Le lien entre le travail des techniques opératoires et les procédures utilisées en calcul mental 

Acquérir des compétences pour résoudre des problèmes ?

Dans les programmes de 2015, nous retrouvons des compétences liées à la résolution de problèmes. En fin de cycle 2, les élèves doivent savoir « résoudre des problèmes en utilisant des nombres entiers et le calcul ». Pour cela, ils doivent « résoudre des problèmes issus de situations de la vie quotidienne ou adaptés de jeux portant sur des grandeurs ou leur mesure, des déplacements sur une demi-droite graduée, … conduisant à utiliser les quatre opérations ». Des sous-compétences sont alors énoncées. Nous retrouvons la maîtrise du “sens des opérations”, des “problèmes relevant des structures additives (addition/soustraction)”, des “problèmes relevant des structures multiplicatives, de partages ou de groupements (multiplication/division)” et du “sens des symboles +, -, x, : ”. Une autre sous-compétence est également présente, il s’agit de savoir « modéliser ces problèmes à l’aide d’écritures mathématiques » . En fin de cycle 3, les élèves doivent savoir « résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul ». Nous retrouvons ensuite des sous-compétences du cycle 2, « résoudre des problèmes mettant en jeu les quatre opérations » ainsi que la maitrise du « sens des opérations » et des « problèmes relevant des structures additives [et] des structures multiplicatives ». Pour le cycle 3, nous retrouvons une nouvelle catégorie appelée « proportionnalité » dans laquelle une compétence est énoncée, « reconnaitre et résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure adaptée ».
Dans un document d’accompagnement EDUSCOL, la compétence “modéliser” est évoquée lors de l’activité de résolution de “problèmes concrets”. L’élève est alors amené à « reconnaitre et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, de partage, de groupement ou de proportionnalité ».
Jean-Michel Blanquer préconise « un enseignement explicite de la résolution de problèmes [s’appuyant] sur des temps spécifiques » . Pendant ces temps, nous devons garder « traces de l’aboutissement du travail effectué » grâce à des « références construites avec les élèves et notées dans les cahiers prévus à cet effet ».
L’élève pourra ainsi s’appuyer sur ces résolutions types lors des prochaines séances.
Ces exemples permettent « d’introduire des représentations, sous forme de schémas bien adaptés, permettant la modélisation des problèmes proposés ». L’enseignant doit systématiquement utiliser ces représentations lorsqu’il réalise une résolution de problèmes devant les élèves. Il est précisé que l’utilisation de celles-ci ne doivent pas être imposées mais servir de “point d’appui”. Le but est de réussir à catégoriser les problèmes selon la représentation à utiliser pour le résoudre. La modélisation peut prendre la forme de dessins, de schémas, de diagrammes, de graphiques, … Après « l’acquisition de la méthode enseignée ou de la démarche visée », l’élève doit être confronté régulièrement à des problèmes permettant la mise en œuvre de cet apprentissage.
En classe, Monsieur le Ministre propose de fonder « l’enseignement de la résolution de problèmes » sur des « temps d’échanges collectifs, permettant d’émettre des hypothèses, d’élaborer collectivement des stratégies, de confronter des idées et d’en débattre ». Toutefois, il est nécessaire de prioriser les moments « pendant lesquels les élèves résolvent […] eux-mêmes des problèmes ». L’enseignant doit être présent pour encourager la mise en recherche, poser des questions pour aider à s’approprier le problème et inviter à modéliser si l’élève est bloqué, proposer aux élèves d’utiliser des outils à leur disposition (affiche ou cahier), d’inciter les élèves à « comparer leurs résultats et leurs procédures pour se mettre d’accord », …
Il rappelle que “modéliser” et “calculer” sont deux compétences fondamentales pour la résolution de problèmes à l’école élémentaire. Si un élève a des difficultés à modéliser, l’enseignant peut inviter l’élève à faire une représentation de la situation ou à utiliser du matériel (images ou monnaie factice) pour « reproduire la situation ». Dans le cas où un élève aurait des difficultés à calculer, il est conseillé de le faire comparer son résultat avec ses camarades afin de se mettre d’accord.
Toujours selon le Ministre, tous les problèmes ne sont pas à valider par la mise en commun si l’ensemble des élèves a réussi à le traiter de « façon satisfaisante ».
Cependant, si l’objectif est de faire « émerger une procédure de résolution particulière ou une représentation-type », l’enseignant doit la proposer en demandant aux élèves de « discuter de la justesse et de la pertinence de la résolution proposée ».

