Soutenance mémoire
La schématisation dans la résolution de problèmes en théorie
La résolution de problèmes
Qu’en disent les instructions officielles ?
Dans les programmes officiels, actualisés en 2020, il est fait mention de la résolution de problèmes dès le cycle 1 où « L’enseignant met en place dans sa classe des situations d’apprentissage variées : jeu, résolution de problèmes, entraînements, etc.» . La résolution de problèmes apparait donc dès les premières années à l’école comme un enjeu d’apprentissage.
D’après le Bulletin Officiel (BO) de l’Education Nationale de juillet 2020, « Au cycle 2, la résolution de problèmes est au centre de l’activité mathématique des élèves, développant leurs capacités à chercher, raisonner et communiquer. »
Ainsi, la résolution de problèmes initiée par le jeu au cycle 1 devient une activité fondamentale des mathématiques au cycle 2 et donc, d’autant plus en CE2, à la fin du cycle 2.
Le site Education.gouv publie, dans le BO de l’Education Nationale, un BO spécial du 26 avril 2018 signé par le Ministre de l’Education Nationale, Jean-Michel. Blanquer. Dans celui-ci, le constat est fait dès 2015, à la suite de l’enquête TIMSS, que les élèves français présentent des difficultés dans la résolution de problèmes. Cette dernière est considérée dans cet axe du BO comme essentielle à la construction de l’individu comme citoyen, comme être capable de réfléchir et de raisonner :
« Elle participe du questionnement sur le monde et de l’acquisition d’une culture scientifique, et par là contribue à la formation des citoyens. Elle est une finalité de l’enseignement des mathématiques à l’école élémentaire, mais aussi le vecteur principal d’acquisition des connaissances et des compétences visées »
Les différents types de problèmes
L’exercice dit de résolution de problèmes répond à plusieurs types de problèmes.
Qu’est-ce qu’un problème ?
Le « problème » est un terme qui peut désigner différentes choses selon le contexte. Parmi les définitions données par le Larousse, on peut en effet retenir « Question à résoudre dans un domaine quelconque […] », « Difficulté mettant dans une situation pénible, contraignante, contrariante » ou encore « Question à résoudre par un raisonnement scientifique et constituant un exercice ». Si la dernière semble davantage correspondre à la définition d’un problème mathématique, on voit apparaitre dans ces diverses définitions les notions de « question », « difficulté », « raisonnement scientifique », « exercice »…
Selon Dominique Pernoud, « Est un problème, pour un élève donné, toute situation (réelle ou imaginaire) dans laquelle des questions sont posées, ces questions étant telles que l’élève ne peut y répondre de manière immédiate. » De nouveau apparait l’idée de « question », mais aussi l’idée qu’il n’y a pas de réponse immédiate, mais qu’il faut « chercher », comme l’indiquait le terme « raisonnement ».
L’équipe Ermel également donne une définition : « Il y a problème dès qu’il y a réellement quelque chose à chercher, que ce soit au niveau des données ou du traitement et qu’il n’est pas possible de mettre en jeu la mémoire seule. » Ici encore, l’idée de recherche semble caractéristique du problème.
Ainsi défini, le problème qui correspond à toutes ces définitions peut en réalité prendre différentes formes. On peut parler de catégorisation des problèmes selon leurs fonctions, leurs types, les opérations qui sont en jeu…
Enseigner la résolution de problèmes
Le BO n°3 du 5 avril 2018 sur La résolution de problèmes à l’école élémentaire indique que l’enseignement de la résolution de problèmes s’appuie sur une nécessaire progression en terme de difficultés : « Enseigner la résolution de problèmes nécessite de concevoir une progressivité pour les problèmes proposés, en commençant par des problèmes additifs élémentaires en une étape, avant de proposer des problèmes plus complexes (multiplicatifs élémentaires) et d’augmenter progressivement le nombre d’étapes des problèmes proposés. »
Au sein de chaque catégorie, l’idée est donc d’enseigner en complexifiant peu à peu et toujours en gardant trace, comme un modèle de référence, des problèmes étudiés en classe : « Un enseignement explicite de la résolution de problèmes doit s’appuyer sur des temps spécifiques qui structurent les savoirs et compétences travaillés : des références construites avec les élèves » . Houdement, en s’appuyant sur les recherches de Jean Julo, psychologue cognitiviste, considère que plus l’élève résout des problèmes, plus il se construit une représentation de la résolution des différents problèmes et plus il peut en résoudre, en piochant dans cette mémoire de problèmes. Houdement l’explique ainsi : « L’individu se crée progressivement des « schémas de problèmes » […], structures de la représentation qui lui permettent de reconnaître un problème qui relève d’un « schéma » déjà rencontré et de s’engager rapidement dans une procédure de résolution. » Pourtant, malgré la progression établie par les enseignants et malgré les traces écrites permettant de garder en mémoire des problèmes de référence, la résolution de problèmes reste un exercice face auquel les élèves se trouvent souvent en difficulté.
