Le problème mathématique : caractéristiques et démarche de résolution 

Didactique des mathématiques

Le problème mathématique : caractéristiques et démarche de résolution

Dans le contexte scolaire, un problème mathématique doit contenir une consigne de départ, une question, une solution d’ordre logique, rationnelle ainsi qu’une mise en situation (Bacquet, Poujol, Soulié, Decour et Guerritte-hess, 1996). Selon Focant (2007), la résolution de problèmes est une activité très complexe qui sollicite divers processus, dont une capacité d’organisation rigoureuse.
Dacey (2014) ajoute que le processus de résolution de problème est considéré comme objet d’apprentissage en soi avec différentes notions telles que : le raisonnement, la recherche, les stratégies, les opérations de décodage, la modélisation, la vérification, l’explicitation et, pour terminer, la validation. C’est par conséquent un processus dynamique qui demande de l’anticipation, ainsi que du jugement critique.
Il existe différents types de problèmes renvoyant au champ conceptuel de l’addition. Ceux-ci ont été 9 catégorisés en trois groupes. (Vergnaud, 1987, Fayol, 1990, Ermel, 1993, cités par Vianin, 2010).
– Les problèmes dits de transformation ou de changement avec une situation initiale, une transformation et une situation finale.
– Les problèmes de combinaison. Il faut combiner deux états pour obtenir un troisième.
– Les problèmes de comparaison. Ces problèmes mettent en relation ; plus que/moins que.
L’interprétation que l’on peut donner à un problème dépend de deux éléments : les contenus dans l’énoncé et les connaissances qui sont activées dans la mémoire à long terme (Richard, 1984, cité par Astolfi, Darot, Ginsburger-Vogel et Toussaint, 2008).
La résolution de problèmes est un domaine complexe du raisonnement mathématique. Il est actuellement au coeur de l’enseignement (Vianin, 2010). Selon Astolfi et al. (2008), les problèmes mathématiques sont un moyen permettant l’évaluation des acquisitions, mais également l’introduction d’un apprentissage. Par ailleurs, les recherches faites dans ce domaine ne permettent pas de conclure qu’un enseignement isolé de la résolution de problème puisse mener à la réussite. Il est par conséquent indispensable que le problème facilite l’intégration de nouveaux concepts et l’acquisition de nouvelles habiletés. L’importance d’avoir des problèmes qui font écho, qui sont en lien réel avec la vie de tous les jours est toujours d’actualité (Dacey, 2014). Elle précise que « cette insistance sur le processus de résolution de problèmes se justifie facilement : c’est l’application des compétences mathématiques dans les situations de la vie quotidienne qui rend cet apprentissage aussi important » (p. 2).
Toutefois, certains auteurs tels que Bacquet et al. (1996), estiment qu’il est illusoire « de penser que proposer un problème à des enfants, c’est les mettre en face d’une situation réelle » (p. 42). Ils postulent que la situation scolaire n’est qu’une situation de jeu. Par ailleurs, ces auteurs pensent que continuer à travailler avec les problèmes mathématiques participe à l’exclusion du système scolaire des enfants présentant des difficultés.
Ces propos nous permettent d’aborder le point suivant : la présentation des principales difficultés dans la résolution de problèmes mathématiques.