La représentation du problème

L’organisation en mémoire

Dans un premier temps, la psychologie cognitive, d’après Butlen citant Richard et Fayol, nous permet de pointer les difficultés émanant de la résolution de problème. Celles-ci proviennent surtout des « contraintes de fonctionnement des systèmes mnésiques ».
Lorsque nous résolvons des problèmes, nous faisons appel à des connaissances en mémoire à long terme (propriétés, relations, règles générales de déductions, algorithme, …) ainsi qu’à des informations en mémoire à court terme (données du problème, résultats déjà calculés ; …). Comme la capacité de la mémoire à court terme est limitée, il s’opère un conflit entre le stockage de l’information et l’exercice d’activités cognitives non automatisées ne pouvant se faire sans contrôle conscient. Cette capacité limitée entraine également différentes difficultés au cours de la résolution de problèmes : « difficulté dans la compréhension de l’énoncé, défaut de prise en compte de certaines données, perte de contrôle dans l’exécution de l’algorithme de résolution, dans le cas où il serait complexe ».
Il existe un « espace mental assimilé à la mémoire à court terme ». Cet espace serait constitué d’un « espace de stockage des données et de construction de la représentation associée à un problème et d’un espace requis pour les opérations ». Ce dernier diminuerait au fur et à mesure de l’automatisation des opérations. Il y aurait donc, grâce à cette diminution, un meilleur stockage des données et une meilleure construction des représentations.
D’après Fayol, cité par Butlen, la présence de matériel physique ou manipulatoire et des énoncés problèmes présentés sous forme partiellement ou totalement imagée permettraient d’alléger la charge en mémoire de travail. La façon dont est formulé l’énoncé aurait également un impact sur la résolution du problème. L’ordre dans lequel se déroule les évènements, l’ordre des informations ainsi que la place de la question, le caractère explicite ou non de la formulation, la familiarité avec le type de texte composant l’énoncé sont des éléments influençant la compréhension et la résolution Fayol affirme que le sujet résolvant un problème se construit une représentation globale du problème numérique de type “schéma” auquel sont associées des procédures. Selon Julo, les « schémas de problèmes » sont la manière dont se stockent et s’organisent les problèmes rencontrés en mémoire à long terme.
Quand un sujet est “novice”, il n’aura pas de schéma stocké en mémoire à long terme et devra donc stocker toutes les informations du problème en mémoire de travail puis élaborer une représentation globale. Il y a donc un « risque de surcharge en mémoire de travail ».
Un sujet “expert” n’aura qu’à aller chercher et activer en mémoire à long terme le bon schéma, après lecture de l’énoncé. Julo, cité par Butlen, définit une représentation d’un problème comme le fait de « se représenter un objet particulier défini par un ensemble d’informations qui nous est fourni à son propos » . Il s’agit également de « se représenter la tâche particulière qui est associée à cet objet ». Il définit trois “processus” importants dans la construction de représentation : « le processus d’interprétation et de sélection, le processus de structuration et le processus d’opérationnalisation ».
Le processus d’interprétation amène à sélectionner et décoder les informations importantes pour réaliser la tâche. Le processus de structuration est en lien avec les “schémas de problèmes”. Les problèmes rencontrés sont « mémorisés en tant que connaissances spécifiques et intégrées comme telles à la structure cognitive ». Les “schémas de problèmes” sont les formes sous lesquelles la mémoire des problèmes peut intervenir dans la construction d’une représentation. Le dernier processus, celui d’opérationnalisation, permet le passage à l’action « effective (commencer des calculs, faire un dessin, tâtonner…) » ou à l’action « mentale (faire des déductions…) ». Il est caractérisé par la « mise en œuvre de connaissances opératoires issues de l’expérience du sujet sur la résolution de problèmes ». En permettant à l’élève de faire avancer sa représentation du problème si celle-ci ne lui permet pas de résoudre directement le problème, le tâtonnement est un moyen d’améliorer sa construction de la représentation.

