielles, ainsi que des effets favorables des réserves postcritiques. Cette correction est réalisée au moyen de courbes d’instabilité qui donnent la relation entre la charge critique élastique et la charge ultime en fonction de l’élancement. Cette démarche est respectée dans la plupart des règlements [2, 3]. Il est donc indispensable de faire une évaluation correcte de la charge critique élastique puisqu’elle est à l’origine de la procédure de dimensionnement. Dans le comportement de flambement des éléments à parois minces, généralement, trois classes de modes de flambement, appelés modes de base, sont distinguées : le global, le distorsionnel, et le local. Ils sont généralement définis sur la base des déformations transversales dans le plan. Cependant, ce n’est pas la configuration de déformation qui fait la distinction importante, mais plutôt le comportement post-flambement. Généralement, le flambement global n’a pas de réserve postcritique, alors que le voilement local en a une importante. Le mode de flambement distorsionnel possède également une réserve postcritique quoique beaucoup moins importante que celle du voilement. L’existence, ou l’absence de la réserve post-flambement influence grandement la force de l’élément, il est donc important de pouvoir identifier correctement le mode de flambement qui entre en jeux, car les effets favorables de la réserve post-critique en dépendent, afin d’adopter la bonne procédure de dimensionnement.
Deux méthodes de base sont officiellement disponibles dans les règles de dimensionnement à travers le monde, la traditionnelle méthode de la largeur efficace (EWM pour Effective Width Method), [2, 3], et la méthode de la force directe (DSM pour Direct Strength Method) [11]. La première méthode a été utilisée dans les méthodes réglementaires de dimensionnement des éléments en acier formés à froid, presque partout dans le monde, tandis que la méthode de la force directe n’a été adoptée qu’en Amérique du Nord et en Australie/Nouvelle-Zélande, bien qu’au cours des dernières années, la DSM est de plus en plus utilisée pour calculer la charge ultime des éléments en acier formés à froid car elle permet d’éviter les longs calculs des largeurs efficaces. Cette nouvelle méthode a maintenant été approuvée par le comité AISI de la réglementation et a été introduite dans les règles nord-américaines pour la conception des éléments en acier formés à froid .Dans ce chapitre les différents types d’instabilité de base telles que définies dans les règles américaines et européennes [3, 2] sont présentés. Ensuite les différentes possibilités de calculer les charges critiques élastiques qui leur correspondent sont exposées suivies d’un bref exposé des méthodes numériques les plus utilisées dans ce domaine.
Les trois instabilités de base
Les barres et les poutres (éléments de structures) en acier formées à froid (et à parois minces) soumises à des efforts de compression ou de flexion, peuvent avoir au moins trois modes d’instabilité élastiques, appelés instabilités de base ou modes d’instabilités purs : le mode local, le mode distorsionnel, et le mode global. L’instabilité locale est généralement caractérisée par le voilement des parois planes (éléments plaques) qui constituent la section. Elle se produit en développant dans le sens longitudinal des ondes (sinusoïdales) ayant des longueurs de demi-onde inferieures à la plus grande dimension caractéristique de la section (voir Figure 2-1 La section transversale de l’élément voilé se déforme en engendrant des rotations sans aucune translation au niveau des lignes d’intersection entre les parois planes (voir Figure 2-2). Le flambement global est un mode qui couvre toute la longueur de la barre/poutre. Il se produit avec une seule demi-onde de longueur égale à la longueur de flambement (voir Figure 2-1 (c)). On l’appelle aussi, flambement de corps rigide parce que la section transversale se déplace comme un corps rigide en translation et/ou en rotation sans subir de déformation. Il comprend le flambement par flexion, par torsion et par flexion-torsion (voir Figure 2-2) Le mode le moins maîtrisé parmi les trois instabilités pures est le mode distorsionnel. Il présente, comme le voilement, des ondulations harmoniques le long de la longueur de l’élément. La longueur de sa demi-onde dépend du chargement et de la géométrie mais globalement, elle est plus grande que celle du mode local (voir Figure 2-1 (b)). Quant à la déformation de la section transversale, elle se produit en engendrant des rotations et des déplacements au niveau des lignes d’intersection entre les parois planes de la section (voir Figure 2-2) Figure 2-1 Contrainte critique élastique pour divers modes de flambement en fonction de la longueur de la demionde Instabilité locale Instabilité distorsionnelle Instabilité par flexion Instabilité par flexion Instabilité par flexion torsion Figure 2-2 Les différents modes d’instabilité de base d’une section en C comprimée [9]. Uniquement des Rotations Translation Translation Puisque les modes local et distorsionnel modifient beaucoup plus la forme de la section transversale, ils sont considérés comme des modes « de section ». Ils peuvent interagir entre ux et même avec le mode global. La Figure 2-3 résume certains modes simples ou bien en interaction pour une colonne ayant une section en C et soumise à une compression axiale [12].