Catégorisation des problèmes
Evelyne Touchard , conseillère pédagogique de l’académie de Grenoble, lors de ses recherches sur la résolution de problème en cycles 2 et 3, a établi que « selon la situation d’apprentissage, un même problème peut avoir différentes fonctions et correspondre à différents types de problèmes »
La schématisation dans la résolution de problèmes en pratique
La méthode
Afin de répondre à la problématique précédemment rappelée, et de voir l’impact de l’expérimentation menée dans cette classe de CE2, il semble nécessaire de contextual iser rapidement la situation. La présentation de l’établissement, des élèves concernés par ce travail, du matériel et des méthodes utilisés facilitera la compréhension de ce travail de recherche.
Le terrain d’étude et les participants
L’étude s’est déroulée à l’école élémentaire du 12-14 rue d’Alésia, située dans le 14 ème arrondissement de Paris. Cette école publique compte plus de 450 élèves répartis en 18 classes du CP au CM2. Le travail de recherche présenté ici a été expérimenté dans la classe de CE2 dont j’ai la charge à mi-temps avec ma binôme. C’est une classe de 29 élèves : 13 filles et 16 garçons, âgés de 7 à 9 ans. Le niveau est très hétérogène, ce qui implique une différenciation quotidienne. Certains élèves en grande difficulté sont peu aidés à la maison en ce qui concerne l’école (parents dans le conflit avec l’école, parents isolés qui travaillent beaucoup, barrière de la langue ou analphabétisme). Ces élèves ne connaissent souvent pas leurs leçons et ont généralement du mal à établir des liens entre les séances, à s’approprier une méthode de travail et à la réinvestir. Cela a pour conséquence de creuser les écarts avec les élèves plus installés dans leur scolarité, qui connaissent leurs leçons et peuvent être accompagnés à la maison. Les écarts se notent notamment en lecture compréhension et en résolution de problèmes, exercices qui demandent des compétences de compréhension.
Sur le plan scolaire, il s’agit d’une classe motivée pour apprendre, malgré les quelques écarts de conduite de certains. C’est une classe où les élèves s’investissent dans les projets proposés. La limite à cette motivation se situe souvent dans la confrontation à la difficulté.
Nombre de ces élèves sont encore assez jeunes et peu autonomes, se décourageant rapidement face à un problème. En manque de confiance, beaucoup peuvent abandonner ou chercher à regarder comment a fait le voisin plutôt que chercher par eux -mêmes. Il semble y avoir une certaine peur de l’erreur, malgré un climat qui se veut bienveillant, et donc une recherche de la bonne réponse plus que du cheminement pour la trouver.
Le déroulé et le recueil des données
Afin de répondre à la problématique soulevée, un travail en plusieurs temps s’est mis en place sur trois périodes.
Durant la première période, à la rentrée de septembre, un travail diagnostic a été fait afin d’identifier le niveau des élèves, de repérer d’éventuelles difficultés ou au contraire certaines facilités. Ce travail s’est appuyé sur deux séances de résolution de problèmes additifs et soustractifs, sans travail collectif préalable, volontairement.
