Soutenance mémoire
Problématiser en mathématiques
La résolution de problème occupe une place centrale dans les programmes de mathématiques. Elle permet de donner du sens aux connaissances enseignées en les inscrivant dans un contexte concret qui « parle » aux élèves (« Les situations sur lesquelles portent les problèmes sont, le plus souvent, issues d’autres enseignements, de la vie de classe ou de la vie courante.»)
Le problème joue également un rôle fondamental dans l’évaluation : « la résolution de problèmes constitue le critère principal de la maîtrise des connaissances dans tous les domaines des mathématiques ». Cette fonction évaluatrice est lié l’idée de compétence. En effet, la maîtrise d’une compétence, qu’elle soit mathématique ou non, se mesure à la capacité de l’élève à mobiliser ses ressources et à les transférer dans un autre contexte « pour accomplir une tâche ou faire face à une situation complexe ou inédite».
La résolution de problèmes joue donc un rôle important mais qu’en est-il de la construction de problème ? Elle seule, nous l’avons vu, peut être qualifiée de problématisation au sens fort.
Les programmes lui réserve une place sous la forme des « problèmes pour apprendre à chercher » ou « problèmes ouverts » selon la terminologie de l’équipe de l’IREM de Lyon qui en popularisé l’usage . D’après les programmes de cycle 3, il s’agit de problèmes :
a) « qui ne [sont] pas directement reliés à la notion en cours d’étude »
b) « qui ne comportent pas forcément une seule solution »
c) « qui ne se résolvent pas uniquement avec une ou plusieurs opérations mais par un raisonnement et des recherches par tâtonnements».
D ‘après a), on voit que la fonction des ces problèmes diffère de la fonction habituellement donnéeaux problèmes mathématiques dans les progressions construites par l’enseignant : l’objectif visé n’est ni la découverte planifiée de nouvelles notions (ce qui distingue les problèmes ouverts des situations-problèmes) ni la systématisation des connaissances. Ces problèmes visent un objectif d’ordre méthodologique : initier les élèves à la démarche d’investigation scientifique.
D’après b), on peut dire que la réussite dans ce type d’exercice ne consiste pas à trouver la bonne réponse. Un problème dont la résolution n’est pas univoque invite à interpréter les données et les conditions du problème. Nous sommes donc face à une véritable construction de problème ou problématisation. C’est la fonction heuristique qui est mise en avant et non le savoir comme contenu propositionnel. En outre, si plusieurs solutions sont possibles alors on peut supposer que des solutions différentes seront proposées par les élèves donc que ce type de problèmes favorise le débat, l’élaboration collective et l’argumentation. Il me semble qu’on peut relier la pratique du problème ouvert à une compétence mentionnée dans les programmes de mathématiques mais qui ne fait l’objet d’aucun développement : « progresser collectivement dans une investigation en sachant prendre en compte le point de vue d’autrui ». Cette capacité à raisonner de manière dialogique et collaborative peut-être à son tour rapprochée du concept central de la philosophie pour enfants de Matthew Lipman : la « communauté de recherche philosophique » (CRP) et son avatar mathématique, la « communauté de recherche philosophique appliquée aux mathématiques » (CRPM).
La caractéristique c) situe le problème ouvert à l’opposé d’une interprétation réductrice du problème scolaire selon laquelle résoudre un problème consiste essentiellement à choisir le bon calcul et à l’effectuer. Le problème ouvert permet aux élèves d’exercer le raisonnement mathématiques et les initie à la démarche par essais et erreurs.
Problématiser en mathématiques peut donc signifier:
1) résoudre un problème, mais l’emploi en ce sens me paraît peu approprié ;
2) construire ou élaborer un problème dans le cadre d’un problème ouvert. Avec les problèmes « pour apprendre à chercher », nous disposons donc d’un espace pour exercer les élèves à la problématisation dans sa dimension heuristique. C’est la raison pour laquelle dans mon expérimentation en classe, j’ai fait le choix d’utiliser ce type de problèmes etessayé d’articuler leur traitement avec des DVP sur des sujets mathématiques ;
3) inventer un problème. Dans le cadre de mon expérimentation, j’ai également proposé une activité d’invention de problème. J’analyserai plus loin si les auteurs des problèmes effectuent une authentique problématisation ou non.
