Les équations de Navier-Stokes

Le travail de conception des avions utilise de plus en plus la simulation numérique pour prédire les performances et le comportement d’un avion en vol [153]. En aérodynamique, le calcul numérique de l’écoulement de l’air autour de l’avion permet de prédire les performances de l’aéronef, et ainsi guide le dessin des formes externes de l’avion. L’extraordinaire expansion des moyens informatiques a permis l’utilisation de modèles de plus en plus précis en calcul aérodynamique. Le champ d’application des méthodes se fait plus large. La description des avions est plus fine (accessoires extérieurs, supports de volets, etc). La précision des résultats est meilleure

La conception d’un avion se fait habituellement en trois phases. La première phase, dite d’avant-projet, cherche à trouver la configuration de l’avion répondant le mieux au positionnement de marché visé (rayon d’action, masse utile et nombre de passagers, longueur de piste nécessaire au décollage et à l’atterrissage, etc.). C’est durant cette phase que la définition initiale de l’avion est trouvée : nombre de réacteurs et leur placement approximatif, dimensions et formes générales de l’avion (longueur du fuselage, envergure de l’aile et du plan horizontal, surface alaire, flèche, etc), masse, quantité de carburant. Les outils de conception sont simples afin de pouvoir tester un grand nombre de configurations potentielles : méthode des doublets [91] pour l’aérodynamique, modèle de poutre pour la structure de l’aile, modèle simple des moteurs pour trouver les performances de l’avion, modèles semi-empiriques en aéroacoustique, etc .

Vient ensuite la phase de conception préliminaire, durant laquelle les formes aérodynamiques sont définies conjointement avec une première ébauche de la structure. Les performances de l’avion sont affinées par rapport à la phase d’avant-projet. Les outils de conception sont précis : des calculs NavierStokes sont menés pour connaître l’aérodynamique précise de l’avion et l’améliorer. Durant cette phase, l’optimisation automatique de forme aérodynamique est utilisée. Elle a pour but d’améliorer un critère (par exemple la traînée) sous des contraintes aérodynamique (portance minimale requise) ou de forme (volume de l’aile, envergure, etc.) par modification de variables dites géométriques décrivant la forme de l’avion. Comme la configuration initiale n’est pas loin de l’optimum (en d’autres termes, il ne s’agit pas ici d’exploration de concepts), l’optimisation est réalisée par une méthode utilisant des gradients. Le calcul des gradients de la fonction coût par rapport aux variables géométriques peut se faire par différences finies, mais il est bien plus efficace de le calculer directement en utilisant les équations de Navier-Stokes linéarisées, comme par exemple, par une méthode adjointe. Des premiers calculs aéroacoustiques sont réalisés durant cette phase, pour que les éventuelles contraintes de niveau de bruit soient prises en compte, afin d’influer la forme de l’avion ou d’anticiper des besoins de traitements acoustiques du moteur. Des calculs de propagation de bruit de réacteur sont effectués afin de prévoir l’empreinte sonore d’un avion à partir de données fournies par le motoriste sur le réacteur seul. Les équations de l’acoustique sont celles d’Euler linéarisées, et on peut donc utiliser le solveur Navier-Stokes linéarisé pour les résoudre.

Optimisation de forme aérodynamique

L’optimisation de forme est utilisée lors de la phase de conception préliminaire, pour aider l’ingénieur aérodynamicien à concevoir les formes de l’avion. L’optimisation automatique de forme aérodynamique permet de minimiser une fonction coût sous contraintes, en jouant sur des variables géométriques qui paramétrisent la forme. La fonction coût est issue des données aérodynamiques. C’est typiquement la traînée de l’avion, ou un écart à une répartition de pression objectif. Les contraintes peuvent être d’ordre aérodynamique (respecter une portance minimale) ou concernant la forme (envergure maximale de l’aile, épaisseur ou volume minimal). On appelle observation le calcul d’une quantité (comme la portance) sur le champ aérodynamique, qui entre en compte dans la formulation de la fonction coût ou d’une contrainte. Enfin, l’optimisation automatique de forme nécessite une méthode de déformation de la surface. Dassault Aviation, comme d’autres [6], a fait le choix de paramétrer la forme aérodynamique.

La minimisation de la fonction coût se fait à l’aide d’une méthode utilisant un gradient. Cela demande le calcul des dérivées partielles des observations aérodynamiques par rapport aux variables géométriques. Il faut donc connaître les dérivées partielles du champ aérodynamique par rapport aux variables géométriques. Deux méthodes existent pour calculer ces dérivées. La méthode directe calcule pour chaque variation de variable géométrique la variation de toutes les observations. La méthode adjointe, issue de la théorie du contrôle optimal [99, 114, 126] utilise un système adjoint associé à une observation pour obtenir en un seul calcul toutes les variations de variables géométriques. La méthode directe est plus efficace lorsqu’il y plus d’observations que de variables, et la méthode adjointe est plus intéressante lorsqu’il y plus de variables que d’observations. Pour plus de détails, on pourra consulter [4, 37, 42].

