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LES DIFFERENTES METHODES DE MODELISATION DE LA RECRISTALLISATION ET DE LA CROISSANCE DE GRAINS
L’approche originelle : modèle analytique Johnson-Mehl-AvramiKolmogorov (JMAK)
La première approche utilisée pour décrire et quantifier les phénomènes basés sur le processus de germination/croissance a été développée à la fin des années 1930 (W. A. Johnson & Mehl 1939; Avrami 1939; Kolmogorov 1937). Ce modèle analytique et plutôt phénoménologique est connu sous le nom de modèle de Johnson-Mehl-Avrami-Kolmogorov (JMAK). Il est largement développé dans la littérature et notamment dans (Humphreys & Hatherly 2004).
Les approches probabilistes
L’effort d’amélioration des modèles de recristallisation et de croissance de grains a principalement été porté sur la prise en compte des hétérogénéités de la microstructure. Ainsi, des méthodes décrivant la microstructure en 2D comme en 3D se sont développées (A D Rollett 1997). Les méthodes probabilistes de type Monte Carlo et Automate Cellulaire se basent sur une description (2D ou 3D) de la microstructure en grille régulière. Cette grille est composée de domaines géométriques d’orientation cristallographique donnée appelés « cellules ». Deux cellules sont considérées comme étant dans le même grain si leur désorientation ne dépasse pas la valeur seuil définie pour les joints de grains (A D Rollett 1997). Ainsi, un grain est décrit par un ensemble de cellules.
LA METHODE MONTE CARLO
Cette méthode a été appliquée dans un grand nombre d’études pour modéliser la recristallisation et la croissance de grains depuis leur développement dans les années 1980 (Srolovitz et al. 1983; Srolovitz et al. 1986; Srolovitz et al. 1988) jusqu’à plus récemment (Ivasishin et al. 2006; Chun et al. 2006; Montano-Zuniga et al. 2010). Chaque cellule de la grille régulière discrétisant la microstructure va évoluer à chaque pas de la simulation (Monte Carlo Step, MCS) suivant des règles probabilistes basées sur une minimisation de l’énergie de la cellule par rapport à son environnement (A D Rollett 1997). Les évolutions topologiques sont ainsi bien captées par le fait que les interfaces sont représentées par les faces des cellules. La représentation en grille régulière ainsi que l’application de règles simples à chaque pas de simulation, rend les méthodes de type Monte Carlo efficaces en termes de temps de calcul. Cependant, dans un souci de représentativité statistique, un nombre important de simulations doit être réalisé afin de compenser la nature probabiliste de la méthode Monte Carlo.
Dans ce type de méthode, la germination en « sites saturés » peut simplement être réalisée en introduisant dans la microstructure initiale un certain nombre de germes aléatoirement distribués (A D Rollett 1997). La germination continue est simulée en introduisant des germes à intervalles de temps réguliers. La germination peut également être localisée au niveau des joints de grains et ainsi prendre en compte les hétérogénéités d’énergie stockée dans la microstructure déformée (Ivasishin et al. 2006). Dans des développements plus récents (Montano-Zuniga et al. 2010; Holm et al. 2003), la germination est modélisée par une croissance anormale de sous grains. La méthode Monte Carlo présente deux principaux inconvénients. Le premier est lié au fait que l’évolution microstructurale se fait en fonction d’un pas de simulation (MCS). Il n’y a donc pas d’échelle de temps, ce qui rend difficile la comparaison avec les données expérimentales (A D Rollett 1997). Deuxièmement, les approches standard de type Monte Carlo ne permettent pas de rendre compte du caractère linéaire de la relation entre la vitesse de migration des joints de grains et la force motrice dans le cas de la recristallisation. Cette relation linéaire est uniquement vérifiée lors des simulations de croissance de grains (Ivasishin et al. 2006).
LA METHODE DE L’AUTOMATE CELLULAIRE
La méthode de l’automate cellulaire est également une méthode probabiliste mais elle s’appuie cette fois sur des règles représentant physiquement le phénomène considéré pour faire évoluer l’état des cellules représentant la microstructure (Raabe 1999). Le front de recristallisation est considéré comme irréversible et induit donc qu’une cellule non recristallisée va changer d’état si elle possède au moins une des cellules voisines dans l’état recristallisé. L’automate cellulaire est donc très efficace pour décrire l’évolution de la fraction recristallisée. Cependant, par cette méthode standard il n’est pas possible de prendre en compte la force motrice de migration des joints de grains due à leur courbure et à leur énergie (Anthony D Rollett & Raabe 2001). Des méthodes améliorées essaient cependant de prendre en compte cet effet de la courbure (Kugler & Turk 2006; Raghavan & Sahay 2009) et peuvent ainsi simuler en plus de la recristallisation, la croissance de grains. Dans les méthodes de l’automate cellulaire standard, la germination est déclenchée au début de la simulation (sites saturés). Un certain nombre de cellules, distribuées aléatoirement, sont déclarées comme recristallisées (A D Rollett 1997). Des évolutions de la méthode permettent de simuler la germination continue et de la localiser au niveau des joints de grains (Kugler & Turk 2006; Goetz & Seetharaman 1998). De même que pour la méthode Monte Carlo, une seule simulation en automate cellulaire ne suffit pas à obtenir un résultat statistiquement représentatif. Des améliorations notables ont été réalisées sur les méthodes Monte Carlo et de l’automate cellulaire afin de représenter tous les phénomènes ayant lieu pendant un traitement thermique. Une des voies d’amélioration étant même de combiner les deux méthodes pour en atténuer leurs inconvénients (Anthony D Rollett & Raabe 2001).