Agir par l’apprentissage sur la représentation d’un problème ?

Dans le même article, Julo propose d’analyser trois démarches d’apprentissage afin d’acquérir des schémas de problèmes et donc de nouvelles compétences en résolution de problèmes.
La première consiste à “recourir à des représentations symboliques” afin de distinguer et catégoriser les différents types de problèmes. Il précise que ce sont les diagrammes de Vergnaud qui sont le plus utilisés pour “expliciter la structure relationnelle” caractérisant chaque type de problèmes. Vergnaud, cité par Julo, défend qu’il s’agit d’un support « utile, voir indispensable pour comprendre un problème et envisager des procédures de résolution » . Toutefois, ils sont amenés à ne plus être utilisés au fur et à mesure des apprentissages. Lors d’une expérience en classe, Levain, également cité par Julo, affirme que ces diagrammes, ou schémas, sont de « formidables outils facilitant l’identification des opérateurs et l’analyse des procédures » (Ibid., p.40). Julo ajoute qu’ils sont un moyen de “représenter la structure du problème”. Il faut cependant les considérer comme une façon parmi d’autres de modéliser le problème afin de ne pas fixer arbitrairement un mode de représentation. Cette solution ne doit également être qu’un tremplin permettant aux élèves de construire par la suite leur propre représentation mentale.
La deuxième démarche conduit à “expliciter la structure des problèmes”. Elle pose un réel désavantage pour Julo, celui de privilégier un “mode d’organisation” en mémoire alors que « la diversité des formes d’organisation […] est sans doute un atout majeur pour améliorer notre maîtrise d’un ensemble donné de problèmes » (Ibid., p.41). Nous pouvons alors préférer mettre en œuvre des “tâches de classement ou des tâches de fabrication d’énoncés”. L’élève est alors amené à faire des rapprochements et observer des différences de façon implicite.
La dernière démarche amène à “agir sur l’activité de catégorisation”. Celle-ci serait déterminante dans la formation des schémas de problèmes. En réalité, elle ne serait efficace que pour certains types de schémas ou à certains moments de l’apprentissage, notamment pour réorganiser la mémoire des problèmes.
Ces résultats mitigés amène Julo à repenser la situation. Il détaille le processus mental initié lors de la résolution de problèmes. « Une partie de l’activité mentale mise en œuvre dans une situation de résolution de problèmes consiste en une activité de représentation du problème donné » (Ibid., p.42). Cette dernière commence grâce aux “premières informations concernant le problème” et continue jusqu’à ce que ces informations quittent la mémoire de travail (nous arrêtons à ce moment de penser au problème).
L’activité de représentation est fondée sur des aller-retours entre les connaissances et les informations ; « les informations activent certaines connaissances qui orientent simultanément la prise en compte et l’interprétation de ces mêmes informations » (Ibid., p.42). Différentes connaissances sont activées. Premièrement, celles permettant de modéliser le problème. Ces connaissances sont déterminantes pour “rendre opérationnelle la représentation”. Les schémas de problèmes seraient, quant à eux, des connaissances décisives dans l’activité de représentation. Il y aurait à ce moment une co-construction entre la représentation