La période 2 ensuite a été consacrée à un retour sur les situations additives et soustractives, mais avec l’introduction de l’outil de la modélisation en barres. Enfin, en période 3, un travail de 6 séances autour d’un type de problème particulier a été réalisé. Celui-ci a eu lieu à raison de 2 séances par semaine pendant 3 semaines, durant lesquelles un autre type de schéma a été proposé et mis à disposition des élèves pour la séquence jusqu’à l’évaluation sommative.
Ces différents temps de travail ont tous été organisés de manière à penser une progression.
Après avoir pu faire un bilan des capacités et des difficultés de chaque élève, un travail détaillé et adapté a pu être pensé. Deux séquences ont été construites, à partir de problèmes de référence pouvant servir de point d’appui pour les élèves lors des séances d’entrainement (ce problème de référence et sa résolution étant copiés sur une affiche accrochée dans la classe dans la partie des affichages de mathématiques, cf. annexe 2 page 37). Dans chacune de ces séances, le ou les problème(s) de référence ont été travaillés collectivement lors de la première séance, alternant des temps de recherche individuelle avec des temps d’échanges en collectif, dans l’idée de donner aux élèves une référence sur la façon dont il était possible de résoudre les problèmes du même type que celui étudié.
La séance d’institutionnalisation a ensuite permis de dégager des attendus communs, à savoir faire figurer uniquement le calcul en ligne et la phrase réponse dans le cahier du jour, laissant toujours la possibilité d’utiliser l’ardoise ou le cahier de brouillon pour les recherches (schéma, calculs ou autre).
Les évaluations sommatives ont été pensées sur le même modèle : il n’était attendu pour l’évaluation que le calcul en ligne et la phrase réponse, ce qui était indiqué par les deux lignes figurant sous l’énoncé du problème. Lors de ces évaluations, les élèves avaient également une feuille de brouillon sur laquelle pouvaient figurer leurs recherches ; il avait été dit clairement aux élèves que cette feuille n’avait pas vocation à être évaluée, mais pouvait servir à faire comprendre leur démarche.
Par la suite des séances d’entrainement reprenant des problèmes similaires au problème de référence ont été faites régulièrement de façon à laisser les élèves travailler de plus en plus seuls.
Période 1 : L’évaluation diagnostique
Afin de situer les élèves et de repérer les besoins, deux fiches de cinq problèmes à chaque fois ont été données à faire sur deux séances courant septembre. Ceci s’est fait avec très peu d’accompagnement, et n’avait pas pour objectif de travailler une notion en particulier, mais véritablement d’évaluer chaque élève. Cette évaluation diagnostique s’est faite en deux temps sur deux séries de problèmes (cf. annexe 3 pages 38-39), en deux jours différents pour tenir compte du temps d’adaptation dont chaque élève a eu besoin à la rentrée de septembre pour se réadapter à la recherche, au travail sur la durée, et à l’évaluation.
Période 2 : La découverte de la modélisation en barres
Les problèmes additifs ayant révélé une certaine hétérogénéité dans les niveaux, en période 2 un travail sur les problèmes additifs et soustractifs a été fait en mettant à disposition des élèves un nouvel outil : la modélisation en barres. L’objectif était de permettre à tous de progresser en s’appuyant ou non sur cet outil proposé. La séquence s’est construite autour de deux problèmes de référence, travaillés collectivement. Ces problèmes ont été proposés de façon réfléchie pour exposer les différentes situations pouvant être rencontrées par les élèves, et pour proposer chaque fois un schéma correspondant.
Période 3 : Le problème de l’autobus : un nouveau schéma
A la suite de cette séquence, un nouveau type de problème a été proposé aux élèves avec l’idée de continuer à utiliser le schéma comme outil d’aide, mais sous une forme schématique différente. Cette séquence s’est construite à partir du travail du Conseiller Pédagogique Sébastien Moisan et du Professeur de Mathématiques Marie-Claire Jollivet , en s’inspirant de leur problème de référence « l’autobus Angoulême-Montmoreau ».
