Le langage dans la compréhension des taches mathématiques 

L’ENFANT ET LA CONSTRUCTION DU NOMBRE

Les attentes institutionnelles : Programme de l’école maternelle 2015

Le bulletin officiel spécial n°2 du 26 mars 2015 publié par le Ministère de l’Education Nationale précise les attentes ministérielles vis-à-vis de l’école maternelle : elle « doit conduire progressivement chaque élève à comprendre que les nombres permettent à la fois d’exprimer des quantités (usage cardinal) et d’exprimer un rang ou un positionnement dans une liste (usage ordinal) » (M.E.N, 2015, p. 3). Le bulletin officiel fixe des objectifs, ainsi qu’un cadrage ; les progressions. En fin de Grande Section, les élèves doivent être capables :
• « D’évaluer et comparer des collections d’objets avec des procédures numériques ou non numériques.
• De réaliser une collection dont le cardinal est donné. Utiliser le dénombrement pour comparer deux quantités, pour constituer une collection de taille donnée ou pour réaliser une collection de quantité égale à la collection proposée.
• D’utiliser des symboles analogiques, verbaux et écrits, conventionnels ou non conventionnels pour communiquer des informations orales et écrites sur une quantité.
• D’avoir compris que le cardinal ne change pas si on modifie la disposition spatiale ou la nature des éléments.
• Quantifier des collections jusqu’à dix au moins ; les composer et les décomposer par manipulations effectives puis mentales. Dire combien il faut ajouter ou enlever pour obtenir des quantités ne dépassant pas dix.
• Dire la suite des nombres jusqu’à trente. Lire les nombres écrits en chiffre jusqu’à dix » (M.E.N, 2015, p. 15)
L’enfant arrive à l’école maternelle avec des connaissances sur le nombre, néanmoins il n’en a pas encore saisi la fonction. L’école doit construire le concept de nombre chez les élèves en s’appuyant « sur la notion de quantité, sa codification orale et écrite, l’acquisition de la suite orale des nombres et l’usage du dénombrement. » (MEN, 2015 p 13 et 14).

L’apprentissage du dénombrement

Lors des premières manipulations, les enfants, par manque de connaissances sur le nombre, vont utiliser des procédures non numériques, pour comparer des collections, notamment la correspondance terme à terme ou l’estimation globale pour comparer des collections.
Progressivement, l’enfant doit passer de la « débrouillardise à l’usage du nombre » (Ney et al., 2006, p .32). L’enseignant doit apporter aux élèvesdes situations d’apprentissages favorisant l’usage du nombre en mettant à distance les procédures « sensori-motrices ». (Ney et al, 2006 p 32). Aussi, pour développer le recours au nombre,il faut proposer des situations problèmes faisant appel à la mémorisation, l’anticipation ou la comparaison. L’enseignant veille toujours à proposer des situations adaptées au niveau des élèves.

Les collections témoins

Il existe de nombreuses façons de représenter les nombres de façon non linguistique, c’est ce que l’on appelle la collection témoin. Elle permet de mettre en correspondance terme à terme les éléments d’une collection de départ avec une autre collection. On décompose le nombre en un, puis un, puis un etc. Cela favorise la créationmentale d’une représentation du nombre. Les chercheurs Baruk, Fayol et Brissiaud, partagent l’idée qu’il est primordial de construire le nombre à travers des représentation figuratives.
La collection de doigts est l’une des collections témoins les plus usitées. Fayol, (cité par Charnay, 2013) lui attribue un rôle de médiateur dufait de son caractère kinesthésique. Malgré cela, Brissiaud pense que les configurations de doigts peuvent être un frein à la compréhension.
En effet, pour certains enfants, cette représentation de la quantité trois par la constellation des doigts peut être perçue comme un pouce, un index et un majeur. Cette représentation peut s’avérer être un obstacle à la compréhension et à l’acquisition du nombre. A contrario, la quantité représentée avec l’image de trois coccinelles, comme ci-dessous fait référence à une seule et même image, celle d’une coccinelle représentée trois fois. Il est indispensable d’apprendre à créer des liens entre les différentesreprésentations du nombre pour en construire le sens.

Associer le nom des nombres connus avec leur écriture chiffrée

Selon Emprin, les élèves de maternelle perçoivent les écritures chiffrées comme des image, au même titre que les collections témoins. Il est important de travailler le transcodage pour qu’ils aient différentes représentations de la quantité. L’auteur souligne également l’importance de la manipulation de « quantités réellement présentes » (cité par Durpaire et Mégard, 2010 p.23) plutôt que des dessins de collections.
Pour les élèves, le fait de fréquenter différents supports présentant des nombres favorise l’apprentissage. Les calendriers, les affichages, les bandes numériques, les jeux de loto, de dominos, de cartes traditionnelles, de dés sont autant de supports d’apprentissages à exploiter lors des situations d’enseignements.

Les différentes situations de vie de classe et l’usage du nombre

En 2005, les chercheurs du groupe ERMEL, ont défini différentes situations d’apprentissages :

Les situations dites « fonctionnelles »

Elles s’appuient sur le vécu de la classe. Elles ont pour but de répondre à un problème posé dans le déroulement de vie de la classe. Cela peut-être la répartition des élèves dans des ateliers en éducation physique et sportive, la modification de la quantité d’ingrédients pour réaliser des gâteaux d’anniversaire, etc.

Les situations dites « rituelles »

Elles sont intégrées au déroulement de la classe au quotidien. Elles se répètent quasiquotidiennement par nécessité, par convention sociale ou par jeu. Elles peuvent être proposées par les enfants ou par le professeur des écoles, mais elles conservent une notion de sens. C’est l’activité du comptage des absents, du nombre de filles ou de garçons, etc.

Les situations dites « construites »

Ce sont les séquences d’apprentissages que le professeur des écoles conçoit pour viser un apprentissage précis. Elles peuvent viser des objectifs différents en fonction des moments où elles sont mises en place. o Objectif de construction ou de de découverte d’une connaissance (phase de
recherche et d’acquisition du savoir)
o Objectif de maîtrise (phase d’entraînement)
o Objectif de transfert (phase de réinvestissement)

LA MANIPULATION AU SERVICE DE L’APPRENTISSAGE MATHEMATIQUE

Définition

D’après le dictionnaire Larousse, la manipulation est « l’action de soumettre quelque chose à des opérations diverses, en particulier dans le butde recherche ou d’apprentissage ».
Cette définition attribue à la manipulation la notion d’apprentissage. Cependant, comme le précise Berdonneau « c’est grâce à la manière dont le maître exploite les supports de manipulation que l’élève va pouvoir assimiler la connaissance ». (Berdonneau, 2006)

Les stades sensori-moteur et préopératoire chez Piaget

Selon Piaget, les élèves de l’école maternelle passent par deux grands stades : le stade sensorimoteur et le stade préopératoire. En ce qui concerne le stade sensori-moteur, Piaget pense que, Phase d’action sur la base de leurs comportements innés et aléatoires, les bébés seraient en mesure de coordonner des informations sensorielles et motrices pour résoudre des problèmes simples. Il s’agit donc d’une construction de l’intelligence à partir des sens, de l’action et des déplacements qui précèdent le langage. Pendant la période de la naissance de l’enfant jusqu’à ses deux ans environ, se produisent les changements les plus rapides et fondamentaux de son développement.
Piaget observe que les changements de ce stade se divisent en six sous-stades, où les actions réflexes vont devenir, par répétition, des actions intentionnelles :
• L’enfant exerce ses réflexes.
• L’enfant utilise des réactions circulaires primaires : il répète des actions qui lui sont agréables.
• L’enfant utilise des réactions circulaires secondaires : il répète des actions qui produisent des résultats qui l’intéressent. Il n’a pas encore d’objectifs.
• L’enfant utilise des comportements orientés vers un but.
• L’enfant utilise des réactions circulaires tertiaires : il explore et découvre intentionnellement le monde qui l’entoure.
• L’enfant utilise des combinaisons mentales : il se représente mentalement et anticipe le résultat d’une action.
On comprend alors que l’action de l’enfant sur les objets qui l’entourent va développer sa pensée et son rapport au monde.
Le stade préopératoire, c’est l’intelligence par lareprésentation. L’enfant développe le langage, il est capable de penser en terme symbolique, de sereprésenter des choses à partir de mots ou de symboles. L’enfant saisit aussi des notions de quantité. Ce stade apparaît entre 2 à 7 ans ; l’enfant peut alors se représenter des actions passées ou futures grâce à la fonction sémiotique. Le langage détient donc une fonction importante pour structurer la pensée de l’enfant, mais l’action reste primordiale pour qu’il continue d’explorer celle-ci sur les objets et son pouvoir d’anticipation : « L’apprentissage se construit à partir des actions intériorisées du sujet sur le réel. Donc apprendre, c’est dépasser les actions sensori-motrices afin d’accéder à des opérations mentales qui favorisent l’anticipation et la conceptualisation. Le matériel est nécessaire à condition que le problème posé, c’est-à-dire les contraintes imposées, soit pertinent pour forcer ces opérations. » (Ney et al, 2006, p. 33).

Un outil au service de l’enseignant

Selon Catherine Berdonneau en 2005 et Thierry Dias,plus tard, en 2012, la manipulation est primordiale pour l’enseignant et pour l’élève. Il s’agit d’un outil qui met l’élève dans une situation d’apprentissage effective. Il pourra s’engager davantage dans une action réelle, différente de l’action symbolique et schématique que l’on retrouve avec un travail sur fiche. Il va y trouver une aide pour élaborer des représentations du nombre. De plus, la manipulation constitue un indicateur de vigilance car la manipulation ne laisse pas la place au « faire semblant » (Berdonneau, 2006) qui sera facilement décelable par l’enseignant. Celui-ci pourra suivre, de façon fiable, le raisonnement effectué par l’élève qui procédera par essai-erreur. Par conséquent, la manipulation dans la situation d’apprentissage fournira au professeur des écoles une évaluation sûre et généralement aisée.
En effet, l’observation des gestes et des manipulations entreprises par les élèves lors d’une tâche de dénombrement est révélatrice pour l’enseignant des acquis ou des procédures en cours d’acquisition chez l’élève. Elle va permettre à l’enseignant de proposer des activités annexes visant à la consolidation des pré-requis. Elle facilite ainsi la gestion de l’hétérogénéité de la classe, et permet de mettre en place une différenciation en fonction du niveau des élèves afin de les faire progresser vers la réussite.
Pour des élèves nouvellement arrivés en France ou allophones, l’utilisation de supports de manipulation permet à des situations mathématiques de prendre sens malgré l’obstacle du langage. Cependant, le support de manipulation ne contient pas le savoir. L’apprentissage nécessite une médiation de l’enseignant. C’est grâce à la manière dont le maitre exploite les supports de manipulation que l’élève va pouvoir assimiler la connaissance correspondante.

Outil au service de l’élève

Berdonneau (2006) relate différents avantages à mettre en place la manipulation dans les apprentissages mathématiques. Elle répond à un besoin sensoriel et permet de s’adapter aux différentes façons de penser de l’enfant. Elle canalise l’attention et permet un meilleur apprentissage facilitant ainsi l’élaboration des concepts. Elle libère des tâches diverses et limitantes qui n’ont pas de lien avec l’apprentissage mathématique. Elle permet de répéter l’action autant de fois que nécessaire. Elle donne place aux erreurs, développe l’autonomie, permet la validation et favorise l’anticipation.
François Boule (1985, p.7), formateur en mathématiques, considère la manipulation comme une source de motivation. L’usage de matériel permet à l’enfant de se libérer l’esprit et va favoriser l’émergence d’initiatives personnelles (essai/erreur).
L’enseignant doit rester attentif à l’emploi du matériel car la manipulation est nécessaire mais n’est pas source d’apprentissage. En effet, si l’enfant joue sans aucun but, il manipule mais l’action n’est pas finalisée, il n’y a pas d’enjeu : l’élève n’élabore pas de stratégies. Pour permettre l’apprentissage, il faut mettre en place des contraintes pour forcer les élèves à anticiper leur action, cela se traduit par une mise en situation de résolution de problèmes l’obligeant à s’investir intellectuellement.

LA MANIPULATION AU SERVICE DE LA RESOLUTION DE PROBLEMES

Selon Ney et al., « Le fondement de l’apprentissagedes mathématiques est la résolution de problèmes. Les élèves apprennent des mathématiques parce qu’ils résolvent des problèmes construits à cette effet. La résolution de problème  est non seulement possible, mais souhaitable dès l’école maternelle. » (Ney et al, 2006, p. 32).D’après les chercheurs du groupe ERMEL l’enseignant, peut proposer aux élèves une résolution de problèmes selon trois types de situations. Elles peuvent être construites par l’enseignant, rituelles ou encore fonctionnelles ; lorsqu’il s’agit d’un problème vécu, qui se pose dans la réalité de la classe.

Enjeux

Le rôle premier de la mise en place de résolution de problèmes est de donner du sens aux apprentissages. En effet, les différentes conditions de mise en œuvre de situation de résolution de problèmes « permettent d’affirmer que les nouvelles connaissances construites ont un sens pour l’élève parce qu’elles sont une réponse à la nécessité de remettre en cause les procédures acquises qui ne sont plus suffisantes pour résoudre le problème » (Ney et al, 2006, p. 34)
Comme les procédures antérieures ne sont plus suffisantes, il se produira alors un conflit sociocognitif chez l’élève lorsqu’il se rendra compte que sa procédure ne fonctionne pas dans ce cas-là. Le travail en groupe permettra de faire évoluer ses procédures de recherche. Cette dernière, facilitée par la manipulation, tient également une place primordiale car l’enseignant doit permettre à l’enfant de rechercher et tester plusieurs réponses pour mieux les rejeter si nécessaire afin de construire lui-même son savoir.

Mise en œuvre

Afin d’éveiller la curiosité des élèves, l’enseignant doit mettre en scène une fiction pour lancer la situation problème. Selon le principe de zone proximale de développement développé par Lev Vygoski, l’enseignant devra mettre en place uneactivité qui impose des contraintes, mais celles-ci doivent rester surmontables pour que l’élève s’implique dans la tâche et en tire un apprentissage. Ces contraintes doivent être incontournables pour que l’enfant soit en situation d’apprentissage concrète, pour qu’il soit confronté à un nouveau savoir. L’enseignant, tout comme l’élève, doit avoir recours à l’anticipation pour adapter ces contraintes au savoir qu’il souhaite développer chez ses élèves. Cette situation vise à prouver que le nouvel apprentissage est le moyen le plus efficace pour résoudre le problème proposé. L’enseignant développe chez ses élèves la prise d’initiative, il n’intervient que pour verbaliser les procédures avec ses élèves.
Ces échanges permettront à l’enseignant de mettre en avant les réussites, ou les difficultés rencontrées par les élèves. Le didacticien Thierry Dias (2012, p.66) accorde une place prépondérante à cette phase de verbalisation. En effet, celle-ci permet de mettre en avant la procédure correcte facilitant l’émergence de la notion travaillée.

LE LANGAGE DANS LA COMPREHENSION DES TACHES MATHEMATIQUES

Comme le rappelle le document d’accompagnement des programmes de 2002 cycle 2 deux langages sont utilisés en mathématiques, le langage usuel et le langage mathématique. En maternelle, « les problèmes doivent le plus souventêtre présentés aux élèves sous forme orale, si possible en appui sur une situation matérialisée. La même remarque peut être faite, quel que soit le cycle, pour les élèves dont le français n’est pas la langue maternelle et que le recours trop fréquent à des supports écrits risque d’exclure des activités mathématiques. » (Ministère de la Jeunesse, 2003 p.8). Certains élèves allophones ou nouvellement arrivés en France peuvent être bloqués face à des situations mathématiques, non pas parce qu’ils ne savent pas faire, mais parce que la langue fait obstacle à leur compréhension de la tâche Ce constat s’applique également aux enfants francophones. Selon Stella Baruk (2003, p. 41), la verbalisation est essentielle à la compréhension. Il faut « faire dire ce qui est ‘dans la tête’ » pour mettre en place une procédure de résolution deproblèmes. Cela signifie qu’à travers les activités de résolution de problèmes et la mise en place de manipulation, nous allons débuter un apprentissage précis du langage mathématique : plus que, autant que, moins que .