Calcul manuel des contraintes critiques des instabilités de base
Le mode local ou Voilement
Il existe deux solutions manuelles pour le calcul de la contrainte critique élastique de voilement La méthode des éléments et la méthode de l’interaction [3]. La méthode des éléments fournit une solution simple avec une large applicabilité, tandis que la méthode de l’interaction fournit une solution de flambement local plus précise qui comprend l’interaction de deux parois quelconques (âme-semelle, semelle-raidisseur), mais a une applicabilité limitée La méthode des éléments ne tient pas compte de l’interaction entre les parois de la section C’est l’approximation la plus simple et la plus conservatrice pour le calcul de la contrainte de voilement élastique d’une section. On suppose que tous les éléments de la section sont simplement appuyés, on calcule la contrainte devoilement de chaque élément, et on prend le minimum des contraintes calculées comme contrainte de voilement de la section. Pour les poteaux la charge critique locale est donnée par :Et pour les poutres le moment critique local est donné par :Avec 𝐴𝑔 l’aire de la section transversale, 𝑆𝑔 le module de section à la fibre extrême comprimée et 𝜎𝑐𝑟𝑙 la contrainte critique de voilement donnée par l’expression ci-dessous :Où E est le module de Young, 𝜈 est le coefficient de Poisson, 𝑡 est l’épaisseur de l’élément, 𝑤 sa largeur et 𝑘 son coefficient de voilement qui dépend des conditions aux limites et de chargement de l’élément. Les solutions manuelles pour le voilement reposent sur l’utilisation de ce coefficient de voilement.
Les éléments raidis
Pour un élément de section (paroi) raidi comprimé soumis à un gradient de contraintes, 𝜓 = 𝜎2⁄𝜎1 , le coefficient de voilement est donné par les formules ciaprès Pour l’AISIPour l’EurocodeOù 𝜎1 et 𝜎2 sont les contraintes aux bords de la paroi. Dans le cas d’une paroi raidie soumise à un effort de compression pure, cela donne, pour les deux codes ans le cas d’un élément raidi soumis à un effort de flexion pure, on a également pour les deux codes.
Les éléments non raidis
Pour les éléments non raidis l’Eurocode et l’AISI utilisent les mêmes expressions. Dans le cas d’un élément non raidi (ou un raidisseur de bord) uniformément comprimé, le coefficient de voilement est 𝑘 = 0.43. Si la paroi non raidie ou le raidisseur de bord est soumis à un gradient de contraintes tout en étant totalement comprimé, 0 < 𝜓 < 1, le coefficient de voilement est donné pour les deux situations suivantes, en fonction du sens de variation de la contrainte. Dans le cas où la contrainte diminue vers le bord libre (voir Figure 2-4 (a)), on a Et si la contrainte augmente vers le bord libre (voir Figure 2-4 (b)), 𝑘 est donné par : Figure 2-4 Eléments non raidis soumis un gradient de contraintes Pour une paroi dont un bord est en compression 𝜎1 et le deuxième est en traction 𝜎2 ; et si le bord libre est comprimé tel que montré par la Figure 2-5(a)), le coefficient de voilement est donné par Si maintenant le bord appuyé est comprimé (voir Figure 2-5 (b)) on a Figure 2-5 Eléments non raidis soumis à un gradient de contraintes, un bord en compression et l’autre en traction.