La première séance de cette séquence visait à prendre le temps de détailler collectivement les différentes étapes importantes pour comprendre ce type de problème, puis les démarches à faire pour pouvoir le résoudre. Le problème qui a été proposé aux élèves en problème de référence a été légèrement modifié par rapport au travail de Moisan et Jollivet dans le but de le rendre plus concret pour les élèves, c’est-à-dire que les noms de villes ont été remplacés par des noms d’arrêt de bus faisant partie du quotidien des élèves car se situant dans le quartier de leur école.
Les résultats de l’étude
Les données recueillies lors des évaluations diagnostiques
Les évaluations diagnostiques réalisées en période 1 ont montré une certaine faiblesse en résolution de problèmes. En prenant en compte les dix problèmes sur lesquels les élèves ont chacun eu à travailler, voici ce qui en est ressorti : environ la moitié de la classe a réussi 7 exercices ou plus, et plus d’un tiers de la classe en a réussi moins de 5 (soit moins de la moitié des exercices).
Faire la distinction entre schéma et dessin
Les problèmes proposés aux élèves étaient, autant que possible, ancrés dans des situations pouvant évoquer quelque chose aux élèves afin d’en faciliter la compréhension. Mais à la fois, il semblerait que ce côté réaliste ait pu empêcher certains élèves de passer à l’abstrait, rendant leurs schémas plus proches d’un dessin. Cela a pu se noter autant durant la première séquence que durant la seconde.
Durant la séquence 1, les élèves ayant choisi de dessiner plutôt que de schématiser comme cela avait été proposé en séance 1, se sont engagés dans un travail souvent long à réaliser, parfois décourageant, et peu efficace. Les productions présentées ici visaient à résoudre le problème C (cf. annexe 5 page 40) où était recherché le nombre de livres présents dans la bibliothèque de la classe. Ce choix fait par deux élèves de dessiner ou de représenter chaque livre individuellement a mené à un travail long et source d’erreurs.
Dans cette première production, on peut reconnaitre le choix de l’élève de dessiner chaque livre, d’une part les 97 présents en début d’année, puis les 29 nouveaux achetés dans l’année.
L’élève a fait preuve d’une stratégie en dessinant les livres par lignes de 10, rendant plus facile le comptage. Toutefois, sa production s’est stoppée à cette étape, il n’a pas été jusqu’à résoudre le problème, n’a pas produit de réponse (ni de calcul en ligne ni de phrase réponse). Il semblerait que cette étape de recherche lui ait demandé beaucoup de temps et d’énergie, le déconnectant presque du but de sa recherche.
Le schéma : aide ou tâche supplémentaire ?
Ce travail de recherche a permis d’identifier des intérêts et des limites à la schématisation, mais une question supplémentaire s’est posée : cette proposition de passer par le schéma pour résoudre un problème a bien été exposée comme une aide possible, mais absolument pas comme une obligation. Or, les observations menées lors de ces séances de résolution de problèmes ont révélé le fait que certains élèves ne présentant pas de difficulté à résoudre un problème semblent avoir vécu cette proposition de schématisation comme un attendu supplémentaire.
Pour certains élèves sans difficulté dans la résolution de problème, cela s’est traduit comme un attendu supplémentaire qui a pu demander du temps mais n’a pas créé de difficulté particulière, mais pour d’autres, ce nouvel élément vu comme un attendu a pu créer de la confusion. Prenons pour exemple une des élèves de la classe, Lise, qui ne présente généralement pas de difficulté dans les apprentissages, mais qui peut manquer de confiance en elle et en son travail. Lors de ces séances, il a pu être observé, qu’elle a souhaité schématiser, mais bien souvent ses schémas étaient peu en phase avec l’énoncé. Malgré tout, le problème était correctement résolu. Comme on peut le voir sur une de ses productions présentée ci-dessous, Lise a tenté de schématiser le problème de l’autobus (problème de référence I). Outre le fait qu’elle a représenté cinq autobus, on peut remarquer « +30 », « +12 », « +6 », « +3 » et « +8 ». Or les signes devant ces nombres ne correspondent pas aux indications « personnes qui montent » ou « personnes qui descendent » : l’élève a indiqué systématiquement des « + », alors qu’à certains moments il a fallu retirer. Pourtant, dans sa résolution de problème l’élève a su noter correctement le calcul en ligne et a trouvé le bon résultat.