du problème et les schémas de problèmes. En effet, la représentation d’un problème se formerait à partir de schémas de problèmes organisés en mémoire qui, à leur tour, seraient formés à l’issue de représentations de problèmes. Cela amène Julo à s’interroger sur ce qu’est un apprentissage à la résolution de problèmes. Les trois démarches précédemment détaillées ne consistent pas à travailler sur la représentation des problèmes. La construction des schémas de problèmes émanant de cette activité de représentation, il faut donc trouver d’autres axes de travail pour apprendre à résoudre des problèmes. Comme les « représentations construites lors de la résolution de différents problèmes […] s’organisent progressivement en schémas de problèmes » (Ibid., p.43), une hypothèse est d’apporter une aide à la résolution de problèmes au moment de l’élaboration de la représentation. Cette aide à la représentation vise deux objectifs.
Le premier est de “permettre l’invention d’une procédure”. En étant dans un système d’invention, nous respectons les “deux critères principaux d’une véritable activité de résolution de problèmes”. En effet, Julo suggère qu’on « ne peut pas réaliser le but proposé au moyen d’une application plus ou moins routinière de ses connaissances procédurales, ensuite on trouve soi-même, sans guidage, un moyen de réaliser ce but » (Ibid., p.43). Nous observons des bénéfices sur le “plan opératoire” puisque l’invention d’une procédure nécessite de « coordonner, de planifier et de contrôler tout un ensemble d’actions […] qui n’avaient jamais été reliées entre elles » . Nous retrouvons également des bénéfices du point de vue des schémas de problèmes car « il est probable que ce sont les problèmes réussis, au sens précédent de résolution par invention de procédure, qui laissent les empreintes les plus profondes et qui contribuent le plus à la mise en place de schémas performants ». Enfin, les derniers bénéfices reposent sur “l’appropriation de savoirs et la conceptualisation”. Ces bénéfices dépendent d’une condition ; le problème doit constituer « un véritable enjeu de savoir pour celui qui cherche à le résoudre ».
Le deuxième objectif de l’aide à la représentation est « d’induire une évolution des schémas ». Lorsqu’un élève n’arrive pas à se représenter un problème, l’aide apportée doit se faire pendant la construction de cette représentation. Expliquer à un élève comment il fallait “faire” pour résoudre le problème alors qu’il n’en a pas construit de représentation n’aura pas d’effet sur ses essais futurs. Intervenir après l’échec est trop tard. Il faut donc aider l’élève à “penser” le problème au fur et à mesure de la résolution.
Lorsqu’un élève a “compris” le problème, nous estimons qu’il va en garder une trace utile, notamment pour enrichir ses schémas, « même si c’est de manière relativement limitée (par rapport au cas privilégié d’un problème réussi) ». Julo développe l’idée de « micro genèse de la représentation » représentant les différentes « étapes successives qui caractérisent la manière dont la représentation va progresser ». Nous pourrions donc agir sur cette micro genèse, entre autres, par l’utilisation d’outils de modélisation. Julo propose également des exemples d’aides à la représentation du problème, n’existant pas encore de « “méthode” pouvant servir de fondement à cette pratique » (Ibid., p.45).