État des lieux de la recherche
Le problème comme paradigme éducatif
Selon Michel Fabre (2009), le paysage éducatif actuel est marqué par l’émergence du « paradigme du problème » : « Dans son acception positive, le vocabulaire du problème envahit l’éducation et la formation. A l’école, on peut parler d’une véritable injonction à problématiser. Les programmes et instructions diverses incitent désormais les enseignants à construire leurs cours autour de problèmes, à mettre en place des situations d’apprentissages permettant aux élèves de résoudre des problèmes, voire de les poser et de les construire (situations-problèmes, débats scientifiques, littéraires…) ». Fabre retrace la genèse de ce paradigme à travers l’analyse de quatre philosophies (celles de John Dewey, de Gaston Bachelard, de Gilles Deleuze et de Michel Meyer) où il voit à l’œuvre une « véritable critique de la raison pédagogique ». A travers ces philosophies, se dessine une image alternative du savoir scolaire qui valorise l’apprendre, la recherche et l’enquête plutôt que la mémorisation des réponses et l’application de méthodes déjà éprouvées: « qu’il existe quelque chose comme un savoir questionner, complètement différent du savoir répondre, c’est la leçon fondamentale que délivrent toutes les problématologies étudiées»
Mais peut-on enseigner la problématisation ?
La PPE comme moyen de développement des capacités cognitives au sein d’une communauté de recherche (Lipman)
Selon Matthew Lipman, l’objectif de l’enseignement ne devrait pas être la transmission de savoirs déjà constitués mais l’initiation à la démarche d’investigation et le développement des compétences de jugement et de raisonnement. En tant que discipline générique dont l’objet est de « rechercher les caractéristiques génériques de la justesse du raisonnement » , la philosophie doit jouer un rôle fondamental au sein de la « formation cognitive » des élèves.
Concernant l’articulation de la philosophie aux disciplines scolaires qui nous intéresse plus particulièrement, Lipman souligne que l’examen des « normes et des critères » mené dans le cadre des DVP permet d’aborder les disciplines de manière « critique et réfléchie » : « Pour enseigner une discipline de façon critique et réfléchie, il faut en explorer les présuppositions logiques, morales, épistémologiques, esthétiques et métaphysiques, après quoi les élèves s’apercevront que les matières qu’ils étudient ont une unité et une continuité beaucoup plus grande que ce n’était le cas auparavant ».
La « reflexion critique » que permet de développer l’enseignement de la philosophie selon Lipman peut être, selon moi, rapprochée de l’idée de problématisation. « La réflexion critique, écrit Lipman, est un mode de réflexion autocorrectif perméable au contexte et s’appuyant sur des critères en vue d’émettre des jugements » . Il me semble que l’on pourrait tout aussi bien parler de problématisation dans la mesure où l’on retrouve les quatre critères identifiées par Fabre : examen d’une question, interprétation de données à partir de modèles conceptuels, réflexivité et visée heuristique.
En outre, je reprends à Lipman l’idée d’une transformation de la classe en «communauté de recherche » où « les élèves s’écoutent mutuellement avec respect, s’empruntent des idées les uns aux autres, s’encouragent à justifier leurs positions qui sans cela, seraient sans fondement, s’entraident pour tirer les conclusions de ce qui a été dit et essaient de comprendre ce que les autres ont voulu dire » . La « communauté de recherche » est un type d’organisation qui permet de mettre en œuvre et de rendre observable une problématisation intersubjective. Les conduites discursives des individus en son sein permettent d’observer les degrés d’émergence d’une réflexion critique et d’une véritable problématisation.
La philosophie pour enfants adaptée aux mathématiques
Les recherches de Marie-France Daniel
Les recherches menées au Quebec par l’équipe de Marie-France Daniel ont démontré que les enfants du primaire sont capables de philosopher sur les mathématiques et les sciences. S’inscrivant dans le sillage du programme de Philosophie pour enfants (PPE) de Lipman, M.-F. Daniel a mis au point, en collaboration avec des didacticiens des mathématiques, un matériel pédagogique permettant d’organiser des séances de Philosophie pour enfants adaptée aux mathématiques (PPEM). Ce matériel pédagogique se compose d’un roman philosophique, Les aventures mathématiques de Mathilde et Davidet d’un guide pédagogique, Philosopher sur les mathématiques et les sciences, présentant des exercices et des plans de discussion pour l’exploitation pédagogique du roman en classe.
Les aventures mathématiques de Mathilde et David se présente comme un roman philosophique à destination des 9-12 ans dans la lignée des romans de Matthew Lipman, comme La découverte de Harry Stottlemeier ou Pixie. Son objectif est de favoriser un apprentissage critique et réfléchi des mathématiques à partir d’une entrée narrative qui permet aux enfants d’appréhender les notions en contexte à travers le vécu de personnages de fiction. Il est conçu pour être exploité en classe selon une démarche en trois étapes: lecture du texte par les élèves, formulation des questions philosophiques qu’ils souhaitent discuter, discussion de ces questions dans le cadre d’une communauté de recherche philosophique (CRP).
J’ai utilisé ces ouvrages pour mener certaines des séances de mon expérimentation, sans toujours respecter la démarche recommandée quand celle-ci ne correspondait pas à mes objectifs de recherche.