Le mode distorsionnel
Selon l’AISI
Les dispositions ci-dessous s’appliquent aux profilés de sections transversales en I, Z, C et d’autres sections ouvertes à semelles avec raidisseurs de bord. La charge critique et le moment critique sont donnés, respectivement, par Où 𝐴𝑔 est l’aire brute de la section transversale, 𝑆𝑓 est le module de section élastique et 𝜎𝑐𝑟𝑑 est la contrainte critique élastique distorsionnelle Cette dernière prend différentes expressions en fonction de la forme de la section transversale u profilé et du chargement.
Recommandations simplifiées pour les sections C et Z avec raidisseurs simples
Pour les profilés de sections en C, en Z et en chapeau qui ne possèdent pas de dispositifs pour empêcher la rotation des semelles et qui vérifient les limitations géométriques ci-dessous, les équations (2-14) et (2-18) peuvent être utilisées pour obtenir une valeur conservative de la contrainte distorsionnelle dans le cas de la compression simple et de la flexion simple, espectivement Où ℎ0, 𝑏0, 𝐷 et 𝜃 sont les dimensions définies sur la Figure 2-6 Figure 2-6 Définition des fférentes grandeurs géométriques Si le profilé est comprimé, on a : 𝐿𝑚 est la distance entre les raidisseurs qui empêchent le flambement par distorsion, 𝐸 est le module de Young de l’acier et 𝜈 est son coefficient de Poisson. Si le profilé est fléchi, la contrainte élastique distorsionnelle est onnée par Où 𝐿 est la valeur minimale de 𝐿𝑐𝑟 et de 𝐿𝑚.
Cas des sections en C, Z et chapeau ou toute autre section ouverte ayant des semelles égales et où les raidisseurs sont soit simples soit complexes
Les recommandations ci-dessous s’appliquent aux profilés comprimés ou fléchis de sections transversales ouvertes avec des semelles raidies de dimensions égales, y compris celles qui vérifient les limitations géométriques citées dans le paragraphe précèdent. L’équation (2-22) donne la contrainte distorsionnelle dans le cas de la compression. ù 𝑘𝜙𝑓𝑒 est la rigidité élastique de rotation fournie par la semelle à la jonction âme/semelle et, est donnée par : Et 𝑘𝜙𝑤𝑒 est la rigidité élastique de rotation fournie par l’âme à la jonction âme/semelle et, est donnée par : 𝑘𝜙 est la rigidité de rotation apportée par les éléments rigidifiant la jonction âme/semelle (0 si la emelle n’est pas rigidifiée). Si les rigidités apportées aux deux semelles sont différentes, la plus petite des deux est utilisée. 𝑘̃𝜙𝑓𝑔 est la rigidité géométrique de rotation exigée par la semelle à la jonction âme/semelle, et est donnée par l’expression suivante.𝑘̃𝜙𝑤𝑔 est la rigidité éométrique de rotation exigée par l’âme à la jonctionâme/semelle donnée par Dans le cas de profilés fléchis, la contrainte critique distorsionnelle est : Où 𝛽 est une valeur qui tient compte du gradient de moments qu’il est permis de prendre de façon conservative égale à 1.
Analyse rationnelle du flambement élastique
L’AISI autorise l’utilisation de toute méthode rationnelle pour calculer les contraintes critiques du flambement élastique.