Discussion et conclusion
Au cours de cette année en tant que PES dans une classe de CE2, j ‘ai rencontré des collègues bienveillants et une classe dynamique dans laquelle j’ai su prendre ma place. J’ai d’abord découvert un groupe de 29 élèves avant de découvrir, peu à peu, 29 personnalités différentes. Découvrir mes élèves et rencontrer des collègues ont été l’occasion pour moi de mieux comprendre et mieux identifier les grandes difficultés que peut rencontrer un élève de primaire.
Parmi celles-ci, j’ai choisi de m’intéresser à la résolution de problèmes. J’ai découvert, auprès de mes élèves comme auprès de mes collègues, combien cet exercice pouvait être source de blocage chez certains. Pourtant j’y voyais, et j’y vois toujours, un exercice très complet de lecture, de compréhension, d’analyse, de réflexion, de recherche… intéressant et révélateur. Il me semble que pouvoir résoudre un problème mathématique c’est être en capacité de mobiliser de nombreuses compétences, mais aussi de développer des stratégies.
J’ai en effet pu observer combien la résolution de problèmes pouvait être source d’angoisse ou synonyme d’échec annoncé chez certains, et j’ai souhaité m’intéresser à ce que je voyais comme un outil pour résoudre un problème : le schéma. J’ai appris sur la schématisation, je me suis documentée jusqu’à en venir à la problématique suivante : « En quoi le recours à la schématisation peut-il aider un élève de CE2 à résoudre des problèmes mathématiques ? »
J’ai alors tenté d’apprendre à mes élèves à s’appuyer sur le schéma pour y voir plus clair dans un énoncé. Etant de ceux que le schéma peut aider, j’ai pensé qu’il était intéressant de proposer cet outil, d’en présenter certaines formes, d’encourager les élèves bloqués à y avoir recours. Ces séquences réalisées en classe ont permis d’illustrer la définition de la résolution de problèmes que donne le Ministre de l’Education Nationale, Jean-Michel Blanquer : « La résolution de problèmes, au centre de l’activité mathématique, engage les élèves à chercher, émettre des hypothèses, élaborer des stratégies, confronter des idées pour trouver un résultat. »
Ce travail m’a permis de voir évoluer mes élèves : je les ai vus apprendre à accepter la difficulté, même si cela reste difficile, apprendre à chercher, essayer. Je les ai vus commencer à élaborer des brouillons, des traces de leurs recherches et comprendre, pour certains, l’aide que cette démarche pouvait leur apporter.
En prenant du recul sur ces séquences mises en œuvre dans ma classe, je retiens l’importance de présenter le schéma comme un outil à disposition des élèves, comme quelque chose dont ils ont le droit de se saisir et non pas dont ils doivent se saisir. Je pense que cette idée a mis du temps à naitre chez mes élèves, mais a fini par faire sa place petit à petit. Je retiens également l’importance d’établir une progression claire et logique pour que les séances laissent le temps aux élèves d’intégrer, d’apprendre, de faire et re-faire afin de s’approprier une méthode et des outils.
Je pense aux différences de réussite entre la première séquence et la deuxième et cela me permet de visualiser combien la préparation des séquences est importante mais aussi comme l’entrainement régulier est indispensable. Dans notre système de binôme et d’alternance en effet, mes élèves ont résolu des problèmes régulièrement pendant trois semaines puis peu, voire pas du tout, pendant cinq semaines. Ce fonctionnement a, je pense, impacté la possibilité de progrès de certains élèves. Même si au bout des trois semaines certains commençaient à acquérir de l’aisance et à entrer dans la logique des problèmes, j’ai bien senti qu’il fallait, à chaque rentrée, reprendre les attendus d’un problème, la logique de l’énoncé, les outils à disposition…
Si je me projette dans une nouvelle classe, à la rentrée prochaine, je retiens l’importance de systématiser les apprentissages et pour cela d’être régulière dans les entrainements. Je pense également que prendre le temps, autant que possible, de travailler avec les élèves de façon différenciée, en petits groupes, est essentiel. Durant ce travail, ces petits groupes m’ont permis en premier lieu de rassurer certains élèves, en leur montrant que je ne les laissais pas seuls face à un énoncé mais que je les accompagnais dans la compréhension de celui-ci, puis que je leur donnais des outils pour le résoudre. Ces temps en petits groupes ont été importants, tant dans la relation que j’ai pu entretenir avec les élèves que dans leur relation entre eux et avec eux-mêmes. J’ai vu certains gagner en confiance, se sentir plus à l’aise pour demander de l’aide ou manifester une incompréhension, et j’en ai vu d’autres oser se lancer et se tromper.
