La théorie des jeux classique

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Generalites

Espaces topologiques La topologie générale ne constitue un corps de doctrine cohérent que depuis un demisiècle ; elle est l’aboutissement d’un mouvement d’idées qui remonte à l’antiquité. Les notions de limite et de continuité s’imposèrent aux mathématiciens grecs dès qu’ils tentèrent de préciser la notion de nombre [17]. Définition 1.1.1. [29] Soit X un ensemble quelconque que nous appellerons support. On appelle topologie de X toute famille θ de sous-ensembles G ⊂ X satisfaisant aux axiomes suivants : 1. l’ensemble X lui mˆeme et l’ensemble vide Ø appartiennent à θ; 2. toute réunion S α Gα (finie ou infinie) et toute intersection finie Tn k=1 Gk d’ensembles de θ appartiennent à θ. L’ensemble X avec une topologie donnée θ, c-à-d, le couple (X, θ) s’appelle espace topologique. Nous désignerons le couple de la forme (X, θ) par la lettre X. Les ensembles appartenant à la famille θ sont dits ouverts. 6 Chapitre 1 Généralités Définition 1.1.2. [29] Les complémentaires des ensembles ouverts sont appelés ensembles fermés de l’espace topologique X. Des axiomes 1 et 2, il résulte, en vertu de la relation de dualité entre les ensembles ouverts et les ensembles fermés, que 1. Les ensembles ∅ et X sont des ensembles fermés. 2. Toute intersection (finie ou infinie) et toute réunion finie d’ensembles fermés sont des ensembles fermés. Définition 1.1.3. (Voisinage)[29][17] On appelle voisinage d’un point x ∈ X, tout sous-ensemble V de X contenant un ouvert contenant x. Ainsi tout ouvert contenant x est un voisinage de x. On appelle voisinage d’une partie A de X, tout sous-ensemble de X contenant un ouvert contenant A. On désigne, en général, par V(x) l’ensemble des voisinages V de x. 1.1.1 Intérieur, frontière d’un ensemble Définition 1.1.4. (Point adhérent)[39] Soit A une partie de X. On dit qu’un point x de X est adhérent à A, si tout voisinage de x rencontre A. On note A l’ensemble des points adhérents à A et on écrit : x ∈ A ⇐⇒ ∀V ∈ V(x), V ∩ A 6= ∅. Définition 1.1.5. (Fermeture d’un ensemble)[17] On appelle fermeture d’un ensemble A, le plus petit ensemble fermé de X contenant A. Cette définition permet de voir facilement que A ⊂ A, c’est-à-dire que tout point de A en est adhérent. Définition 1.1.6. (Point d’accumulation)[39] On dit que x est un point d’accumulation d’une partie non vide A, si tout voisinage de A contient un point de A autre que x, autrement dit, s’il est adhérent à A \ {x}. On appelle l’ensemble des points d’accumulation l’ensemble dérivé de A. On écrit : Page 7 Chapitre 1 Généralités x point d’accumulation de A ⇐⇒ ∀V ∈ V(x), V \ {x} ∩ A 6= ∅. Définition 1.1.7. (Points intérieurs, Intérieur d’un ensemble)[39] Soit A un sous-ensemble d’un espace topologique (X, θ). On dit que x ∈ A est un point intérieur à A, si A est un voisinage de x. L’intérieur de A (qu’on note int(A)) est l’ensemble des points intérieurs de A. C’est aussi la réunion éventuellement vide, de tous les ouverts contenus dans A. C’est donc le plus grand ouvert contenu dans A. Ainsi, on a la relation qui caractérise les ouverts : int(A) = A ⇐⇒ A est ouvert. Définition 1.1.8. (Frontière d’un ensemble)[39] Soit A un ensemble d’un espace topologiques X. On appelle frontière de A, le sous ensemble noté ∂A de X constitué des points adhérents à A et à son complémentaire. Plus précisément, un point x de X est un point frontière de A, si tous ses voisinages rencontrent A et CXA. On a ∂A = A ∩ CXA. Définition 1.1.9. (Espace séparé)[39] On dit qu’un espace (X, θ) est séparé (ou que la topologie est séparée), s’il satisfait à la condition suivante : pour tout x, y de X avec x 6= y, il existe un voisinage V de x et un autre W de y tels que V ∩ W = ∅. Un espace vérifiant cette condition est dit aussi espace de Hausdorff. 1.1.2 Espaces compacts La notion de compacité jouit d’une place très importante et particulière parmi les notions de l’analyse mathématique. Elle permet, entre autre, à plusieurs ˆetres mathématiques d’atteindre la majorité de leurs propriétés topologiques. C’est le cas, par exemple, des suites et des fonctions, en général. Définition 1.1.10. (Recouvrement)[39] Soient (X, θ) un espace topologique de Hausdorff et (Al)l∈L une famille de 2 X. On dit que (Al)l∈L est un recouvrement de l’espace X, s’il vérifie X = S l∈L Al . Page 8 Chapitre 1 Généralités On dit que (Al)l∈L est un recouvrement ouvert de X, si chacun des éléments Al de la famille (Al)l∈L est ouvert. Définition 1.1.11. (Espace compact)[17] On dit qu’un espace X est compact s’il est séparé et si de tout recouvrement ouvert de X on peut extraire un sous-recouvrement fini de X. Le théorème qui suit rassemble quelques résultats sur la compacité. Théorème 1.1.1. [29][17] 1. Dans un espace compact, toute suite de points possède au moins une valeur d’adhérence. 2. Si cette suite possède une seule valeur d’adhérence, la suite converge vers cette valeur. 3. Toute partie infinie A d’un espace compact X a au moins un point d’accumulation dans X. 4. Toute partie A de X qui n’a aucun point d’accumulation dans X est finie. 5. Tout sous-ensemble fermé d’un espace compact est un espace compact. 6. Un compact est fermé dans tout espace de Hausdorff qui le contient. 7. Pour toute application continue f d’un espace compact X dans un espace séparé Y, le sous-espace f(X) de Y est compact. 8. Soit X un espace compact et f une fonction continue sur X. Alors f est bornée sur X et atteint sa borne supérieure et inférieure. 9. Les compacts de R sont les parties fermées bornées de R. 10 Dans tout espace séparé, la réunion de deux compacts est un compact ; toute intersection de compacts est un compact. 11. Tout produit fini d’espaces compacts est compact. Définition 1.1.12. (Ensemble relativement compact)[17] On dit qu’une partie A d’un espace topologique de Hausdorff est relativement compacte si sa fermeture A est compacte. Définition 1.1.13. (Espace localement compact)[17] On appelle espace localement compact tout espace séparé X dont tout point possède au moins un voisinage compact.

