L’algèbre comme « fil rouge » en classe de 4ème

L’algèbre comme « fil rouge » en classe de 4ème

Introduire l’algèbre de manière spiralaire

J’ai tenté de découper l’enseignement de l’algèbre en un maximum d’étapes possible, et de préparer très en amont une notion que j’allais aborder plus tard en leçon. Laborde (1989, p.197) insiste sur l’intérêt de « l’utilisation plus grande des formules de géométrie (périmètre, aire), d’économie quotidienne (prix, bénéfice, répartition…), voire de physique et de technologie, dans l’introduction et l’utilisation de l’algèbre ». J’ai pour ma part tenté d’en tenir compte en intégrant le plus possible la géométrie au sein du calcul littéral, dans ma progression.

Activité de groupe n°1 : traduire en langage naturel un problème modélisé sous forme algébrique 

• Prérequis : aucun, activité donnée en amont de toute leçon sur le calcul littéral.
• Objectif : valoriser le langage de l’élève (montrer qu’il n’y a pas une unique rédaction possible), donner du sens à un problème modélisé sous forme d’une équation et introduire aux conventions du calcul littéral en m’appuyant sur l’intuition de l’élève.
• Organisation pédagogique : le fait d’avoir deux classes de 4ème en demi-groupes de 15 élèves m’a permis de tester deux organisations pédagogiques différentes pour la même activité, en améliorant le dispositif d’un groupe à l’autre. Deux énoncés différents, A et B, sont distribués.

o Version 1 : Travail individuel et échange des rédactions par binôme
Etape 1 : Consigne : « Rédigez ce problème en français » Un élève rédige un énoncé du problème A, son binôme celui du B.
Etape 2 : Chacun tente de réécrire en langage algébrique l’énoncé initial du problème rédigé par son binôme.
Etape 3 : Mise en commun à l’oral

o Version 2 : Travail par groupes de 4 avec attribution de rôles à chacun (rédacteur, gardien du temps, gardien du silence, porte-parole)
Etape 1 : Consigne : « Rédigez ce problème comme vous le poseriez à votre petit frère ou votre petite sœur de 6ème ». Deux groupes rédigent le problème A, deux autres le problème B.
Etape 2 : Chaque groupe tente de résoudre l’autre problème qui a été rédigé par un autre groupe
Etape 3 : Mise en commun, pour le problème A, puis B, au tableau : à l’écrit (deux rédacteurs), puis à l’oral (deux porte-paroles). Validation des rédactions proposées après sollicitation des groupes qui ont eu à résoudre les problèmes rédigés.
Etape 4 : Trace écrite de la rédaction du groupe, une fois validée par la classe, recopiée individuellement par chaque élève.

• Comparaison des deux versions : étape de rédaction du problème Avec la première version, individuelle, trop d’élèves sont mis en difficulté dès l’étape 1 et ne rentrent pas dans le travail, la grande majorité ne répondent pas à la consigne, résolvent au lieu de reformuler, conservent la lettre ou se trompent dans l’interprétation des données (l’étape 2 est par ailleurs prématurée et devrait être abordée dans un second temps, dans le cadre du cours sur la mise en équation d’un problème).

Je suis donc passée très vite à la seconde version, collective, avec les autres demigroupes : sur une classe, 7 groupes sur 8 ont alors répondu correctement à la consigne et tous les groupes ont réussi à résoudre le problème rédigé d’un autre groupe (même celui mal rédigé, qui a été rectifié par le groupe sensé le résoudre).

• Travaux d’élèves tels qu’ils apparaissaient lors de la mise en commun de deux groupes au tableau (énoncé du problème initial projeté sur la partie centrale du tableau).

• Analyse a posteriori de l’activité (version 2)
Les élèves, notamment les plus en difficulté, se sont énormément investis dans cette activité. Le seul groupe (cicontre) qui n’a pas réussi à produire un énoncé cohérent était un groupe de bons élèves, mais qui sont restés « collés à la lettre » et se sont emmêlés dans l’énoncé du problème. Le groupe sensé résoudre ce problème a alors mis en lumière le problème de rédaction, mais a réussi tout de même à résoudre le problème (la correction a ensuite été faite par le groupe rédacteur).

L’activité a donc permis de mettre en évidence l’importance de la rédaction dans l’énoncé d’un problème. A la fin de la présentation au tableau des écrits de deux groupes différents, tous deux acceptés par la classe comme valides, j’ai dit aux deux groupes de recopier le texte sur leur fiche individuelle collée dans leur cahier. Un élève m’a alors demandé : « c’est lequel des deux le bon ? », et a semblé très surpris de découvrir qu’il n’y avait de multiples rédactions possibles, qu’il n’y avait pas qu’une seule bonne réponse. Les termes « soit », « que vaut N », « 3N », que les élèves avaient collectivement bien interprétés, ont permis de mettre en évidence vocabulaire et convention du calcul littéral (on peut enlever le signe × devant une lettre).

Mes principaux objectifs étaient donc atteints : valoriser les écrits des élèves ; mettre en évidence la multitude de rédactions possibles, mais également l’importance de cette rédaction pour restituer fidèlement le sens d’un problème ; introduire certaines conventions du calcul littéral. Je n’ai cependant pas eu/pris le temps de reprendre ces différents écrits pour en faire la synthèse, ce qui est donc resté en suspens.

Travail de recherche à la maison, avant d’aborder le calcul littéral

• Prérequis : activité donnée en amont de toute leçon sur le calcul littéral, connaitre la signification d’« entiers consécutifs ».
• Objectif : susciter le besoin du recours à la lettre, montrer que donner plusieurs exemples ne permet pas de généraliser.
• Organisation pédagogique : Travail donné à faire en devoir maison à rendre la semaine suivante
• Travaux d’élèves repris et projetés en classe pour introduire une leçon « prouver, généraliser »

• Analyse a posteriori
Ces travaux d’élèves (notamment sur la somme de cinq entiers consécutifs ci dessus), dont seuls une minorité (sans doute aidée par un parent) avait utilisé l’algèbre pour répondre à la question, ont permis de faire émerger l’intérêt du recours à la lettre pour généraliser une conjecture. Ils ont été l’occasion d’une mise au point sur les notions de conjecture, de preuve, de démonstration. Il est donc apparu pertinent d’introduire cette activité avant d’aborder le calcul littéral. Cependant, la notation d’un tel travail m’a posé problème : ceux qui avaient utilisé une expression littérale ont eu une meilleure note que ceux qui ne l’avaient pas fait, alors que l’objectif était de faire émerger un besoin, pas encore formalisé. Si c’était à refaire, j’aurais évalué différemment ce travail.

Activité de groupe n°2 : inventer un problème associé à une expression littérale

• Prérequis : activité donnée après un chapitre d’introduction au calcul littéral et après le chapitre sur les fractions.
• Objectif : donner du sens à la lettre, montrer qu’une même modélisation algébrique peut s’appliquer à une infinité de problèmes de la vie courante, encourager et valoriser le passage à l’écrit en langage naturel.
• Organisation pédagogique : Activité réalisée par groupes de 4 élèves avec attribution de rôles à chacun (rédacteur, gardien du temps, gardien du silence, porte parole)
Etape 1 : Chaque groupe invente et rédige un problème associé à l’expression littérale proposée
Etape 2 : Lorsque tous les groupes ont terminé le 1er problème, mise en commun des problèmes proposés au tableau : à l’écrit (4 rédacteurs), puis à l’oral (4 porte paroles). Validation ou non des rédactions proposées par la classe, à retravailler ensuite en groupe.
Etape 3 : Trace écrite de la rédaction du groupe, une fois validée par la classe, recopiée individuellement par chaque élève.
Etape 4 : Chaque groupe poursuit son travail d’écriture des quatre problèmes demandés et restitue la fiche de groupe au professeur en fin d’activité.

• Analyse a posteriori
Comme dans la première activité de passage d’un énoncé algébrique à une rédaction en langage naturel, les élèves se sont énormément investis dans cette activité. J’avais cette fois-ci imposé les groupes (hétérogènes) et précisé que l’activité serait notée. Tous, systématiquement, ont commencé par tenter de résoudre l’équation en faisant des essais, avant de passer à la création du problème. Il eut été intéressant de leur proposer un problème trop difficile à résoudre par essais successifs, pour leur montrer que l’on pouvait inventer un problème associé sans pour autant savoir le résoudre. Seul un des groupes (voir en annexe) n’a réussi aucun des trois problèmes. Je leur ai restitué leur feuille avec des annotations indicatives en leur donnant la possibilité de me soumettre d’autres propositions pour améliorer leur note. L’interprétation de 𝑦/4 a posé problème à plusieurs groupes. L’énoncer sous la forme « le quart de 𝑦 » ou « le quart de la valeur recherchée » a suffi à débloquer la majorité d’entre eux.

Faire le lien entre différents registres de langage

Tableau comparatif : différentes façons d’écrire et dire une expression littérale

• Prérequis : Activité donnée pour débuter la leçon sur les règles et conventions du calcul littéral.
• Objectif : Montrer qu’il y a plusieurs écritures possibles d’une même expression littérale et que « ça ne se prononce pas [toujours] comme ça s’écrit » (Baudart F. p.110).
• Organisation pédagogique : Tableau distribué aux élèves, collés en début de leçon sur le calcul littéral. Contenu projeté au tableau et rempli avec les élèves.
• Analyse a posteriori :
Ce tableau a été complété avec le professeur en classe en début de leçon. L’élève qui a rempli le tableau ci-dessus s’est bien approprié le contenu : il a écrit « ix » dans la colonne « se prononce », alors que j’avais proposé « x » dans la rédaction au tableau. Mais le contenu n’a pas toujours été assimilé par tous : de nombreux élèves, quelques semaines plus tard, n’avaient pas du tout intégré que 𝑥 et 1𝑥 représentaient la même chose, que 1(3 + 𝑥) et 3 + 𝑥 également… Ce travail aurait peut-être dû être suivi d’un travail similaire, mais à compléter de manière individuelle, pour une réelle appropriation de ces conventions.

Activités sur ardoise, dictées orales

• Prérequis : Vocabulaire « produit », « somme », « quotient », « différence », « facteur » acquis et règles de convention de calcul littéral abordées en leçon.
• Objectif : Pour l’élève : Permettre l’appropriation par la répétition de ce vocabulaire, des conventions d’écriture algébrique. Pour le professeur : Accéder instantanément aux notions non acquises, aux incompréhensions et malentendus des élèves.
• Organisation pédagogique : Ardoise ou pochette plastifiée faisant office d’ardoise et feutre velleda pour chaque élève. Énoncé dicté oralement par le professeur ou écrit au tableau selon le contenu travaillé. Collecte des diverses réponses au tableau pour comparaison et correction.
Exemples :
• Dictées orales : « 4 facteur de 𝑥 plus 3 », « le produit de 3 par la différence entre 32 et 7 », « 3 facteur de 𝑥 plus 5 » etc.
• Expressions littérales à réduire, aire, périmètre d’un rectangle à calculer etc.
• Analyse a posteriori :
Les dictées orales et activités sur ardoises ont pour moi l’immense avantage de donner visuellement, par le biais des « ardoises » (pochettes plastifiées contenant une feuille blanche sur laquelle les élèves peuvent écrire), un état des lieux, en quelques secondes, des réponses des élèves et des erreurs les plus fréquentes. C’est une occasion unique de noter toutes ces erreurs au tableau pour en faire l’analyse collectivement. Le point négatif est qu’aucune trace de ces activités n’est conservée…

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Table des matières

INTRODUCTION
1 Pourquoi ce sujet de mémoire ?
1.1 Une prise de conscience sur le terrain
1.2 Objectif et enjeux
2 Pistes de travail
2.1 « Banaliser » le recours à l’algèbre
2.1.1 Faire naitre le besoin du recours à la lettre
2.1.2 Aborder l’enseignement de l’algèbre de manière spiralaire
2.1.3 Montrer qu’une même modélisation algébrique peut s’appliquer à une infinité de problèmes de la vie courante
2.2 S’appuyer sur le langage de l’élève
2.2.1 Encourager le passage à l’écrit non normé et la création d’un écrit
2.2.2 Réutiliser les traces écrites des travaux réalisés
2.3 Créer des passerelles entre différents registres de langages
2.3.1 Les différentes façons d’écrire et de dire une expression littérale
2.3.2 Faire le lien entre langage naturel, langage mathématique et langage machine
3 L’algèbre comme « fil rouge » en classe de 4ème
3.1 Introduire l’algèbre de manière spiralaire
3.2 Activité de groupe n°1 : traduire en langage naturel un problème modélisé sous forme algébrique (cf. Annexe)
3.3 Travail de recherche à la maison, avant d’aborder le calcul littéral
3.4 Activité de groupe n°2 : inventer un problème associé à une expression littérale (cf. Annexe)
3.5 Activité de groupe n°4 (à venir) : mettre un problème en équation
4 Faire le lien entre différents registres de langage
4.1 Tableau comparatif : différentes façons d’écrire et dire une expression littérale
4.2 Activités sur ardoise, dictées orales
4.3 Activités flash / mentales
4.4 Activité Scratch : priorités opératoires et programmes de calcul (cf. Annexe)
4.5 Activité de groupe n°3 : passer d’un registre de langages à un autre (cf. Annexe)
5 Critique et évaluation
5.1 Un travail sur le langage difficile à évaluer, au détriment d’un travail plus technique et répétitif – mais nécessaire ?
5.2 Organisation pédagogique : un travail de groupe plébiscité
5.3 Niveau de difficulté des cours perçu par les élèves
5.4 Techniques de calcul littéral : deux évaluations à deux mois d’intervalle
5.5 Lien entre expression littérale et géométrie : trois évaluations sur deux mois et demi
6 CONCLUSION
BIBLIOGRAPHIE

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