J’espère que, même si les schémas n’ont pas toujours été la réponse, mes élèves ont pu voir les séances de problèmes comme un moment de réflexion et de tentative, et non plus comme un échec annoncé. J’ai en effet vu les limites de la schématisation, j’ai pu observer comment le schéma pouvait devenir une tâche supplémentaire, un exercice demandant du temps ou même comment l’accès au schéma était déjà une première bataille, mais je garde cette envie de faire évoluer mes élèves dans ce domaine, qui fait appel il me semble à un grand nombre de compétences.
|
Table des matières
Remerciements
Introduction
1. PARTIE 1 : La schématisation dans la résolution de problèmes en théorie
1.1. La résolution de problèmes
1.1.1. Qu’en disent les instructions officielles ?
1.1.2. Les différents types de problèmes
1.1.2.1. Qu’est-ce qu’un problème ?
1.1.2.2. Catégorisation des problèmes
1.1.3. Enseigner la résolution de problèmes
1.1.4. Les difficultés des élèves
1.2. La schématisation
1.2.1. Qu’est-ce qu’un schéma ?
1.2.2. Qu’en disent les instructions officielles ?
1.2.3. Les différents types de schémas
1.2.3.1. La représentation en « patates »
1.2.3.2. La modélisation en barres
1.2.4. Les intérêts et limites de la schématisation
2. PARTIE 2 : La schématisation dans la résolution de problèmes en pratique
2.1. La méthode
2.1.1. Le terrain d’étude et les participants
2.1.2. Le déroulé et le recueil des données
2.1.2.1. Période 1 : L’évaluation diagnostique
2.1.2.2. Période 2 : La découverte de la modélisation en barres .
2.1.2.3. Période 3 : Le problème de l’autobus : un nouveau schéma
2.2. Les résultats de l’étude
2.2.1. Les données recueillies lors des évaluations diagnostiques
2.2.2. Les données recueillies au cours des séquences 1 et 2
2.2.2.1. Accéder à l’étape du schéma
2.2.2.2. Faire la distinction entre schéma et dessin
2.2.2.3. Le schéma : aide ou tâche supplémentaire ?
2.2.3. Les résultats aux évaluations des séquences 1 et 2
3. Discussion et conclusion
4. Références bibliographiques
4.1. Ouvrage
4.2. Article dans une revue
4.3. Page sur internet
4.4. Site internet
4.5. Vidéo
5. Annexes
5.1. Annexe 1 : La catégorisation des problèmes de Vergnaud
5.2. Annexe 2 : Exemple d’affichage de classe
5.3. Annexe 3 : Fiches de problèmes des séances d’évaluation diagnostique 1 et 2
5.4. Annexe 4 : Leçon sur la résolution de problèmes
5.5. Annexe 5 : Problèmes résolus lors des séances 3 à 5 de la séquence 1
5.6. Annexe 6 : Evaluation sommative de la séquence 1
5.7. Annexe 7 : Fiche de préparation de la séance de découverte de la séquence 2
5.8. Annexe 8 : Problèmes résolus lors des séances 2 à 5 de la séquence 2
5.9. Annexe 9 : Evaluation sommative de la séquence 2
5.10. Annexe 10 : Photographies d’élèves au travail
5.11. Annexe 11 : Quelques productions d’élèves (résolution du problème K)
6. Résumé / Abstract
Télécharger le rapport complet