Obstacles à la résolution d’un problème mathématique

Pour résoudre un problème de mathématiques, un élève doit répondre à plusieurs exigences. Astolfi et al. (2008), mentionnent ces différentes conditions. Tout d’abord l’élève doit être capable de comprendre la tâche. Or, il nous semble pertinent de préciser que « le sens du problème ne se Mathilde Bütikofer et Mélanie Dupuis 01.06.2015 10 dégage que lorsqu’il peut être mis en relation avec une théorie » (p. 6). Ceci démontre bien la nécessité et l’importance d’avoir une bonne structuration des connaissances. Une deuxième condition est la notion de contrat didactique. Celui-ci doit être le plus explicite possible. L’élève doit être en mesure par exemple de reconnaître le type de problème auquel il est confronté ou encore savoir si ce sont des connaissances acquises qu’il doit réinvestir ou alors des nouvelles qu’il doit découvrir.
Ces conditions ne sont toutefois pas suffisantes pour résoudre un problème. Tout d’abord, l’élève doit être conscient de ses stratégies et des différents types de raisonnements qu’il emploie. Il en  existe plusieurs comme la déduction, l’induction, la modélisation ou l’analogie.
Selon Lucangeli et Cornoldi, (cité par Vianin, 2010), les élèves ont souvent une représentation erronée de la tâche. Ils ont par exemple de la difficulté avec les notions de grandeur des nombres.
C’est à l’enseignant de faire varier ces représentations-là, de les faire évoluer de manière à ce que l’élève prenne conscience qu’elles sont erronées. Il peut, par exemple, varier les nombres mais également proposer diverses sortes de problèmes.
Certains auteurs s’accordent pour dire que le principal obstacle lors d’une résolution de problèmes en mathématiques n’est pas la tâche en elle-même mais une difficulté de type langagière. En effet, cet élément est très complexe car il englobe des notions très vastes telles que la compréhension, le sens, la syntaxe ainsi que le contexte. D’autres auteurs mettent en avant non pas le problème langagier uniquement mais la quantité des informations. Cette masse d’informations est une difficulté pour les élèves qui ont de la peine à la gérer car cela peut amener une surcharge cognitive.
Vianin (2010) étaie ce propos et nous explique que « lors de la résolution de problèmes mathématiques, la difficulté principale réside, comme pour la lecture de consignes, dans la densité des informations présentées dans la donnée » (p. 294).
Nous avons tendance à créer des problèmes qui sont parfois « emballés », c’est-à-dire qui sont amenés dans des histoires. Cette manière de fonctionner n’aide pas toujours les élèves. Bacquet et al. (1996) clarifient cet aspect en disant que « ces situations, à l’origine proches du vécu des petits élèves, sont devenues au fil des siècles souvent plaquées, et nombre d’enfants ne possèdent pas toujours l’implicite culturel nécessaire au décorticage de cette première « enveloppe » du problème » (p.80). Il est assez surprenant de se dire que la principale difficulté réside dans la notion de vocabulaire. Prenons le temps d’analyser ce point.
L’élève est amené à faire des inférences pour comprendre la donnée. Il doit être capable d’utiliser ses propres connaissances pour trouver les informations manquantes. « L’inférence permet de Mathilde Bütikofer et Mélanie Dupuis 01.06.2015 11 produire des nouvelles informations à partir d’autres informations » (Vianin, 2010, p. 297). En effet, dans un problème mathématique, l’élève est confronté à des informations explicites mais également à des informations d’ordre implicite. Bacquet et al. (1996) nous donnent un exemple, celui de la question finale. Elle est parfois implicite, ce qui oblige l’élève à avoir un bon raisonnement déductif pour qu’il puisse de lui-même trouver les différentes étapes menant à la solution. Nous pensons qu’il ne faut pas négliger ces aspects langagiers et d’ailleurs Fayol (1990, cité par Vianin, 2010) explique que les recherches mettent en avant une très forte corrélation entre le niveau de lecture des élèves et leur performance dans une épreuve de résolution de problèmes. N’oublions pas que l’élève, face à un problème mathématique, est confronté à deux langues. Sa langue maternelle, qui est parfois une langue secondaire, ce qui ajoute une difficulté, ainsi que le langage propre aux mathématiques. Ces deux langues sont très différentes :
La première est chargée de sens différents et parfois paradoxaux, d’affects, d’histoire et de croyance sur le monde ; la deuxième est univoque, elle n’a pas cette richesse de signifiants par lesquels on rêve, on se dissimule, ou exprime ses sentiments (Bacquet et al., 1996, p. 65).
Pour certains élèves, ce mélange des deux langues les met dans une posture inconfortable. Ils sont perdus et ne mettent plus de sens à ce qui est écrit. Bacquet et al. (1996) insistent en expliquant qu’à l’école primaire, les élèves doivent s’habituer au fait que la langue prend un poids tout particulier, qu’elle a une valeur différente et qu’il est par conséquent important de l’analyser finement. Prenons quelques exemples. Dans les problèmes mathématiques, on peut dire que très souvent :
1. à, par, chaque, l’un, pièce indiquent une multiplication
2. et est un signe d’addition
3. pour et lots induisent une division
4. somme, total et en tout marquent l’addition
5. différence, on dépense et on rend introduisent une soustraction.
Nous pouvons dès lors mieux comprendre que cette activité soit complexe pour les élèves.
D’ailleurs, nos exigences ne s’arrêtent pas là puisque les élèves doivent également traduire par la suite ces langages en signes mathématiques.
Pour Carpenter, Moser et Bebout (1988, cités par Fagnant, 2008) « apprendre à représenter des problèmes en utilisant des symboles mathématiques est un des objectifs majeurs de l’enseignement ; c’est une première étape pour apprendre à résoudre des problèmes mathématiquement » (p. 3).
Pour terminer, Bacquet et al. (1996) rappellent bien que les erreurs fréquentes dans les problèmes mathématiques sont, pour la plupart, dues à un mauvais raisonnement logico-mathématique ou à des Mathilde Bütikofer et Mélanie Dupuis 01.06.2015 12 erreurs de lecture de l’énoncé. Dans le second cas, il nous paraît judicieux de garder en tête que les problèmes requièrent « un solide stock lexical ainsi qu’un bon sens des registres de la langue et de ses finesses » (p. 109). Afin d’éviter que certains élèves développent des mécanismes de défense lorsqu’ils abordent des problèmes mathématiques, nous allons à présent aborder quelques pistes de travail pour les aider.