Le gradient des équations de la mécanique des fluides peut s’obtenir de deux façons. Soit les équations sont linéarisées analytiquement et résolues à l’aide de schéma ad hoc, soit le schéma numérique de résolution des équations non-linéaires est linéarisé par différenciation automatique (la section 2.3.2 traite spécifiquement cette notion). La première méthode, qui est utilisée dans [86, 126, 147], est appelée gradient continu. La deuxième [6] est dénommée gradient discret. Ces deux techniques ont chacune leurs avantages et leurs inconvénients. Sans volonté d’exhaustivité, la méthode du gradient continu permet une analyse théorique du schéma, mais la définition des conditions aux limites est technique. A contrario, la méthode du gradient discret ne demande pas de travail théorique important pour les conditions aux limites, mais rend délicate l’analyse du schéma. Par exemple, le gradient de la stabilisation du schéma non-linéaire doit être inclus dans le linéarisé. L’analyse théorique de ce terme est compliquée (sur son impact pratique, on pourra consulter les résultats de la section 5.2.3). Enfin, on notera que l’utilisation du gradient discret permet toujours de diminuer la fonction coût sur le maillage choisi, tandis que la méthode du gradient continu ne garantit cette diminution que dans la limite d’une discrétisation infiniment fine.

Aeroélasticité 

Le flottement (flutter en anglais) est un phénomène aéroélastique, c’està-dire de couplage entre le fluide et la structure de l’avion. Il correspond à un transfert d’énergie du fluide vers la structure. Si ce transfert d’énergie est supérieur à l’amortissement des modes structuraux, ceux-ci deviennent auto-entretenus et leur amplitude augmente, parfois jusqu’à destruction de l’aéronef. La vitesse de l’avion influe sur la quantité d’énergie que le fluide apporte aux modes structuraux. Afin d’éviter de devoir coupler les calculs de mécanique des fluides et de structure, les forces aérodynamiques générées par chaque mode sont calculées séparément, avant d’être recombinées par la méthode p-k [85], que l’on trouvera également décrite dans [51]. Les calculs sont effectués sur des modes de structure.

Le rapport de stage ou le pfe est un document d’analyse, de synthèse et d’évaluation de votre apprentissage, c’est pour cela rapport-gratuit.com propose le téléchargement des modèles complet de projet de fin d’étude, rapport de stage, mémoire, pfe, thèse, pour connaître la méthodologie à avoir et savoir comment construire les parties d’un projet de fin d’étude.

Table des matières

1 Introduction
1.1 Applications
1.1.1 Optimisation de forme aérodynamique
1.1.2 Aeroélasticité
1.1.3 Aéroacoustique
1.2 État de l’art
1.3 Résumé des travaux
1.3.1 Solveur linéaire parallèle
1.3.2 Schéma de discrétisation
1.4 Publications et communications
2 Le code Aether
2.1 Les équations de Navier-Stokes
2.1.1 Les équations de Navier-Stokes sous forme conservative
2.1.2 Variables entropiques et symétrisation
2.2 Éléments finis et stabilisation
2.2.1 Rappels sur les éléments finis
2.2.2 Stabilisation des éléments finis
2.3 Les équations de Navier-Stokes linéarisées
2.3.1 Notation matricielle
2.3.2 Différenciation automatique
2.4 Parallélisation
I Solveur linéaire parallèle
3 Le solveur GMRES
3.1 Solveur itératif ou solveur direct ?
3.2 GMRES
3.2.1 Description de l’algorithme
3.2.2 Parallélisation
3.2.3 Préconditionnement
3.2.4 Amélioration des redémarrages par la déflation
3.3 La méthode Block-GMRES
3.3.1 Intérêts attendus
3.3.2 Description
3.3.3 Déflation des valeurs propres
3.3.4 Résultats
3.3.5 La déflation des seconds membres
3.4 Conclusion
4 Préconditionnement
4.1 Introduction
4.2 Les préconditionneurs existant dans AeTher
4.2.1 Préconditionnement bloc diagonal
4.2.2 block-SOR
4.2.3 ILU(0)
4.3 Parallélisation du préconditionnement
4.3.1 Schwarz additif
4.3.2 Conditions de Schwarz optimisées
4.3.3 Méthodes de sous-structuration
4.4 Déflation d’espace grossier
4.4.1 Les limites du préconditionnement Schwarz additif
4.4.2 Déflation de vecteurs
4.4.3 Espace de Nicolaides
4.4.4 Extensions
4.5 Préconditionnement ILU(k)
4.5.1 Remplissage de l’ILU
4.5.2 Résultats
4.6 Conclusion
II Schéma de discrétisation
5 Stabilisation
5.1 Forme de la matrice de stabilisation
5.1.1 Stabilisation d’une équation d’advection 1D
5.1.2 Stabilisation d’un système d’équations d’advection 1D
5.1.3 Cas multidimensionnel
5.1.4 Variables entropiques
5.1.5 Calcul pratique de la matrice de stabilisation
5.2 Nouvelle matrice de stabilisation
5.2.1 Calcul de la matrice de stabilisation complète
5.2.2 Navier-Stokes non-linéaire
5.2.3 Résultats en aéroélasticité sur la maquette DTP
5.2.4 Résultats en linéarisé basse vitesse
5.2.5 Résultats en aéroacoustique
5.3 Conclusion
6 Conclusion

Rapport PFE, mémoire et thèse PDFTélécharger le rapport complet

Télécharger aussi :

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée.