Soutenance mémoire
La lumière est un des principaux messagers utilisés par l’homme pour recueillir de l’information sur son environnement. Après avoir intéragi avec un objet, la lumière porte en effet une empreinte de cette interaction qu’il est possible de décoder pour en déduire certaines propriétés de l’objet. La lecture de cette information peut se faire de la façon la plus classique grâce à l’oeil qui nous permet de caractériser l’intensité, la direction ou la distribution spectrale moyenne de la lumière. L’information convoyée par la lumière est cependant encore beaucoup plus riche que ce qu’est capable de décoder l’oeil : la polarisation, la phase, le spectre, sont des grandeurs qui ne sont pas mesurées par l’oeil où seulement en partie et qui sont également riches d’informations. De plus le traitement que nous faisons de ces informations est souvent limité aux échelles (au niveau de l’objet) supérieures ou de l’ordre de la longueur d’onde. La lumière porte cependant également des informations caractéristiques des dimensions inférieures, mais pour pouvoir les décoder, il faut d’une part maîtriser précisément les conditions de la mesure et d’autre part recourir à une modélisation électromagnétique rigoureuse de l’interaction. Dans le cas où la structure est relativement simple ou ordonnée et que l’on s’intéresse au lien déterministe qui existe entre elle et la lumière résultante, on appelle généralement l’interaction la diffraction de la lumière. Dans le cas où la structure est complexe ou désordonnée d’un certain point de vue et que l’on s’intéresse plus à une caractérisation statistique que déterministe, l’interaction est appelée diffusion de la lumière.
La méthode différentielle est une technique qui est, et a été, largement utilisée pour le calcul de la diffraction par un réseau. Cette technique, apparue à la fin des années 1960 [13, 14], a connue de nombreuses évolutions depuis son origine et fait aujourd’hui partie des techniques de référence pour le calcul de la diffraction. En se basant sur l’analogie entre les séries de Fourier d’une structure périodique et la transformation de Fourier d’une structure quelconque, il est possible d’étendre la méthode différentielle à des structures non périodiques [15, 16]. Par rapport à d’autres méthodes de calcul de la diffraction, la méthode différentielle a l’avantage de pouvoir traiter des structures complexes, constituées de différents matériaux dans des formes arbitraires. Elle est pour cette raison utilisée pour la reconstruction en métrologie de la microélectronique . Elle se prête également au calcul de la diffusion par des structures arbitraires (surface rugueuse, matériau inhomogène en volume, etc.), dans le cas non périodique.
Les équations de Maxwell
Les grandes lois de l’électromagnétisme classique sur lesquelles s’appuie l’essentiel du travail présenté ici, ont été découvertes principalement au cours des XVIIIe et XIXe siècles , puis synthétisées et finalisées par Maxwell à la fin du XIXe .
Equations de Maxwell en régime transitoire
Dans leur formulation actuelle, les équations de Maxwell dans un milieu matériel, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, font intervenir quatre grandeurs vectorielles, les champs électrique E, magnétique B, déplacement D et induction H qui s’écrivent en unités SI,
div D = ρ
rot E = −∂B/∂t
div B = 0
rot H = j + ∂D/∂t’
où ρ désigne la densité volumique de charge électrique et j le vecteur densité de courant électrique.
Formulation stable et efficace des algorithmes et validation
La formulation de la méthode différentielle présentée dans le chapitre précédent donne des résultats satisfaisants dans certains cas mais présente plusieurs limitations fondamentales. La première limitation est que les résultats deviennent faux à partir d’une certaine épaisseur (typiquement de l’ordre de λ/5), bien qu’aucune hypothèse n’ai été faite à ce niveau pour l’obtention des équations. Il s’agit en fait d’un problème numérique qui fut compris et réglé au cours des années 1990 et dont nous présentons une solution : l’algorithme des matrices S [26]. La deuxième limitation concerne la lente convergence des résultats en polarisation TM, en particulier pour les structures métalliques. Une solution à ce problème fut trouvée au cours des années 1990 et 2000 [27, 28, 3, 6] grâce à une reformulation des équations tenant compte d’une écriture adaptée des produits de convolution en fonction de la continuité des fonctions. Enfin une troisième limitation est la durée importante des calculs par rapport à d’autres méthodes, telles que la méthode intégrale ou la méthode RCWA. Pour résoudre ce problème, nous proposons un algorithme matriciel d’intégration, remplaçant la méthode de tir et permettant typiquement de gagner plusieurs ordre de grandeur en vitesse de calcul. Une fois ces améliorations inclues dans notre code, nous présentons sa validation en le confrontant aux lois de la physique (conservation de l’énergie), de l’électromagnétisme (théorème de réciprocité) ainsi qu’à des calculs issus d’autres méthodes électromagnétiques.
Algorithme des matrices S
Illustration de l’instabilité numérique
Une condition nécessaire à la justesse du calcul est la conservation de l’énergie totale, ce qui se traduit pour une structure diélectrique (transparente), par un rapport entre l’énergie totale du champ diffracté et l’énergie du champ incident égal à 1. Or on constate, qu’avec la formulation donnée au chapitre précédent, la conservation de l’énergie n’est plus respectée à partir d’une certaine épaisseur. La figure 2.1 illustre ce phénomène en montrant la conservation de l’énergie, calculée dans le cas d’un réseau, en fonction de son épaisseur. Pour une épaisseur de l’ordre de λ/10 l’erreur sur le bilan d’énergie est inférieure à 10−14. Cette erreur augmente ensuite très rapidement avec l’épaisseur et atteint une valeur supérieure à 100% pour une épaisseur de l’ordre de la longueur d’onde. L’origine de cette instabilité est généralement attribuée à la présence de termes en exp(−iβz) dans la matrice TA [25, 26]. En effet, β possédant une partie imaginaire non nulle, pour les composantes évanescentes dans le cas d’un matériau diélectrique ou pour l’ensemble des composantes dans le cas d’un matériau métallique ou absorbant, l’exponentielle croît rapidement avec z . A partir d’une certaine épaisseur, la matrice TA comporte des valeurs dont les ordres de grandeurs sont très différents entre eux, ce qui conduit à une faible précision numérique lors de son inversion, intervenant pour le calcul de l’intensité. La solution consiste à fragmenter le calcul en tranches suffisamment faibles, en veillant à utiliser un algorithme qui ne propage pas les contaminations numériques d’une tranche à l’autre.
Matrices T
On décompose la structure qui nous intéresse en plusieurs sous-couches, selon un découpage perpendiculaire à (Oz). Comme dans la plupart des cas ce découpage est réalisé pour des raisons numériques, il ne correspond pas nécessairement à quelque chose de particulier dans la structure réelle . A l’interface entre chaque sous-couche on considère une couche infiniment fine d’un matériau homogène (par exemple de l’air), ce qui permet d’avoir une valeur déterminée pour l’indice de réfraction, ceci étant nécessaire pour passer d’une description (champ total ; dérivée du champ total) à une description (composante progressive ; composante rétrograde).
Dans l’algorithme des matrices S, les matrices T11 responsables de l’instabilité numérique sont inversées à chaque itération , ce qui évite la propagation des termes divergents, et permet la stabilité globale de l’algorithme du moment que les tranches sont suffisamment fines. Pour la méthode différentielle, la durée du calcul est peu influencée par le nombre de matrices T utilisées dans le découpage , il est donc peu gênant d’en prendre un nombre supérieur à ce que l’on estime nécessaire si l’on souhaite éviter de faire des tests de convergence sur ce paramètre. C’est différent dans le cas de la méthode RCWA où la durée du calcul est directement proportionnelle aux nombre de matrices utilisées dans le découpage.
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Table des matières
Introduction
1 Méthode différentielle classique
1 Les équations de Maxwell
1.1 Equations de Maxwell en régime transitoire
1.2 Equations de Maxwell en régime harmonique
1.3 Equations de Maxwell en régime harmonique pour des milieux linéaires, isotropes, non magnétiques, en l’absence de charge et de courant électriques
2 Définition du problème
2.1 Structure et conditions d’éclairement
2.2 Découplage en TE et TM
2.3 Forme générale des champs en dehors de la zone modulée
3 Méthode différentielle classique en polarisation TE
3.1 Equations du champ à l’intérieur de la zone modulée
3.2 Champ en dehors de la zone modulée
3.3 Existence d’une relation linéaire entre les solutions aux extrémités de la zone modulée
3.4 Résolution des équations par méthode de tir
4 Méthode différentielle classique en polarisation TM
4.1 Equations du champ
4.2 Champ en dehors de la zone modulée
4.3 Méthode de tir cas TM
5 Distinction entre structures périodiques et non périodiques
5.1 Obtention du cas périodique à partir du cas général
5.2 Périodisation d’une structure non périodique par discrétisation dans l’espace de Fourier
6 Expression de l’intensité diffractée
6.1 Cas général, structures non périodiques
6.2 Cas des structures périodiques
6.3 Cas d’une pseudo périodicité
2 Formulation stable et efficace des algorithmes et validation
1 Algorithme des matrices S
1.1 Illustration de l’instabilité numérique
1.2 Matrices T
1.3 Matrices S
1.4 Stabilité numérique de l’algorithme des matrices S
2 Factorisation des séries de Fourier
2.1 Règles de factorisation de L. Li
2.2 Réécriture des équations en polarisation TM
2.3 Cas particulier d’une structure invariante selon (Oz) (méthode RCWA)
3 Algorithme d’intégration matriciel
3.1 Principe de l’algorithme Runge et Kutta d’ordre 4 classique
3.2 Algorithme d’intégration matriciel basé sur Runge et Kutta
3.3 Optimisation de l’algorithme
4 Validation
4.1 Conservation de l’énergie
4.2 Théorème de réciprocité
4.3 Comparaison avec d’autres méthodes numériques
4.4 Influence des paramètres numériques
4.5 Cas de la méthode RCWA appliquée à des profils arbitraires
3 Méthode différentielle conique
1 Définition du problème
1.1 Dépendance en y du champ
1.2 Expression du champ incident
2 Equations différentielles du champ
2.1 Ecriture de la relation de dispersion
2.2 Ecriture des équations des champs sous forme intégrable
2.3 Résolution des équations
2.4 Cas particulier d’une structure invariante selon (Oz)
3 Expression de l’intensité diffractée
4 Validation
4 Méthode différentielle tridimensionelle
1 Définition du problème
1.1 Structure et conditions d’éclairement
1.2 Espace de Fourier à 2 dimensions : définitions et notations
2 Equations du champ dans le cas d’une structure de forme quelconque
2.1 Relation de dispersion
2.2 Détermination du vecteur N
2.3 Expression du système d’équations différentielles
3 Equations du champ dans le cas d’une structure invariante selon (Oz)
4 Résolution des équations et expression de l’intensité
5 Tests et validation
5.1 Durée du calcul
5.2 Structures diélectriques
5.3 Structures métalliques
5.4 Structures invariantes selon (Oz)
Conclusion