Stratégies d’aide à la résolution de problème

En guise de préambule, il nous semble pertinent de mentionner que « les sujets jouissant d’une bonne capacité de résolution de problèmes mathématiques ont également de bonnes capacités « superordonnées » de précision, de planification, de guidage et d’évaluation » (Lucangeli et Cornoldi, cités par Vianin 2010, p. 293).
Les élèves experts sont ceux qui se posent des questions telles que « Ai-je bien compris la consigne ? Quel est le but ?… » Cela nous amène à introduire l’importance de la notion de reformulation. Fayol (1990, cité par Vianin 2010) explique que « la reformulation rendant plus explicites les relations sémantiques facilite la compréhension et la résolution des problèmes » (p. 294). Un élève qui réussit est capable d’analyser de manière très précise la donnée et se représente de manière adéquate le problème.
Astolfi et al. (2008) insistent sur cette « nécessité de conduire les élèves à élaborer et à expliciter une représentation du problème » (p. 9). Ainsi, ils peuvent construire des hypothèses et exprimer leurs conceptions. Il est fondamental qu’ils puissent verbaliser leur cheminement. Bacquet et al. (1996) proposent une piste pour mieux se représenter la situation. Il s’agit de mimer la situation à plusieurs personnages afin d’être réellement dans la situation problème. Vianin (2010) propose une démarche en cinq parties pour résoudre un problème. Il rejoint les auteurs précédents en mentionnant que les élèves les plus à l’aise dans la résolution de problèmes sont ceux qui passent le plus de temps à la lecture de la compréhension de la donnée. Selon lui, l’étape fondamentale est celle de l’appropriation du problème raconté. Il faut faire en sorte que l’élève puisse entendre la situation ou la visualiser, c’est-à-dire qu’il se crée une représentation mentale tout à fait personnelle de la situation. L’élève est invité également à observer les schémas, les images qui accompagnent le problème. D’après Fayol (1990, cité par Vianin 2010), les recherches ont pu démontrer qu’une représentation imagée de la situation influence « les capacités des élèves à résoudre les problèmes en facilitant le traitement sémantique des données et en soulageant la charge cognitive » (p. 298).