Recueil de données
Contexte d’investigation
L’investigation a été menée au sein de mon lieu de stage en responsabilité : une classe de CM1 de l’école primaire Victor Hugo-Maintenon de Lambersart, situé dans l’ancien quartier ouvrier de Canteleu, limitrophe du quartier Bois Blancs de Lille. Le projet d’école, rédigé en 2014, fait état d’une « population très hétérogène ». Sa prise en compte constitue le premier axe prioritaire du projet. La mise en place d’ateliers de philosophie constitue l’une des actions pédagogiques mises en œuvre pour atteindre cet objectif. Ce même projet fait état dans sa partie diagnostique de carences en résolution de problèmes mathématiques et préconise d’y répondre par le « développement de la démarche d’investigation » et l’ « apprentissage de la problématisation ». Notre expérimentation s’inscrit dans le cadre de ces deux actions.
Dans ma classe de 27 élèves dont l’effectif est majoritairement féminin (19 filles pour 8 garçons), 19 élèves ont pratiqué la philosophie en classe de CE2 dans le cadre d’un projet de «classe citoyenne». Ces ateliers se sont déroulés sous la direction d’un intervenant extérieur, professeur de philosophie à la retraite.
Dispositif
Les données ont été recueillies au cours de huit séances menées en première personne qui se sont déroulées de décembre 2016 à avril 2017 sans périodicité fixe. Ces séances se sont déroulées en classe entière dans la salle de classe et, pour une séance, dans la salle polyvalente de l’école. Afin de distribuer la parole, il a été fait usage d’un bâton de parole. J’ai fait le choix de ne pas recourir à des rôles sociaux pour ne pas alourdir le dispositif.
Les séances ont fait l’objet d’un enregistrement audio. Elles ont été intégralement retranscrites à partir de cette source en adoptant les conventions de Vion (1992). Certaines activités ont donné lieu à des traces écrites dont on trouvera des exemples en annexe du présent dossier. Enfin, un questionnaire a été proposé aux élèves afin qu’ils expriment leurs jugements sur la philosophie, les mathématiques et leurs relations.
Déroulement de la séquence
La séquence alterne des discussions à visée philosophique sur des sujetsmathématiques et épistémologiques, des activités mathématiques en collectif et des discussions sur ces activités.
Séance 5
Pour cette séance j’ai de nouveau utilisé comme support Les aventures mathématiques de Mathilde et David. J’ai fait le choix de proposer moi-même la question qu’allaient discuter les élèves (« Quand on fait des mathématiques, est-on libre de penser par soi-même ? ») afin de gagner du temps. Mon objectif était de mettre en évidence le « rapport au savoir » des élèves et de les faire réfléchir au rôle de la recherche en mathématiques.
Le début de la séance se caractérise par le déroulement d’un dialogue non critique qui traduit l’absence de problématisation. Les élèves répondent à la question posée par « oui » ou par « non » de manière unilatérale, sans questionner les termes de la question et sans mettre en relation leurs propositions :
Séance 8
Cette séance s’est déroulée en trois temps. Dans le premier, j’ai demandé aux élèves d’inventer un problème mathématique puis d’échanger le problème produit avec leur voisin afin de tenter de le résoudre. Dans un deuxième temps, nous avons discuté de la difficulté respective de l’invention et de la résolution de problèmes et des qualités qu’elles nécessitent. Pour ces deux premières phase, je me suis basé sur une activité proposée par l’équipe de M.-F. Daniel . Mon objectif était de faire prendre conscience aux élèves des différentes dimensions de la problématisation et de susciter des attitudes métacognitives. Enfin, dans le dernier temps de la séance, j’ai proposé aux élèves un questionnaire permettant de faire un bilan sur les activités menées en philosophie des mathématiques.
Cette séance relève donc des métadiscussions que Kennedy appelle « talking about doing mathematics ».
On peut partager les problèmes produits en deux grandes catégories : ceux qui sont correctement construits donc résolvables (à condition de disposer des compétences mathématiques nécessaires) et ceux qui comportent des problèmes de conception et qui ne peuvent pas être résolus sinon au prix d’hypothèses et d’inférences afin de reconstruire l’intention de départ de l’élève. Au moment de la résolution, les élèves se sont donc retrouvés face à deux sortes de difficultés : soit ils ne comprenaient pas le problème proposé, soit ils le comprenaient mais ne disposaient pas des connaissances leur permettant de le résoudre.
Est-ce qu’inventer des problèmes permet aux élèves d’apprendre à problématiser ?
Au vu des problèmes produits, j’aurais tendance à dire que non ou tout du moins que l’invention ne suffit pas. La plupart des problèmes produits reprennent la structure des problèmes liés à la notion en cours d’étude en modifiant le contexte et les données. En revanche, j’ai observé chez les élèves confrontés à des problèmes mal conçus un surcroît de recherche et de réflexion qu’on pourrait comparer à l’attitude d’un sujet face à une énigme.