Selon l’Eurocode
Généralités
L’Eurocode recommande de baser les calculs des parois comprimées munies de raidisseurs de bord ou intermédiaires sur l’hypothèse selon laquelle le raidisseur se comporte comme une barre comprimée avec un maintien partiel continu, dont la rigidité de ressort dépend des conditions aux limites et de la rigidité de flexion des parois adjacentes. La rigidité 𝐾 du ressort associé à un raidisseur est déterminée par l’application d’une charge unitaire 𝑢 par unité de longueur comme illustré à la Figure 2-7 . Elle est déterminée à partir de l’équation ci-dessous 𝛿 est la flèche du raidisseur sous l’effet de la charge unitaire 𝑢 agissant au centre de gravité de la section efficace Figure 2-7 Détermination de la rigidité du ressort Pour déterminer la rigidité des ressorts en rotation 𝐶𝜃, 𝐶𝜃1 et 𝐶𝜃2 en fonction de la géométrie de la section transversale, il faut tenir compte des effets éventuels d’autres raidisseurs existant sur la même paroi. La contrainte critique élastique distorsionnelle peut être obtenue à partir d’une analyse numérique de lambement élastique.
Parois munies de raidisseurs de bord
Dans le cas de parois munis de raidisseurs de bords tel que montré par la Figure 2-8, la contrainte critique distorsionnelle est donnée par :Où 𝐾 est la rigidité du ressort par unité de longueur calculée par l’équation(2-37), et où la flèche est donnée par : 𝐼𝑆 est le moment d’inertie de la section efficace du raidisseur. 𝐴𝑆 est la section efficace du raidisseur montrée par la Figure 2-8 calculée en suivant les étapes détaillées dans l’Eurocode 3 [2] si les exigences définies par le Tableau Annexe 1 sont satisfaites et si l’angle entre le raidisseur et la paroi est compris entre 45° et 135° Figure 2-8 Raidisseurs de bord Les parties efficaces du raidisseur, paroi 𝑐 ou parois 𝑐 et 𝑑 comme montré à la Figure 2-8, augmentées de la partie efficace adjacente de la paroi plane 𝑏𝑝 sont retenues comme section transversale d’un raidisseur de bord. Dans le cas de raidisseurs de bord de profils en C et en Z, la rigidité en rotation 𝐶𝜃 est déterminée avec la charge unitaire appliquée comme indiqué à la Figure 2-7. Ce qui conduit à l’expression suivante pour la rigidité de ressort 𝐾1 pour la semelle
Où 𝑏1 est la distance entre la jonction âme/semelle et le centre de gravité de l’aire efficace du raidisseur de bord de la semelle 1 𝑏2 est la distance entre la jonction âme/semelle et le centre de gravité de l’aire efficace du raidisseur de bord de la semelle 2.
Parois munies de raidisseurs intermédiaires
Dans le cas de parois munies de raidisseurs intermédiaires tel que montré par la Figure 2-9, la contrainte critique distorsionnelle est également donnée par l’équation (2-38). Où la rigidité des ressorts en rotation 𝐶𝜃1 et 𝐶𝜃2 est prise égale à zéro ; et où laflèche 𝛿 peut alors être obtenue par : 𝐼𝑆 est le moment d’inertie de la section efficace du raidisseur, pris égal à celui de son aire efficace 𝐴𝑆 par rapport à l’axe neutre 𝑎 − 𝑎 de sa section transversale efficace (voir Figure 2-9) Figure 2-9 Raidisseurs intermédiaires.