Etayage

Origine et définition

Jérôme Bruner, psychologue et chercheur en psychologie cognitive, s’est intéressé à la nature du processus de tutelle, c’est-à-dire, aux moyens de venir en aide à quelqu’un de moins spécialiste que soi (Bruner, 1983). Il les définit comme étant des fonctions d’étayage. Un étayage est le support, l’aide que l’enseignant apporte à l’élève en fonction de ses besoins. L’étayage est ajusté aux besoins de l’élève et est supprimé quand celui-ci est autonome (Anghileri, 2006).
Il existe, selon Anghileri (2006), deux types d’étayages : les étayages dits accidentels ainsi que les étayages stratégiques. Les étayages accidentels sont les apprentissages fonctionnels du quotidien, ce sont les apprentissages issus de l’environnement familial de l’enfant. En d’autres termes, il s’agit de la relation parents-enfants. L’étayage stratégique est, quant à lui, l’enseignement des stratégies permettant à l’enfant de résoudre un problème. Ce sont ces étayages stratégiques qui nous intéressent ici.
Anghileri (2006) identifie quatre éléments-clés qui caractérisent ce type d’aide :
1. la quantité mesurée d’aide (support) apportée à l’enfant sans réduire son initiative,
2. le choix pertinent d’une tâche en lien avec le niveau des élèves et proposant un équilibre entre des exercices faciles et des défis (challenge).
3. la présentation explicite des stratégies que l’élève sera amené à intérioriser,
4. la nécessité qu’un enfant puisse donner du sens à la tâche proposée.
D’ailleurs, dans ses travaux, Bruner (1983) a constaté que l’élève doit comprendre avant de produire.
L’étude de Bruner (1983) sur « les fonctions de tutorat » (p. 277) lui a permis d’analyser la nature des interactions enseignant-élève. Il les a alors classifiées en six catégories.
Les six fonctions d’étayages définies par Bruner (1983) dans ce processus de soutien sont les suivantes :
1. L’enrôlement : la personne qui aide, appelée également tuteur fait en sorte d’engager l’intérêt de l’élève pour l’activité.
2. La réduction des degrés de liberté : c’est la simplification de la tâche. Le tuteur simplifie et réduit le nombre des actions à faire.
3. Le maintien de l’orientation : il s’agit ici d’amener l’apprenant à poursuivre l’objectif défini en le soutenant, le motivant.
4. La signalisation des caractéristiques déterminantes : le rôle du tuteur est d’indiquer quelles sont les caractéristiques pertinentes de la tâche. Il signale à l’élève ses écarts dans les productions, par exemple, afin de le recentrer sur les éléments principaux.
5. Le contrôle de la frustration : c’est une réponse à l’état émotionnel de l’apprenant (Anghileri, 2006). Bruner (1983) indique que « le risque majeur est de créer une trop grande dépendance à l’égard du tuteur » (p. 278).
6. La démonstration : le tuteur présente un modèle, exécute une action devant l’élève. Dans son explication, Bruner (1983) met en avant l’importance de démontrer une solution à une tâche en imitant un essai de solution tenté par l’élève. Ceci de manière à ce qu’il puisse ensuite par lui-même imiter le modèle de l’enseignant. Bruner suppose que « les seules actions que les élèves imitent sont celles qu’ils peuvent déjà faire parfaitement » (p. 279).
Ainsi, ces six fonctions définissent les « relations interactives d’instruction » (Bruner, p. 292, 1983).
L’étayage permet de développer chez l’élève une compétence liée à une tâche spécifique. L’adulte amène l’élève à se dépasser, à accélérer son rythme de travail. Sans cette aide, l’apprenant n’aurait pas pu arriver à la résolution de cette tâche et donc, au développement de la compétence visée.
En classe, les fonctions de tutelle apparaissent sous différentes formes. Anghileri (2006) les présente selon trois niveaux :
1. Dispositions au sein de la classe : les encouragements, les approbations, la planification et la structuration d’une séquence, ainsi que l’organisation de l’environnement (classe).
2. Interactions directes entre élèves et enseignant : L’enseignant fournit des suggestions qui peuvent aider les élèves sur la tâche.
3. Développement de la pensée conceptuelle ou institutionnalisation : créer des liens entre les différents concepts et développer son imagerie mentale.
Notons que l’étayage est plus facile à mettre en place lors d’une prise en charge individuelle. En effet, la classe est un lieu où se jouent beaucoup d’interactions complexes et il n’est pas toujours aisé pour l’enseignant d’être pertinent et juste dans ses étayages.