L’EMERGENCE DE LA PROBLEMATIQUE

En début d’année scolaire, dans cette classe de Grande Section, j’ai pu observer que de nombreux enfants rencontraient des difficultés à dénombrer et à faire des liens entre les différentes représentations des nombres inférieurs à 6 et entre autres, avec l’écriture chiffrée.
Aussi, je me suis interrogée sur comment faire pouraméliorer leurs compétences. Suite à mes diverses lectures, il en ait ressorti que pour ces élèves, le nombre n’a pas de sens, et qu’il faut donc lui en donner.
La résolution de problèmes correspond aux besoins de mes élèves, puisqu’elle développe l’envie d’utiliser le nombre. Néanmoins, je voulais un moyen de travailler le nombre qui permettent aux enfants de l’appréhender de manière kinesthésique et « ludique », tout en développant leur prise d’initiative. C’est pour cette raison que mon choix s’est porté sur la manipulation.
Ma problématique est donc née d’un regard croisé entre mes observations de classe et mes lectures. La manipulation dans une activité de résolution de problèmes semble être un bon outil pédagogique pour permettre aux élèves de donner du sens au nombre (dans son aspect cardinal) et à ses différentes représentations. Elle devrait permettre aux élèves de pouvoir procéder à des essais sans avoir peur de l’échec car la manipulation permet de recommencer et de s’autovalider. La verbalisation et les échanges autour de l’activité permettront aux élèves et au professeur des écoles de mettre des mots sur les difficultés constatées.
Ainsi, la question qui me semble intéressante à étudier est la suivante : En quoi la manipulation, dans le cadre d’une résolution de problèmes, permet-elle à l’élève de corriger ses procédures, facilitant ainsi l’acquisition de la notion de quantité et de ses différentes représentations ?
Avant de répondre à cette question, j’ai mis en avant deux hypothèses. Tout d’abord, on peut supposer que la manipulation dans le cadre d’une résolution de problème va permettre aux élèves de s’approprier la notion de quantité, en corrigeant leurs procédures de manière autonome, et en identifiant seuls les obstacles quiles ont conduits à une réponse erronée. La seconde hypothèse est que l’élève ne parviendra pasà remettre en cause seul sa procédure, la manipulation n’est pas autocorrective, mais elle facilitera la verbalisation des difficultés et la prise de conscience des obstacles.

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Table des matières
INTRODUCTION 
1. QUELQUES DEFINITIONS POUR MIEUX COMPRENDRE 
1.1. Qu’est-ce qu’un nombre ?
1.2. Qu’est-ce qu’un chiffre ?
1.3. Qu’est-ce que compter ?
1.4. Qu’est-ce que dénombrer ?
2. L’ENFANT ET LE NOMBRE 
2.1. La construction du concept de nombre avant Piaget
2.2. La construction du concept de nombre selon Piaget
2.3. De nouvelles recherches
3. L’ENFANT ET LA CONSTRUCTION DU NOMBRE
3.1. Les attentes institutionnelles : Programme de l’école maternelle 2015
3.2. L’apprentissage du dénombrement
3.3. Les différentes situations de vie de classe et l’usage du nombre
4. LES DIFFERENTES ETAPES DE L’APPRENTISSAGE MATHEMATIQUE
5. LA MANIPULATION AU SERVICE DE L’APPRENTISSAGE MATHEMATIQUE
5.1. Définition
5.2. Les stades sensori-moteur et préopératoire chez Piaget
5.3. Enjeux
6. LA MANIPULATION AU SERVICE DE LA RESOLUTION DE PROBLEMES
6.1. Enjeux
6.2. Mise en œuvre
7. LE LANGAGE DANS LA COMPREHENSION DES TACHES MATHEMATIQUES 
8. L’EMERGENCE DE LA PROBLEMATIQUE 
9. EXPERIMENTATION 
9.1. Participants
9.2. Matériel
9.3. Procédure
10. RESULTATS 
11. DISCUSSION 
11.1. Recontextualisation
11.2. Analyse des résultats
12. CONCLUSION
BIBLIOGRAPHIE 

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