Les méthodes basées sur un maillage de la microstructure
La dernière grande famille de méthodes de modélisation de la recristallisation statique et de la croissance de grains repose sur une description de la microstructure par un maillage.
LA METHODE DES VERTEX
Dans les méthodes dites « Vertex », les interfaces entre grains sont décrites par des nœuds placés aux points triples en 2D ou aux points quadruples en 3D et sur les joints de grains entre ces points (figure 1-1). L’idée de la méthode est de suivre les évolutions microstructurales par le suivi des mouvements de ces interfaces (Miodownik 2002; Le et al. 1999). Ces modèles permettent surtout de représenter la croissance de grains en 2D et 3D (Maurice & Humphreys 1998; Le et al. 1999; Weygand et al. 2001). Les méthodes Vertex ont ensuite été étendues à la modélisation de la recristallisation statique discontinue (Piękoś et al. 2008). Ces méthodes posent énormément de soucis lorsqu’il s’agit de gérer des événements topologiques tels que l’apparition ou la disparition d’un grain. La gestion des nœuds s’avère être un problème gérable en 2D mais très compliqué en 3D (Weygand et al. 2001; Syha & Weygand 2010).
MÉTHODES À CHAMP DE PHASE & LEVEL-SET
Les deux dernières méthodes présentées ici sont également utilisées pour modéliser la recristallisation statique discontinue et la croissance de grains (Zhao et al. 1996; Fan & L. Q. Chen 1997; Bernacki et al. 2009; Bernacki et al. 2011). Elles ont pour point commun de décrire la microstructure de manière implicite et de définir les interfaces par des fonctions. Dans la méthode à champ de phase, chaque grain est décrit par un champ de densité d’énergie libre et chaque joint de grains est décrit par une interface diffuse entre ces champs dans laquelle une fonction va varier entre 0 et 1 pour réaliser la transition entre chaque grain (Fan & L. Q. Chen 1997). Le joint de grains à proprement parler est défini comme une isovaleur de cette fonction de transition. La migration des joints de grains est pilotée simplement par la différence de densité d’énergie libre de part et d’autre du joint de grains (Miodownik 2002) et les évènements topologiques sont traités de manière naturelle par minimisation d’énergie (Miodownik 2002; Bernacki et al. 2009). La résolution des équations se fait en discrétisant à la fois l’espace (maillage) et le temps. Une des difficultés de cette méthode réside dans la bonne description des densités d’énergie libre afin qu’elles soient représentatives de la réalité physique du problème posé. De plus, cette méthode est pour l’instant très coûteuse en temps de calcul et a donc été peu développée en 3D (Moelans et al. 2009). Enfin, la modélisation de la germination reste difficile à mettre en place malgré des tentatives récentes (Takaki & Tomita 2010).
De son côté, la méthode Level-Set se base sur un maillage éléments finis (figure 12)
(Bernacki et al. 2009). En chaque nœud du maillage sont stockées des variables d’état permettant de décrire la microstructure en termes d’orientation cristallographique, d’énergie stockée, etc. Les interfaces sont définies par une fonction distance par rapport au joint de grains (Zhao et al. 1996). Un joint de grains correspond à une valeur nulle de cette fonction distance. Cette méthode a été employée afin de modéliser la recristallisation primaire en 2D et en 3D (Bernacki et al. 2009) avec différents types de germination en fonction du cas que l’on souhaite étudier. Le problème de la croissance de grains a été traité plus tard (Bernacki et al. 2011), permettant ainsi de modéliser entièrement les étapes successives de recristallisation et croissance de grains ayant lieu pendant un traitement thermique. Un des points demandant beaucoup d’attention dans ce type de méthodes est la réinitialisation des fonctions distance. Elle permet aujourd’hui, couplée à la méthode éléments finis de modéliser la recristallisation statique discontinue et la croissance de grains à l’échelle du grain. Elle permet aussi d’envisager la possibilité de déterminer l’état déformé à partir d’une simulation en plasticité cristalline et ainsi de coupler simulation de la déformation et simulation du traitement thermique (R E Logé et al. 2008).