Intérêts pour les apprentissages

Si nous souhaitons qu’il y ait un apprentissage, il est important d’avoir un milieu qui crée un déséquilibre (Brousseau, 1998, cité par Dias et Tièche-Christinat, 2013). L’élève doit s’adapter au milieu. Le rôle de l’enseignant est donc, d’anticiper les réactions des élèves et de leur donner des rétroactions afin de les aider. Ainsi, en planifiant et organisant divers étayages dans sa séquence, l’enseignant favorise la réflexion des élèves. Cette phase réflexive lui permet alors d’apprendre.
Anghileri (2006) ajoute que les élèves et l’enseignant ont une implication mutuelle dans les apprentissages. En d’autres termes, ils sont dépendants. L’enseignant structure l’apprentissage, veille à maintenir l’attention et l’implication des élèves en planifiant diverses et multiples activités. L’élève a la responsabilité d’être « actif » dans les apprentissages. Cette attitude se traduit par la motivation, l’attention et la participation de ce dernier. Les étayages apportent alors un support utile qui renforce et soutient cette responsabilité partagée dans les processus d’apprentissage.

Avantages pour l’enseignant

Alexandre (2014) explique que l’on apprend mieux avec la médiation, d’où l’intérêt des étayages.
Les étayages sont des ajustements de la posture de l’enseignant. Il existe par exemple un surétayage qui n’est pas bénéfique, car il ôte la possibilité de tâtonnement et d’erreurs à l’élève.
L’enseignant doit donc trouver un juste milieu, savoir lâcher prise et laisser cheminer l’élève. Toute la difficulté est d’ajuster son étayage. Alexandre (2014) ajoute qu’apprendre c’est déstabiliser. Le savoir se construit à partir de ce que l’élève sait déjà, et, par conséquent, s’ils sont bien dosés, les obstacles favorisent l’apprentissage.
Si nous souhaitons que l’élève devienne autonome, il faudra faire des « désétayages », c’est-à-dire ôter peu à peu son aide. Autrement dit, dans une démarche d’étayage, il faut garder à l’esprit la finalité de l’enseignement qui vise l’autonomie, l’indépendance et la motivation intrinsèque de l’élève.
Pour conclure, nous retenons que l’étayage sert à construire progressivement des bases scolaires solides. Nous trouvons d’ailleurs très intéressante la métaphore en anglais avec le terme échafaudage (scaffolding).

Méthodologie

Observation : généralités

L’observation est une méthode qualitative. Elle est beaucoup utilisée en sciences humaines. La méthode qualitative se centre plus sur les comportements. Le chercheur est présent sur les lieux de la recherche et observe, le plus souvent à l’aide d’une grille. Cette grille permet d’enrichir l’analyse et de cadrer ce qui est observé. Cette démarche qualitative sert donc à constater des faits et les retranscrire le plus précisément possible. Cette méthode demande une organisation rigoureuse : réflexion, planification, anticipation, création d’outils (grille, par exemple).
On distingue deux techniques d’observation ; l’observation libre et l’observation systématique. Pour la première, les comportements à observer ne sont pas déterminés à l’avance. La seconde demande au chercheur d’être minutieux et précis dans l’enregistrement des faits et gestes à observer. Pour cela, il prendra en compte cinq dimensions liées au comportement observé : sa fréquence, sa durée, son contexte, l’ordre (séquence de comportements) et la latence.
Il existe deux grands types d’observation : directe et indirecte.
1. L’observation directe : la personne est présente sur le terrain.
2. L’observation indirecte : ce sont des observations de comportements passés. On recueille des données déjà existantes.
Ces deux types d’observation sont divisés en deux sous-groupes, correspondant aux différentes possibilités d’observer. Ces possibilités peuvent être combinées.
 L’observation participante : l’observateur est actif au sein du groupe qu’il étudie.
 L’observation non participante : l’observateur est présent avec le groupe qu’il étudie mais n’intervient pas ; il observe uniquement.
 L’observation dissimulée : le chercheur ne mentionne pas son intention d’observer.
 L’observation non dissimulée : le chercheur annonce clairement ses intentions au groupe qu’il observe.
Afin d’être précis dans l’observation, le chercheur peut utiliser différents outils, tels qu’une grille d’observation, un carnet de notes ou journal de bord ou un support audio et/ou vidéo.
Sur la grille d’observation, les points suivants doivent figurer :
 quoi, qui, où et quand observer ?