Le rôle du calcul mental dans la résolution de problèmes

Nous allons pouvoir maintenant nous intéresser aux liens qui existent entre la résolution de problèmes et le calcul mental.

Qu’est-ce que le calcul mental ?

Dans le document d’accompagnement EDUSCOL dédié au calcul aux cycles 2 et 3, nous relevons qu’il existe différents types de calculs, souvent utilisés “en interaction et complémentaires” les uns des autres. Le calcul posé, le calcul instrumenté, le calcul mental et le calcul en ligne. Les deux premiers reposent sur « l’application d’un algorithme calculatoire » par l’élève ou une machine (calculatrice, par exemple). Les deux autres vont mobiliser des « faits numériques et des procédures élémentaires » (Ibid., p.2). Le calcul mental exclut l’utilisation d’un support écrit alors que le calcul en ligne est « une modalité de calcul écrit ou partiellement écrit ». L’élève peut alors écrire des « étapes de calcul intermédiaires qui seraient trop lourdes à garder en mémoire » (Ibid., p.1). Cependant, il ne s’agit pas de mettre en œuvre un algorithme. Le calcul en ligne permet de « faciliter l’apprentissage des démarches et la mémorisation des propriétés des nombres et des opérations » (Ibid., p.1) et de trouver le résultat de calculs trop complexes pour être effectués par le calcul mental. La pratique du calcul mental et en ligne permet de :
• « construire puis travailler la compréhension de la notion de nombre et des propriétés de notre numération décimale de position ;
• développer la connaissance des nombres ;
• travailler le sens des opérations ;
• découvrir et utiliser les propriétés des opérations ;
• développer des habiletés calculatoires ;
• construire progressivement des faits numériques et des procédures élémentaires qui seront utiles pour mener des calculs posés et permettront de traiter des calculs […] plus complexes ;
• développer des compétences dans le cadre de la résolution de problèmes, par exemple au niveau du choix des opérations » (Ibid., p.2).
Ces calculs permettent également à l’élève d’estimer un ordre de grandeur afin de contrôler la pertinence d’un résultat et ainsi développer son esprit critique. Les élèves mémorisent et automatisent ces savoirs qui « s’enrichissent petit à petit et donnent davantage d’efficacité aux démarches de calcul » (Ibid., p.4) mises en œuvre.
En ce qui concerne leur enseignement, celui-ci doit avoir une place plus importante que celle attribuée au calcul posé. Le calcul mental et le calcul en ligne seront travaillés lors de l’activité de résolution de problèmes mais il faudra mettre en place des “temps spécifiques d’apprentissage, d’entrainement et d’évaluation”. Les activités proposées doivent être quotidienne et aboutir à des temps d’institutionnalisation. L’enseignant doit mettre en place une “programmation des apprentissages” dans laquelle le calcul en ligne et le calcul mental sont “travaillés conjointement”. Pendant l’entrainement, des temps de mise en commun doivent permettre aux élèves “d’expliciter oralement leurs démarches” et de comparer les différentes procédures afin de les valider ou non.
Les compétences travaillées lors de cette activité de calcul sont multiples. Les élèves sont amenés à “chercher” ; ils vont mobiliser des connaissances ou des procédures afin de questionner la situation et faire des choix afin d’utiliser la procédure la plus efficace.
L’élève va mobiliser la compétence “représenter” lorsqu’il va choisir une « écriture d’un nombre entier ou décimal adaptée au traitement d’un calcul » (Ibid., p.5). Enfin, lorsque l’élève « choisit une démarche pour mettre en œuvre un calcul, compare un ordre de grandeur calculé et un résultat, vérifie ses résultats, met en cohérence le résultat d’un calcul et le contexte du problème concret » (Ibid., p.5), il va développer la compétence “raisonner”.
Dans la suite de cette partie, notre propos se basera sur les recherches de Denis Butlen portant sur l’enseignement des mathématiques, du calcul mental et la résolution de problèmes.

Le lien entre le travail des techniques opératoires et les procédures utilisées en calcul mental

