Les champs aléaotoires à longue mémoire

Revue des travaux préexistants

   Les travaux existants sur les champs aléatoires à longue mémoire sont de deux types. On trouve d’une part des travaux de modélisation des champs fortement dépendants contenant parfois des procédures d’estimation, et d’autre part, lorsque la longue mémoire est isotrope, des recherches plus théoriques sur les outils de base de la statistique asymptotique comme les sommes partielles ou le processus empirique. Certains modèles de champs à longue mémoire ont été introduits en dimension d = 2 afin de modéliser des textures d’image. Ils reposent sur des filtrages fractionnaires de bruit blanc, généralisation à la dimension d = 2 des représentations FARIMA pour les séries temporelles (nous revenons sur le filtrage fractionnaire dans le chapitre 2). Les travaux dans ce domaine sont dûs à Kashyap et Lapsa (1984), Kashyap et Eom (1989), Bennett et Khotanzad (1998) et Eom (2001). Les modèles proposés par ces auteurs conduisent à des champs à longue mémoire isotrope ou à longue mémoire de type produit (c’est à dire que la fonction de covariance s’écrit r(h1, h2) = r1(h1)r2(h2) où (r1(h)) et/ou (r2(h)) sont des suites non-sommables). Les articles de Bennett et Khotanzad (1998) et Eom (2001) proposent, de façon heurisitique, une méthode algorithmique d’identification des paramètres des modèles qu’ils présentent. Dans le cas de champs à longue mémoire de type produit, Kashyap et Lapsa (1984) et Kashyap et Eom (1989) proposent un estimateur des paramètres du modèle basé sur le log-périodogramme, comme cela se rencontre en dimension d = 1. Par ailleurs, Sethuraman et Basawa (1995) étudient eux-aussi un modèle, en dimension d = 2, conduisant à un champ à longue mémoire de type produit. La forte dépendance du champ résultant n’a en fait lieu que dans une direction et ils montrent la consistance de l’estimateur par maximum de vraisemblance des paramètres de leur modèle. Enfin, dans Anh et Lunney (1995), les auteurs disposent d’une photo d’écorce d’un arbre qu’ils modélisent par un champ à longue mémoire isotrope. Ils supposent plus précisement que la densité spectrale du champ sous jacent s’écrit f(λ) = c|λ| α où α < 0. Ils montrent, sous cette hypothèse, la consistance de l’estimateur de Whittle de la densité spectrale et ils estiment par cette méthode les paramètres de leur modèle. D’autres travaux concernent les outils de la statistique asymptotique lorsque le champ aléatoire est à longue mémoire isotrope. Il s’agit, pour l’étude des sommes partielles, des articles de Dobrushin et Major (1979) et de Surgailis (1982). Nous revenons dans la section suivante sur les énoncés précis des théorèmes limite que ces auteurs obtiennent. L’étude du processus empirique d’un champ linéaire à longue mémoire isotrope a été effectuée par Doukhan et al. (2002). Les théorèmes limite montrent une dégénérescence asymptotique du processus empirique dans le sens où le processus limite admet la forme f(x)Z où f est une fonction déterministe et Z une variable aléatoire. Les formes quadratiques d’un champ à longue mémoire isotrope ont été étudiées par Heyde et Gay (1993) et dans un cadre plus large par Doukhan et al. (1996). Enfin, on trouve une étude de l’asymptotique des temps locaux d’un champ à longue mémoire isotrope dans Doukhan et Leon (1996).

La forte dépendance en mécanique statistique

   L’objet de la mécanique statistique est de rendre compte du comportement macroscopique d’un système de particules à partir de la modélisation et de l’étude de son comportement microscopique (état des particules, interactions entre elles). La mécanique statistique a été initialement introduite par les physiciens pour modéliser des phénomènes thermodynamiques et magnétiques dont la transition de phase. La transition de phase est un état instable du système en des valeurs d’un paramètre tel que la température ou un champ magnétique extérieur. Elle apparaît par exemple lorsque la matière passe d’un état à un autre en thermodynamique ou lorsqu’un matériau magnétique passe de l’état ferromagnétique à l’état paramagnétique. Le formalisme mathématique permettant l’étude rigoureuse des modèles de mécanique statistique est apparu plus tardivement et s’appuie sur l’éxistence et l’étude des mesures de Gibbs. Sans vouloir entrer dans les détails de ce formalisme, nous introduisons les notions nécessaires à la présentation de quelques modèles. Une présentation rigoureuse du domaine se trouve par exemple dans Georgii (1988). L’objectif est de souligner des propriétés de forte dépendance dans des systèmes de particules en transition de phase. Les modèles présentés sont le modèle d’Ising, très populaire en mécanique statistique, et les modèles à interactions quadratiques. On considère un système de particules sur Zd. L’état d’une particule située en j ∈ Zd est donnée par le spin xj , une variable aléatoire à valeurs dans un espace polonais X. L’interaction entre les particules (on la suppose ici par paires) est modélisée par le potentiel d’interaction Φi,j , fonction de X × X à valeurs reelles.