L’observation dans notre recherche

Pour notre recherche, nous avons décidé de pratiquer l’observation directe, c’est-à-dire que nous étions présentes lors de l’enregistrement de nos séquences vidéo. Nous pouvons également parler d’observation participante, car nous dirigions cette séance de mathématiques. Finalement, notre observation était non dissimulée car les élèves savaient qu’ils étaient filmés et dans quel but.

Outils d’observation

Dans un premier temps, nous avons utilisé le support vidéo, étant donné que nous pratiquions l’observation participante. Dans un second temps, pour l’analyse des séquences filmées, nous avons employé une grille nous permettant de nous centrer sur l’élément principal de notre recherche : les étayages dans l’enseignement explicite. Cette grille, appelée ETAYMATH (annexe 8.1), a été élaborée dans le cadre d’une autre recherche par Rachel Sermier Dessemontet et Thierry Dias, chercheurs pour l’Unité d’enseignement et de recherche en pédagogie spécialisée.

Contexte et mise en place

Nous avons choisi de travailler avec des élèves à besoins spécifiques en mathématiques de différents degrés : 5H et 7H. Pour le degré 5H, l’élève a été filmée individuellement à raison d’une séance par semaine, pendant trois semaines. Les élèves de 7H ont travaillé en binôme. Ils ont été filmé à trois reprises. Deux séances ont eu lieu à une semaine d’intervalle. La dernière s’est déroulée après une semaine de pause, afin de permettre aux élèves de s’approprier l’outil de manière autonome.
Nous avons élaboré chacune des séances en respectant la construction d’une séquence d’enseignement explicite (annexe 8.2). Les différentes étapes sont respectées ; présentation des objectifs, rappel du connu, phases de modelage et de pratique guidée, clôture de la leçon. Les interactions enseignant-élève(s) sont également planifiées. Afin de soutenir l’élève dans cette démarche, nous avons avons prévu un outil d’aide Aide-mémoire pour résoudre un problème demathématique (annexe 8.3), inspiré de Vianin (2010). Cet outil sera présenté dès la première séance et l’élève pourra l’utiliser en classe lorsqu’il sera face à une tâche de résolution de problème mathématique.

Analyse

Notre analyse se base essentiellement sur la grille ETAYMATH qui sépare les six fonctions ou catégories d’étayages en deux groupes : étayages centrés sur l’élève (E) et étayages centrés sur la tâche (T). Nous souhaitons préciser que dans une séquence d’enseignement explicite, l’enseignant met en oeuvre, de manière variable, les étayages appartenant aux deux groupes selon les besoins de l’élève.

Types d’étayages favorisés

Nous constatons que sur l’ensemble des séances réalisées, il existe une alternance entre les étayages centrés sur l’élève et ceux centrés sur la tâche. L’annexe 8.4 récapitulant les différents étayages observés lors de nos six séances filmées le montre. Ce tableau met en évidence un mouvement continu entre ces deux formes d’étayages.
Ce constat nous permet de confirmer notre hypothèse b. Effectivement, les enseignantes naviguent entre ces deux types d’aide et ne suivent pas l’ordre des catégories d’étayages de la grille ETAYMATH.
Concernant les étayages centrés sur la tâche, nous ne remarquons pas un tel décalage. Ceci nous permet d’avancer l’hypothèse que l’état de l’élève (fatigue, concentration, motivation…) ainsi que la dynamique de travail qui en découle, amènent l’enseignant à favoriser un étayage plus qu’un autre. Dans notre travail, l’exemple le plus représentatif concerne l’étayage EM (maintenir l’attention). Lors du visionnage et de l’analyse des séances vidéo, nous avons observé qu’un des deux élèves de Mathilde bâillait régulièrement et se montrait peu impliqué dans la tâche, laissant sa camarade faire le travail. Nous pensons que cette attitude a induit chez l’enseignante un fort maintien de l’attention envers cet élève. En revanche, comme le montrent les séances de Mélanie, l’élève est attentive et concentrée et n’a eu que peu besoin de cet étayage. Ce constat explique, d’après nous, l’écart important dans cette catégorie d’étayage entre nos deux séquences.
Nous sommes conscientes que la prise en charge d’élèves en groupe ou en individuel n’entraîne pas la même dynamique de travail. Toutefois, au vu de l’état de fatigue de l’élève, nous pensons qu’en individuel, ce constat aurait été similaire.