Plaques nervurées avec raidisseurs intermédiaires
Dans le cas de semelle munie de raidisseur unique centré, la contrainte critique de distorsion est donnée par : Où 𝑏𝑝 est la largeur de la paroi, 𝑏𝑆 est la largeur du raidisseur mesurée le long du périmètre, 𝐴𝑆 et 𝐼𝑆 sont l’aire et le moment d’inertie de la section transversale du raidisseur et 𝑘𝑤 est un coefficient tenant compte du maintien partiel en rotation de la semelle raidie. En alternative plaçant en sécurité, 𝑘𝑤 peut être pris égal à 1. Dans le cas de semelle avec deux raidisseurs situés symétriquement (voir Figure 2-10), la contrainte critique élastique de distorsion est donnée par : Où 𝑏𝑝,1 est la largeur de référence d’une paroi plane de rive, 𝑏𝑝,2 est la largeur de référence d’une paroi centrale de rive et 𝑏𝑟 est la largeur hors tout d’un raidisseur. 𝐼𝑆 est la somme des moments d’inertie des raidisseurs par rapport à l’axe 𝑎 − 𝑎, montré par la Figure 2-10, 𝑏0 est la largeur de la semelle et 𝑏e est la largeur développée de la semelle. La contrainte critique de distorsion pour un raidisseur unique ou pour le raidisseur le plus proche de la semelle comprimée dans les âmes munies de deux raidisseurs est donnée par Dans laquelle 𝑆1 est donné par les équations suivantes Pour un raidisseur unique Pour le raidisseur le plus proche de la semelle comprimée, dans les âmes munies de deux raidisseurs Où 𝑘𝑡 est le coefficient tenant compte du maintien partiel en rotation de l’âme raidie, par les semelles, 𝐼𝑆 est le moment d’inertie de la section efficace du raidisseur. Dans le cas de plaques nervurées munies de raidisseurs de semelles et de raidisseurs d’âme, il faut prendre en compte l’interaction entre le flambement par distorsion des raidisseurs de semelle et des raidisseurs d’âme, en utilisant une contrainte critique élastique modifiée pour les deux types de raidisseurs obtenue par l’équation suivante Où 𝜎𝑐𝑟𝑑 est la contrainte critique élastique de distorsion d’un raidisseur de semelle intermédiaire, donnée par l’équation (2-42) dans le cas d’une semelle avec un seul raidisseur, ou l’équation (2-43) dans le cas d’une semelle avec deux raidisseurs. 𝜎𝑐𝑟𝑑,𝑠𝑎 est la contrainte critique élastique d’un raidisseur d’âme unique, ou du raidisseur le plus proche de la semelle comprimée dans les âmes munies de deux raidisseurs donnée par l’équation (2-45) 𝐴𝑆 est l’aire de la section transversale efficace d’un raidisseur intermédiaire de semelle ; 𝐴𝑠𝑎 est l’aire de la section transversale efficace d’un raidisseur intermédiaire d’âme. 𝛽𝑆 = 1 − (ℎ𝑎 + 0.5ℎ𝑠𝑎)/𝑒𝑐 pour un profilé fléchi ; 𝛽𝑆 = 1 pour un profilé comprimé. Les grandeurs ℎ𝑎 et ℎ𝑠𝑎 sont montrées par la Figure 2-11. Figure 2-11 Section transversale efficace d’âme de plaques nervurées.
Le mode global ou Eulérien
Selon l’AISI
Sections non sujettes à un flambement par torsion ou par flexion-torsion. La contrainte critique du mode global pour des sections transversales
quelconques je soumises à la compression et non sujettes à un flambement par torsion ou par torsion-flexion est donnée par la formule d’Euler de l’équation (2-47) Où 𝐸 est le module de Young de l’acier, 𝐾 est le coefficient de flambement, 𝐿 la longueur du profilé non raidie latéralement et 𝑟 est le rayon de giration.
Sections doublement symétriques ou mono-symétriques soumises à un flambement par torsion ou par flexion-torsio
Pour des sections mono-symétriques sujettes à un flambement par flexiontorsion, la contrainte critique est la plus petite des valeurs calculées par l’équation (2-47) et l’équation ci-dessous : 𝐺 est le module de cisaillement, 𝐽 est la constante de Saint Venant de torsion, 𝐶𝑤 est la constante de gauchissement, 𝐴 est l’aire brute, 𝑟0 est le rayon de giration polaire et est donné par Où 𝑟𝑥 et 𝑟𝑦 sont les rayons de giration de la section transversale autour des axes principaux, et 𝑥0 est la distance du centre de cisaillement au centre de gravité le long de l’axe principal 𝑥, prise négative. L’axe 𝑥 est l’axe de symétrie de la section Où 𝐾𝑥 est le facteur de longueur effective de flexion autour de l’axe 𝑥, et 𝐿𝑥 la longueur du profilé entre les entretoises pour une flexion autour de l’axe des 𝑥 Pour des sections à double symétrie soumises au flambement par torsion, la contrainte critique 𝜎𝑐𝑟𝑒 est la plus petite des valeurs de 𝜎𝑐𝑟𝑒 de l’équation (2-47), et 𝜎𝑐𝑟𝑒 = 𝜎𝑡 où 𝜎𝑡 est donnée par l’équation (2-50).