Longue mémoire non-isotrope

  Nous donnons à présent des résultats de convergence du processus empirique de champs à longue mémoire non isotrope. Comme notre démarche s’appuie sur l’inégalite (6.1.3), elle nécessite la limite des sommes partielles de Hm(X). Lorsque X est à longue mémoire non istrope, le comportement de ces sommes partielles est obtenu dans les Théorèmes 15 et 17 du chapitre 4 dans le cas où m = 1. C’est pourquoi, dans les résultats suivants, nous supposerons que le rang de Hermite de la fonction I{G(Xn)≤x} −F(x) vaut 1 (c’est par exemple le cas lorsque G est la fonction identité).

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Table des matières

1 Introduction 
1.1 Préliminaires 
1.2 Présentation des champs à longue mémoire 
1.2.1 Longue mémoire et longue mémoire isotrope
1.2.2 Revue des travaux préexistants
1.3 Revue de l’asymptotique des sommes partielles d’un champ aléatoire
1.3.1 En courte mémoire
1.3.2 En longue mémoire
1.4 Plan de la thèse 
2 Modélisation de champs aléatoires à longue mémoire 
2.1 Modélisation par filtrage
2.1.1 Les champs ARMA
2.1.2 Filtrage fractionnaire
2.2 Modélisation par agrégation 
2.2.1 Processus agrégés à longue mémoire en dimension 1
2.2.2 Quelques champs agrégés à longue mémoire en dimension d = 2
2.3 La forte dépendance en mécanique statistique 
2.3.1 Le modèle d’Ising
2.3.2 Les modèles à interactions quadratiques
2.4 Preuves des lemmes 
2.5 Simulation de champs fortement dépendants 
3 Convergence fini-dimensionnelle des sommes partielles 
3.1 Approche spectrale
3.1.1 Théorème de convergence de mesures spectrales
3.1.2 Application à la convergence de Sn
3.2 Sommes partielles en dimension d ≤ 2 
3.3 Sommes partielles en dimension d quelconque
3.3.1 Champs aléatoires obtenus à partir d’un filtre continu à l’origine
3.3.2 Champs aléatoires obtenus à partir d’un filtre singulier à l’origine
3.4 Démonstration du théorème 6 
3.4.1 Démonstration du lemme 11
3.4.2 Démonstration du lemme 13
3.5 Annexe : propriétés des approximations de l’unité 
4 Convergence des sommes partielles dans D[0, 1]d
4.1 Critère d’équitension pour les sommes partielles 
4.2 Équitension en longue mémoire isotrope
4.3 Équitension en longue mémoire non-isotrope
4.4 Convergence de Sn dans D[0, 1]d: bilan 
4.5 Démonstrations
4.5.1 Démonstration de la Proposition 8
4.5.2 Démonstration de la Proposition 9
5 Tester la faible dépendance contre la forte dépendance dans les champs aléatoires 
5.1 Hypothèses et statistique du test 
5.2 Comportement asymptotique de Mn
5.3 Simulations en dimension d = 2 
5.3.1 Choix de q
5.3.2 Simulations sous différentes alternatives
5.4 Preuve des lemmes 
6 Processus empirique de fonctionnelles de champs gaussiens à longue mémoire et applications 
6.1 Convergence du processus empirique dans différentes situations de forte dépendance
6.1.1 Longue mémoire isotrope
6.1.2 Longue mémoire non-isotrope
6.2 Application aux statistiques de Von Mises et aux U-statistiques
6.3 Preuves
6.3.1 Preuve du théorème 18
6.3.2 Preuve du lemme 21
6.4 Conclusion 
7 Etude des formes quadratiques 
7.1 Intégrales doubles non gaussiennes 
7.2 Convergence de mesures spectrales doubles 
7.2.1 Théorème de convergence de mesures spectrales doubles
7.2.2 Etude des formes quadratiques : approche spectrale
7.3 Théorème limite non-central 
7.4 Preuves des lemm

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