Séquences répétitives des étayages

Lors de l’analyse de nos deux séquences d’enseignement respectives (annexe 8.4), nous n’avons pu établir une logique globale au niveau de l’apparition des différents étayages dans le déroulement de nos cours. Il n’y a donc pas de séquence répétitive type.
Toutefois, afin de répondre à notre hypothèse a), nous avons analysé plus finement les étayages précédant la phase de modelage. Comme l’indique le tableau ci-dessous, nous remarquons que tous les derniers étayages mis en oeuvre avant la phase de démonstration sont centrés sur l’élève. La majorité de ceux-ci sont de type EC (enrôler/capter).
Nous pouvons mettre en évidence que de manière générale, nous relançons l’élève par le questionnement (ER), puis nous l’aidons à la représentation (TR). Ce passage est le plus fréquent dans nos deux pratiques mises ensemble.
Voici notre hypothèse de compréhension. Relâcher (ER), et plus précisément relancer par le questionnement, permet à l’élève d’être continuellement actif dans la démarche réflexive.
Cependant, l’enseignant doit être attentif à la juste compréhension de l’activité par l’élève. S’il constate que par le questionnement, l’élève ne parvient pas à saisir le sens de ce qu’il fait, l’enseignant va alors aider à la représentation (TR) en clarifiant le vocabulaire, en reformulant ou en signalant les caractéristiques déterminantes et celles qui sont non pertinentes.
Pour conclure, les séquences répétitives sont peu nombreuses car d’après nous, elles dépendent principalement de l’enseignant et des interactions avec les élèves. La seule logique que l’on pourrait retrouver dans une démarche d’enseignement explicite serait le lien entre l’étayage enrôler/capter et l’étayage transmettre. Ce lien est inhérent à la phase de modelage de cette approche pédagogique.

Eclairages théoriques en lien avec l’exploration pratique

Dans un premier temps, il nous semble nécessaire de préciser que le moment du modelage correspond à l’étayage TT (transmettre). Il ne nous a donc pas semblé pertinent de le mentionner dans nos tableaux récapitulatifs (annexe 8.4). Dès lors, cet étayage n’apparaît quasiment plus pendant la pratique guidée. En effet, dans cette étape-là de l’enseignement explicite, il appartient à l’élève de réaliser la tâche. Le rôle de l’enseignant est de guider l’élève, de le questionner pour qu’il comprenne par lui-même et d’éviter que les erreurs ne se cristallisent.
Néanmoins, nous avons observé que l’étayage TT est présent dans deux cas de figure. Dans un premier temps, cet étayage apparaît lorsque l’élève est bloqué dans sa réflexion et qu’il n’arrive plus à avancer dans la résolution du problème. Dans un second temps, nous le remarquons en fin de leçon.
Nos hypothèses de compréhension sont les suivantes. Premièrement, l’enseignante estime qu’à ces moments-là, les élèves ont suffisamment réfléchi et testé des stratégies de résolution. Afin de soulager l’élève dans son activité réflexive soutenue, l’enseignante s’autorise donc à donner la solution ou du moins une partie de solution. En d’autres termes, l’enseignant évite une surcharge cognitive à l’élève. Il respecte ainsi les limites de sa mémoire de travail. Deuxièmement, avec un retour au modelage, l’enseignant favorise un niveau de compréhension le plus élevé possible en amenant l’élève à aller plus loin dans sa réflexion. Troisièmement, si la phase du modelage en début de séance a manqué de clarté, cela peut provoquer confusions et incompréhensions chez l’apprenant.
Il nous paraît donc indispensable de revenir à l’étape de démonstration (Gauthier, Bissonnette, Richard, 2007).
Finalement, de manière générale, Hollingsworth et Ybarra (2013) nous rappellent que le modelage permet d’établir un lien direct et privilégié entre enseignant et élève. Or, comme nous l’avons présenté dans le cadre théorique, la relation entre le maître et l’élève est un facteur important influençant la réussite scolaire.
Dans un second temps, nous désirons aborder la question théorique traitant de la métacognition. La démarche d’enseignement explicite présentée par Gauthier et al. (2013) « favorise le développement des processus métacognitifs » (p. 56). Tout d’abord, l’enseignant, en explicitant sa pensée à voix haute lors du modelage, amorce déjà ce processus chez l’élève. Puis, pendant la phase de pratique guidée, l’élève commence à conscientiser sa pensée. L’enseignant prend le rôle « d’entraîneur. » Il soutient l’élève en le questionnant afin que ce dernier développe son langage interne. Finalement, la pratique autonome est l’étape durant laquelle l’élève prend le contrôle de la démarche.
Dans notre exploration pratique, nous avons remarqué que nous ne favorisons que peu le développement des compétences métacognitives chez nos élèves. Dans notre tableau de synthèse (annexe 8.5) nous constatons que l’étayage TM (activer la métacognition) est le moins mis en oeuvre. Ce résultat est présent dans nos deux séquences d’enseignement respectives.