Sections à un point de symétrie
Pour des sections à un point de symétrie, la contrainte critique 𝜎𝑐𝑟𝑒 est la plus petite des valeurs de 𝜎𝑐𝑟𝑒 de l’équation (2-47), en utilisant l’axe principal mineur, et de l’équation 𝜎𝑐𝑟𝑒 = 𝜎𝑡 où 𝜎𝑡 est donnée par l’équation (2-50).
Sections asymétriques
Pour des sections qui n’ont pas de symétrie, soit autour d’un axe ou autour d’un point, la contrainte critique doit être déterminée par une analyse rationnelle.
Déversement des profilés de sections transversales ouvertes
Les dispositions ci-dessous s’appliquent aux profilés de section en I, Z, C, U et d’autres de type fermé, soumises au déversement.
Pour les sections symétriques
Dans le cas où la flexion est autour de l’axe de symétrie, la contrainte critique pour les sections mono symétriques et les sections doublement-symétriques est donnée par Et pour les sections ayant un point de symétrie, on a Où 𝑀𝑚𝑎𝑥 est le moment maximum dans les entretoises, 𝑀𝐴 est la valeur du moment au point situé au quart du segment entre les entretoises, 𝑀𝐵 est la valeur au milieu et 𝑀𝐶 au trois-quarts. 𝑟0 est le rayon de giration polaire donné par l’équation (2-51). 𝐴 est l’aire de la section transversale non réduite, et 𝑆𝑓 module de section élastique de la section non réduite par rapport à la fibre extrême comprimée Où 𝐸 est le module de Young de l’acier, 𝐾𝑦 est le facteur de longueur effective de flexion autour de l’axe 𝑦, et 𝐿𝑦 la longueur du profilé entre les entretoises pour une flexion autour de l’axe des 𝑦. 𝜎𝑡 est donnée par l’équation (2-50). Pour les sections à un seul axe de symétrie fléchies autour de l’axe central perpendiculaire à l’axe de symétrie, la contrainte élastique critique est Où 𝐶𝑠 prend la valeur de, 1 pour un moment provoquant une compression sur le côté de centre de cisaillement de centre de gravité et −1 pour un moment provoquant une traction. 𝜎𝑒𝑥 est donnée par l’équation (2-52) Où 𝑀1 et 𝑀2 sont le plus petit et le plus grand moment de flexion respectivement aux extrémités de la longueur entre les entretoises dans le plan de flexion. Lorsque le moment de flexion à tout moment dans une longueur entre les entretoises est plus grand que celui aux deux extrémités de cette longueur, 𝐶𝑇𝐹 doit être pris égal à 1.
Pour les sections en I, les sections en C et en Z
Pour les profilés de sections transversales en I, les sections mono symétriques en C ou en Z fléchies autour de l’axe central perpendiculaire à l’âme (axe des x), les contraintes critiques élastiques sont données en fonction des types de sections Pour les sections doublement symétriques en I et les sections mono symétriques en Pour les profilés de sections transversales en Z à un point de symétrie Où 𝑑 est la profondeur de la section, 𝐼𝑦𝑐 est le moment d’inertie de la partie comprimée de la section par rapport à l’axe central, de la section entière, parallèle à l’âme.
Déversement des profilés de sections transversales fermées
Pour les profilés de sections transversales fermées, la contrainte critique de déversement est calculée par l’expression suivante : 𝐽 est la constante de torsion de la section transversale, et 𝐼𝑦 est moment d’inertie de la section non réduite par rapport à l’axe passant par le centre de gravité et parallèle à l’âme.