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Table des matières
INTRODUCTION GENERALE
Contexte
I. Matériau d’étude : le tantale en tôle épaisse
II. Les évolutions microstructurales au cours d’un traitement thermique
1. Restauration statique
2. Recristallisation statique discontinue
3. Croissance de grains
III. Objectifs de l’étude
IV. Démarche
PREMIERE PARTIE. MODELISATION EN CHAMP MOYEN DES EVOLUTIONS MICROSTRUCTURALES AU COURS D’UN TRAITEMENT THERMIQUE
Introduction
I. Les différentes méthodes de modélisation de la recristallisation et de la croissance de grains
1. L’approche originelle : modèle analytique Johnson-Mehl-Avrami-Kolmogorov (JMAK)
2. Les approches probabilistes
a. La méthode Monte Carlo
b. La méthode de l’automate cellulaire
3. Les méthodes basées sur un maillage de la microstructure
a. La méthode des vertex
b. Méthodes à Champ de phase & Level-Set
4. Résumé
II. Principe de la modélisation en champ moyen à deux milieux homogènes équivalents
1. Description de la microstructure initiale
a. Distribution de taille de grains 3D
b. Distribution de densités de dislocations
c. Construction de la microstructure représentative 3D
2. Représentation des deux milieux homogènes équivalents
3. Les équations d’évolution de base
a. Migration des joints de grains
b. Restauration
c. Germination
d. Interaction avec les milieux homogènes équivalents
4. Implémentation numérique du modèle en champ moyen en conditions anisothermes
a. Gestion du pas de temps
b. Algorithme
5. Récapitulatif et méthodes de détermination des paramètres du modèle
a. Densité de dislocations de l’état initial
b. Mobilité des joints de grains
c. Densité de dislocations critique
Synthèse
DEUXIEME PARTIE. LOI DE COMPORTEMENT DU TANTALE PUR ET DESCRIPTION DE L’ETAT DEFORME
Introduction
I. Loi de comportement du tantale pur basée sur une densité de dislocations
1. Le comportement plastique du tantale pur
a. Contrainte d’écoulement à la transition élasto-plastique
b. Ecrouissage du tantale
2. Modélisation du comportement basée sur une densité de dislocations
a. Description du modèle
b. Détermination des paramètres du modèle
II. Evaluation de la densité de dislocations équivalente par mesure de microdureté Vickers
1. La microdureté Vickers du tantale pur recristallisé
a. Calcul de la dureté
b. Cinématique de l’essai de dureté
c. Nomenclature
d. Influence du temps de maintien sur la microdureté du tantale pur recristallisé
2. Détermination de la relation dureté Vickers-densité de dislocations équivalente
III. Description des microstructures de déformation dans le tantale
1. Anisotropie de comportement plastique
2. Hétérogénéités des microstructures intragranulaires
3. Evolution de la microstructure aux grandes déformations
Synthèse
TROISIEME PARTIE. CARACTERISATION DE LA RECRISTALLISATION STATIQUE ET DE LA CROISSANCE DE GRAINS DANS LE TANTALE PUR
Introduction
I. La restauration, la recristallisation statique et la croissance de grains du tantale dans la littérature
1. Restauration statique
2. Recristallisation statique discontinue
a. Influence des paramètres thermomécaniques du procédé
b. La recristallisation à l’échelle granulaire
c. Texture de recristallisation
3. Croissance de grains
4. Bilan
II. Etude de la recristallisation du tantale et identification d’une loi de restauration
1. Identification des paramètres de la loi de restauration du tantale
2. Observation et caractérisation de la recristallisation statique : traitements thermiques in situ couplés à la technique EBSD
a. Dispositif et procédure expérimentale
b. Analyse des microstructures de recuit par EBSD
c. Germination
d. Croissance des grains recristallisés dans le matériau déformé
e. Croissance de grains après la recristallisation
f. Estimation de la mobilité des joints de grains à 750°C
g. Observation de la recristallisation : surface vs volume
3. Déclenchement de la recristallisation et densité de dislocations équivalente critique
a. Caractérisation du gradient de densité de dislocations après déformation
b. Détermination de la courbe de densité de dislocations critique
4. Cinétiques de recristallisation du tantale pur et croissance de grains
a. Cinétique de recristallisation de référence à 1000°C
b. Influence de la température de recuit
c. Influence de la densité de dislocations initiale
d. Effet de la quantité de déformation
Synthèse
QUATRIEME PARTIE. MODELISATION DES EVOLUTIONS MICROSTRUCTURALES DU TANTALE AU COURS D’UN TRAITEMENT THERMIQUE
Introduction
I. Description des microstructures initiales
1. Microstructure initiale pour la croissance de grains
2. Microstructures initiales pour la recristallisation
a. Distribution de densités de dislocations
b. Distribution de tailles de grains
II. Simulation de traitements thermiques
1. Etude paramétrique du modèle de recristallisation
2. Identification des paramètres du modèle de recristallisation sur une microstructure proche des hypothèses de la modélisation
a. Identification de la mobilité aux faibles vitesses de migration a 1000°C
b. Identification des autres paramètres à 1000°C
c. Effet de la température sur les paramètres du modèle – Identification à 1100°C
3. Réponse du modèle au type de microstructure initiale
a. Simulation d’un traitement thermique à 1000°C sur la microstructure 3
b. Simulation d’un traitement thermique à 1000°C sur la microstructure 2
III. Perspective d’amélioration de l’identification des paramètres et du modèle
1. Amélioration de l’identification des paramètres du modèle
2. Enrichissement de la base de données expérimentale
3. Perspectives d’amélioration du modèle de recristallisation statique
Synthèse
CONCLUSION
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