L’expérience

menée sur le terrain permet de mettre en évidence un décalage entre la théorie et notre pratique. Gauthier et al. (2013) définissent la métacognition comme étant « l’habileté à réfléchir sur sa propre pensée, à conscientiser, contrôler et superviser les différents processus mentaux utilisés dans le traitement de l’information afin d’en assurer le fonctionnement optimal» (p. 53). Ce concept ainsi présenté est peu appliqué dans notre exploration. Le tableau ci-dessous présente nos douze interventions métacognitives.

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Table des matières

1 INTRODUCTION 
2 CADRE THÉORIQUE 
2.1 L’ENSEIGNEMENT EXPLICITE
2.1.1 Historique et caractéristiques de la démarche d’enseignement explicite
2.1.2 Définition
2.1.3 Etapes
2.2 DIDACTIQUE DES MATHÉMATIQUES
2.2.1 Le problème mathématique : caractéristiques et démarche de résolution
2.2.2 Obstacles à la résolution d’un problème mathématique
2.2.3 Stratégies d’aide à la résolution de problème
2.3 ETAYAGE
2.3.1 Origine et définition
2.3.2 Intérêts pour les apprentissages
2.3.3 Avantages pour l’enseignant
3 MÉTHODOLOGIE 
3.1 OBSERVATION : GÉNÉRALITÉS
3.2 L’OBSERVATION DANS NOTRE RECHERCHE
3.2.1 Outils d’observation
3.2.2 Contexte et mise en place
4 ANALYSE 
4.1 TYPES D’ÉTAYAGES FAVORISÉS
4.2 SÉQUENCES RÉPÉTITIVES DES ÉTAYAGES
4.3 ECLAIRAGES THÉORIQUES EN LIEN AVEC L’EXPLORATION PRATIQUE
4.4 RÉFLEXIONS ET COMMENTAIRES
5 CONCLUSION 
6 REMERCIEMENTS 
7 BIBLIOGRAPHIE 
8 ANNEXES 
8.1 GRILLE ETAYMATH
8.2 SÉQUENCES D’ENSEIGNEMENT – PLANIFICATION
8.3 AIDE-MÉMOIRE POUR RÉSOUDRE UN PROBLÈME DE MATH
8.4 TABLEAU RÉCAPITULATIF DES ÉTAYAGES
8.5 TABLEAU DE SYNTHÈSE DES ÉTAYAGES
8.6 LIENS ENTRE LES ÉTAYAGES CENTRÉS SUR LA TÂCHE ET L’ÉTAYAGE CENTRÉ SUR L’ÉLÈVE QUI LES PRÉCÈDENT

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