Selon l’Eurocode
La force critique pour le flambement par torsion d’une poutre sur deux appuis simples est donnée par l’équation .
Remarques
Il est important de rappeler que ces méthodes approchées ont été calibrées et validées par rapport à des mesures expérimentales et à des analyses numériques par la méthode des bandes finies. Les méthodes présentées ci-dessus donnent des résultats fiables, mais il est évident que dimensionner un profilé en acier formé à froid nécessite l’utilisation des outils numériques. Dans ce qui suit, un bref aperçu des différentes méthodes numériques utilisées pour l’analyse de la stabilité élastique, est présenté.
Les méthodes numériques pour l’analyse de la stabilité élastique
Actuellement les méthodes numériques sont considérées comme l’outil le plus puissant pour l’estimation de la contrainte critique élastique des profilés à parois minces. Parmi elles, la méthode des éléments finis (FEM pour Finite Element Method) est sans doute la plus puissante et la plus générale de toutes les méthodes utilisées dans l’analyse de la stabilité de ce type de structure. Elle fût la première méthode numérique apte à modéliser les modes d’instabilité des systèmes à parois minces en prenant en compte le caractère non linéaire de la structure (non linéarité géométrique et matérielle). Seulement la FEM est incapable de classer automatiquement les différents modes d’instabilité et leur identification n’est donc pas systématique La méthode des bandes finies (FSM pour Finite Strip Method) a été développée par Cheung [13] pour l’étude des plaques rectangulaires simplement appuyées dans une direction. Elle peut être vue comme une variante de la FEM. C’est l’une des méthodes les plus utilisées pour étudier la stabilité élastique des structures en acier formé à froid [14, 15]. Une brève présentation de la FSM sera faite dans les chapitres suivants. Cette méthode s’est imposée comme un moyen efficace pour étudier toutes les instabilités possibles des profilés en acier formé à froid soumis à des contraintes longitudinales. Elle a également été utilisée pour calibrer et valider les techniques de calcul manuel des différentes instabilités. Du point de vue de l’identification des modes purs d’instabilité, la FSM est semblable à la FEM. Cependant ce problème est surmonté par la détermination automatique de l’effort critique en fonction de la longueur de la demi-onde d’instabilité ce qui permet d’identifier les modes purs d’instabilité. Seulement, il y a toujours des sections où cette identification n’est pas évidente Une troisième possibilité est d’utiliser la théorie des poutres généralisée (GBT pour Generalised Beam Theory). La GBT possède la capacité de pouvoir classer les modes d’instabilité automatiquement. Donc, les contraintes critiques des différents modes purs d’instabilité, qui sont exigés par les codes de calculs, sont directement fournies par cette méthode. Récemment, Adany et Schafer [7, 16] ont proposé une nouvelle approche de décomposition des modes d’instabilité qui permet aux méthodes numériques de calculer les charges critiques des modes purs d’instabilité. L’idée fondamentale de la technique proposée est de garder les caractéristiques des méthodes numériques et d’introduire les hypothèses de la GBT qui permettent l’identification et le calcul des modes purs d’instabilité. La méthode numérique est donc contrainte à reproduire les modes purs d’instabilité. La technique a été mise en œuvre pour la FSM, et a été appelée la méthode des bandes finies contraintes (cFSM pour constrained Finite Strip Method). Il s’agit d’un progrès important dans le domaine de l’analyse numérique de la stabilité élastique.