Afin de permettre aux élèves de faire moins d’erreurs lors de leurs calculs, une première piste serait de leur permettre d’acquérir l’automatisation de certains calculs élémentaires. Fischer (1987), cité par Butlen, défend que « seule une automatisation ou en tout cas un processus reproductif plutôt qu’un processus reconstructif du rappel des faits numériques conduira les élèves à estimer les ordres de grandeur et à remarquer certaines erreurs de calculs ».
L’automatisation des calculs est liée à la représentation des nombres en mémoire. De nombreux travaux ont montré que selon l’âge, l’organisation des nombres en mémoire n’est pas la même. À cinq ans, elle repose sur la “succession par pas de un” et, à douze ans, sur l’addition et la multiplication.
Les psychologues ont également émis l’hypothèse d’une représentation analogique des nombres en mémoire à long terme. Pour Fayol, ce serait une « ligne mentale numérique sur laquelle interviendraient des effets liés à la distance symbolique » (Ibid., p.36). On estimerait alors plus facilement une erreur très éloignée du bon résultat qu’une erreur proche (8+3 = 20 plus facilement repéré faux que 8+3 = 12). Par le développement et la pratique scolaire, cette ligne se complexifierait et s’organiserait pour devenir un « réseau mental » pouvant être comparé aux tables d’addition et de multiplication. Le temps que prend l’individu à trouver le résultat dépend alors du « nombre de rangées et de colonnes à parcourir mentalement ».
Selon le niveau de classe et le niveau de difficulté des élèves, nous voyons apparaitre différentes procédures de résolution de calculs mentaux. Selon Boule (1997), cité par Butlen, une procédure représente « un ensemble univoque et ordonné d’actions en vue d’un but déterminé » (Ibid., p.36).
Lorsque les calculs (comme le comptage ou le décomptage de n en n) présentent des régularités, les élèves, à tous les niveaux, sont capables de les repérer et de les utiliser par la suite. Durant un travail à l’oral, le repérage et l’utilisation qui s’en suit s’accroissent avec l’âge.

L’effet d’une pratique régulière du calcul mental sur la résolution de problèmes

Dans les programmes de cycle 3, il est précisé que « le calcul contribuant aussi à la représentation des problèmes, il s’agit de développer simultanément chez les élèves des aptitudes de calcul et de résolution de problèmes arithmétiques .
Lors de son expérimentation, Butlen affirme que « la réussite à ces problèmes
renseigne sur le degré d’acquisition de grands concepts enseignés à l’école élémentaire (structures additives et multiplicatives, proportionnalité) ». Certaines connaissances numériques seraient acquises par le travail de calcul mental. En enrichissant les conceptions numériques et leur domaine de disponibilité, en augmentant la familiarisation avec les nombres et les opérations ainsi qu’en permettant l’appropriation de leurs propriétés, une pratique régulière du calcul mental permettrait aux élèves d’augmenter leurs capacités d’adaptations et d’initiatives. Ils seraient donc plus enclins à faire des essais et à utiliser différentes procédures plutôt qu’à recourir directement au calcul posé. L’élève va également plus facilement accepter de faire des erreurs et de recommencer. En travaillant les procédures de résolution de calculs dans un contexte purement mathématique avec des nombres « scalaires non attachés à des grandeurs », l’accès aux « propriétés arithmétiques est direct » (Ibid., p.87). Cela permet donc à l’élève d’être détaché de tout contexte et de se concentrer uniquement sur les procédures à mettre en place pour trouver efficacement la réponse. Le fait de s’entraîner à résoudre des problèmes mentalement permettrait aux élèves de réussir plus facilement à trier les informations importantes (de par la lecture du professeur).

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Table des matières
Remerciements
Avertissement 
Sommaire 
Introduction 
I. Cadre théorique 
1. Qu’est-ce qu’un problème et que veut dire le résoudre ?
1.1. Définition du problème
1.2. La résolution de problèmes
1.3 Acquérir des compétences pour résoudre des problèmes ?
2. La représentation du problème
2.1. L’organisation en mémoire
2.2 Agir par l’apprentissage sur la représentation d’un problème ?
3. Le rôle du calcul mental dans la résolution de problèmes.
3.1. Qu’est-ce que le calcul mental ?
3.2. Le lien entre le travail des techniques opératoires et les procédures utilisées en calcul mental
3.3. L’effet d’une pratique régulière du calcul mental sur la résolution de problèmes
II. Le protocole de recherche 
1. La notion mathématique
2. La séquence
3. Les choix des calculs en ligne et des problèmes
III. Analyse des résultats 
1. Les résultats de la classe
2. Les résultats de cinq élèves
2.1. Aïdan
2.2. Solana
2.3. Maxens
2.4. Aurélie
2.5. Pauline
Conclusion 
Bibliographie 
Table des illustrations 
Annexes

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