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Définition (Jeu statique) On dit qu’un jeu est statique lorsque les joueurs choisissent leurs actions simultanément et re¸coivent ensuite leurs gains respectifs. Chaque joueur choisit son plan d’action complet au début du jeu et au moment de faire son choix il n’est pas informé des choix des autres joueurs. Définition 2.2.2. (Jeu dynamique) On dit qu’un jeu est dynamique lorsque les joueurs choisissent leurs actions alternativement, c’est-à-dire que chaque joueur considère son plan d’action non seulement au début Page 15 Chapitre 2 La théorie des jeux classique du jeu, mais plutˆot à chaque fois qu’il doit prendre une décision pendant le déroulement du jeu. Définition 2.2.3. (Jeu à information complète) Un jeu est dit à information complète, si chacun des joueurs connaˆıt la structure du jeu, c’est-à-dire : l’ensemble des joueurs, les préférences des joueurs, les règles du jeu et le type d’information qu’à chaque moment du jeu chaque joueur possède sur les actions entreprises par les autres joueurs au cours des phases précédentes. Si, au moins, un des joueurs ne connaˆıt pas entièrement la structure du jeu, le jeu est dit à information incomplète. Lorsqu’il y a une information complète, chaque joueur connaˆıt toutes les données du problème, pour lui et pour les autres. Toutefois, pour qu’un jeu soit totalement défini, il faut que ses règles précisent l’ordre des coups. Trois types de situations peuvent alors ˆetre envisagés : ¦ soit les joueurs font leurs choix de fa¸con séquentielle, dans un ordre précis fixé à l’avance ; ¦ soit ils prennent leur décisions simultanément ; ¦ soit ils font face à des situations mixtes, avec des coups successifs et des coups simultanés. Définition 2.2.4. (Jeu à information parfaite) Un jeu est dit à information parfaite, si chacun des joueurs, au moment de choisir sa stratégie, a une connaissance parfaite de l’ensemble des décisions prises antérieurement par les autres joueurs. Un jeu est à information imparfaite, si au moins un des joueurs ne connaˆıt pas, à un moment du déroulement du jeu, ce qu’a joué un des autres joueurs.

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Table des matières

Table des matières
Introduction générale
1 Generalites
1.1 Espaces topologiques .
1.1.1 Intérieur, frontière d’un ensemble .
1.1.2 Espaces compacts
1.2 Espace métrique .
1.2.1 Boules et diamètres
1.2.2 Ensembles compacts dans un espace métrique
1.3 Correspondance
2 La théorie des jeux classique
2.1 Qu’est ce qu’un jeu ?
2.2 Types de jeux .
2.3 Jeux sous forme extensive
2.4 Jeux sous forme normale
2.4.1 Jeux finis à N joueurs
2.4.2 Jeux finis à deux joueurs
2.4.3 Jeux symétriques à deux joueurs
2.5 Notions de stratégies .
2.5.1 Stratégies pures . .
2.5.2 Stratégies mixtes
2.6 Concepts de solution .
2.6.1 Equilibre de Nash en stratégies pures
2.6.2 Equilibre de Nash en stratégies mixtes .
2.6.3 Equilibre en stratégies dominantes .
2.6.4 Pas d’équilibre, trop d’équilibres .
2.6.5 Correspondance
2.7 Application de la théorie des jeux .
2.8 Conclusion
3 La théorie des jeux évolutionnaires
3.1 Pourquoi la théorie des jeux évolutionnaires ?
3.1.1 Objectif
3.1.2 Problème de sélection d’un équilibre
3.1.3 Problème d’hyper-rationalité des individus
3.2 Définitions et Concepts
3.3 Définition des fonctions de gains
3.4 Stratégie évolutionnairement stable .
3.4.1 Définition d’une ESS
3.4.2 ESS dans le jeu du Faucon et de la Colombe (Hawk and Dove)
3.5 Comparaison .
3.6 Conclusion .
4 Caractérisation des stratégies évolutionnairement stables
4.1 Propriétés des stratégies évolutionnairement stables
4.1.1 Propriétés .
4.1.2 Stratégies neutralement stables
4.1.3 Stratégies évolutionnairement robustes
4.1.4 Caractérisation des ESS
4.1.5 Structure de l’ensemble des ESS .
4.1.6 Efficacité dans les jeux doublement symétriques .
4.2 Etude dynamique
4.2.1 Dynamique des populations
4.2.2 Modèles de replication dynamique .
4.2.3 Stabilité de la réplication dynamique et ESS
4.3 Conclusion
5 Jeux évolutionnaires dans les problèmes de concurrence d’entreprises 
5.1 Economie en théorie des jeux évolutionnaires
5.2 Modèle de jeu évolutionnaire
5.2.1 Eléments du modèle
5.2.2 Dynamique
5.3 Modélisation d’un conflit routier sous forme d’un jeu .
5.3.1 Modélisation du conflit .
Table des matières
5.3.2 La dynamique évolutionnaire du conflit des routiers
5.3.3 Problématique de l’intervention de l’Etat
5.3.4 Le jeu évolutionnaire avec intervention de l’Etat
5.4 Conclusion .
Conclusion Generale
Bibliographie

 

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