Conclusion
Dans ce chapitre les trois modes d’instabilité de base, le local, le distorsionnel et le global, des éléments de structure en acier formés à froid, sont présentés. Les contraintes critiques élastiques de ces différents modes purs sont nécessaires pour les différentes approches de dimensionnement. Une présentation des différentes méthodes de calcul manuel de ces contraintes selon les deux règlements de dimensionnement de ce type de structures, à savoir l’Eurocode 3 [2] et le règlement américain [3], est faite. Les différents cas possibles et les différentes expressions reportés montrent la complexité de cette tâche. Les méthodes numériques sont considérées comme l’outil le plus puissant pour analyser le comportement des profilés à parois minces. On peut citer la méthode des éléments finis, la méthode des bandes finies et la méthode des bandes finies contraintes (cFSM). Depuis son développement, la cFSM est progressivement devenue un outil efficace pour étudier les profilés en acier formés à froid. L’objectif principal de cette thèse est d’en faire avancer la théorie en vue de permettre l’étude de profilés qui ont des sections non couvertes par les approches actuelles. A cette fin, le chapitre suivant se propose de dresser un état de l’art des récents développements enregistrés dans la recherche scientifique liée à la cFSM.
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Table des matières
Résumé
Abstract
Notations
Liste des Tableaux
Liste des Figures
Chapitre 1 Introduction
1.1 Introduction
1.2 Objectifs – Contributions
1.3 Plan de la thèse
Chapitre 2 Les modes d’instabilité de base dans le dimensionnement des profilés en acier formés à froid
2.1 Introduction
2.2 Les trois instabilités de base
2.3 Calcul manuel des contraintes critiques des instabilités de base
2.3.1 Le mode local ou Voilement.
2.3.2 Le mode distorsionnel
2.3.3 Le mode global ou Eulérien
2.3.4 Remarques
2.4 Les méthodes numériques pour l’analyse de la stabilité élastique
2.5 Conclusion
Chapitre 3 Revue générale de la méthode des bandes finies contrainte cFSM
3.1 Introduction
3.2 Les développements théoriques de la cFSM
3.3 La cFSM dans les travaux de recherche sur les profilés en acier formés à froid
3.3.1 Problèmes de dimensionnement
3.3.2 Problèmes de conception et d’optimisation des formes des profilés en acier formés à froid
3.4 La cFSM dans l’identification des déformées de flambement calculées par la FEM
3.4.1 Approche basée sur les bases modales complètes de la cFSM
3.4.2 Approche basée sur les déformées modales des sections
3.5 La cFSM dans l’identification de l’imperfection géométrique
3.6 La méthode des éléments finis contrainte ou cFEM
3.7 La cFSM dans les solutions analytiques du flambement global
3.8 Conclusion
Chapitre 4 Extension de la cFSM pour les sections prismatiques ramifiées et/ou présentant des contours fermés
4.1 Introduction
4.2 La méthode des bandes finies FSM
4.3 La méthode des bandes finies contrainte (cFSM)
4.4 Dérivation de la matrice 𝐑𝐆𝐃 par la méthode de Djafour modifiée
4.4.1 La matrice de rigidité élastique dans l’espace GD : 𝐊𝐄𝑮𝑫
4.4.2 La matrice de contrainte pour les DDL membranaires
4.4.3 Application de la matrice de contraintes pour les degrés de liberté membranaires à la matrice de rigidité globale 𝑲𝑬𝑮𝑫
4.4.4 Dérivation de la matrice de contrainte 𝑹𝑮𝑫
4.4.5 Commentaires
4.5 Matrice 𝐑𝐆𝐃 des sections prismatiques ramifiées et/ou ayant des contours fermés
4.5.1 Introduction
4.5.2 La matrice de contrainte pour les DDL membranaires
4.6 Décomposition des modes de flambement de l’espace 𝑮𝑫
4.7 Conclusion
Chapitre 5 Validations et applications
5.1 Introduction
5.2 La cFSM pour les sections non ramifiées
5.2.1 Calculs de la matrice de contraintes 𝐑𝐆𝐃
5.2.2 Décomposition des modes de flambement de sections creuses avec raidisseurs
5.3 La cFSM pour les sections ramifiées
5.3.1 Décomposition des modes de flambement d’une section ouverte ramifiée
5.3.2 Décomposition des modes de flambement d’une section fermée ramifiée
5.3.3 Décomposition des modes de flambement d’une section transversale avec des branches et des parties fermées
5.4 Conclusion
Conclusion
Annexes
Bibliographie
Index
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