Il me semble également que l’apport en termes d’apprentissage de la problématisation est plus important dans l’examen réflexif qui suit l’activité d’invention que dans l’activité ellemême. Autrement dit, inventer des problèmes n’aide les élèves à problématiser qu’à condition de les faire réfléchir ensuite sur leur activité et échanger avec leur pairs. C’est l’examen métacognitif des procédures d’invention et de résolution de problèmes qui peut produire des effets.
Analyse du questionnaire
Le questionnaire a été proposé aux élèves en conclusion de la dernière séance. Il est composé de deux parties : trois questions fermées à choix binaires et quatre questions à échelle d’appréciation (échelle de Likert en cinq points). 52 % des élèves ( 14 sur 27) s’accordent à dire que « réfléchir à des questions philosophiques peut [les] aider à mieux réussir en mathématiques ». Ils sont seulement 26% à ne pas être d’accord avec cette proposition. 22 % (6 élèves) n’ont pas d’opinion. Une majorité reconnaît donc l’utilité de la philosophie pour les mathématiques.
En revanche, 45% des élèves sont opposés à l’idée selon laquelle « quand je cherche la solution à un problème mathématique, je réfléchis de la même manière qu’en philosophie ». Seulement 29 % sont d’accord avec cette proposition. 26 % sont sans opinion. Ce résultat n’est pas très étonnant si on considère l’importance que les élèves accordent au calcul dans la résolution de problèmes, importance qui ressort particulièrement dans les échanges.
En ce qui concerne le rôle de la discussion, 59 % des élèves jugent qu’elle est utile pour examiner une question philosophique. Un peu plus d’un quart (26%) considère tout de même qu’elle ne l’est pas. La répartition est à peu près équivalente en ce qui concerne l’utilité de la discussion pour résoudre des problèmes mathématiques : 62 % des élèves estiment que la discussion est utile, 22 % qu’elle ne l’est pas, 16 % n’ont pas d’opinion.
Limites de l’investigation
Pour donner des résultats plus fiables, cette expérimentation aurait du être menée sur une période plus longue et sur un nombre plus important de séances. En effet, je n’ai pu mener qu’une séance de résolution de problème ouvert, par conséquent, il est difficile de tirer des conclusions sur les compétences philosophiques qu’ont pu y transférer les élèves.
Par ailleurs, je pense qu’il aurait fallu cibler des objectifs d’apprentissage plus précis pour chaque séance, en accordant une attention particulière à chaque dimension de la problématisation. Cela aurait nécessité des lectures plus approfondies en didactique des mathématiques et une préparation plus importante des séances, notamment en ce qui concerne mon animation. Une réflexion plus approfondie sur le rôle du maître dans la problématisation (à travers les différentes formes de sollicitations des habiletés cognitives des élèves) aurait donné de meilleurs résultats.
Confrontation des résultats avec les hypothèses de départ
Je peux maintenant examiner mes trois hypothèses de départ à la lumière des résultats obtenus lors des séances.
1) Les progrès observés au niveau des conduites discursives des élèves permettent d’affirmer que la pratique de la philosophie en communauté de recherche contribue à l’apprentissage de la problématisation. Au fur et à mesure des séances, les élèves sont de plus en plus capables d’examiner les dimensions d’une question en tenant compte des propositions de leurs pairs, de s’engager dans une recherche et de réfléchir à leur propres arguments à la lumière de ceux des autres.
Il serait déraisonnable de soutenir que la philosophie puisse être une « méthode générale de problématisation » permettant de répondre à tous les problèmes théoriques et pratiques susceptibles de se poser à un sujet, du diagnostic médical au dilemme moral en passant par le problème scientifique. Toutefois, si on considère le cadre des problèmes scolaires tels qu’ils se manifestent dans les différentes disciplines, il me semble que la démarche philosophique constitue la démarche transversale la plus satisfaisante pour les traiter.
2) L’investigation menée ne m’a pas permis de vérifier qu’en partie que l’habitude de problématiser en philosophie aide les élèves à problématiser en mathématiques. Dans le cadre de la résolution d’un problème ouvert, j’ai certes constaté des transferts d’habiletés philosophiques comme la justification, l’argumentation ou la contradiction. Néanmoins, il m’a parfois semblé que l’influence du cadre philosophique empêchait les élèves de se livrer à une véritable problématisation mathématique au profit de considérations plus générales sur ce à quoi devrait ressembler une résolution du problème. D’autres séances seraient nécessaires afin de mesurer l’influence réelle de la philosophie sur la résolution de problèmes mathématiques.
3) L’attitude des élèves et leurs réponses au questionnaire montrent que philosopher sur des sujets mathématiques permet aux élèves de construire des liens entre philosophie et mathématiques et facilite le transfert des habiletés développés dans les DVP dans un autre contexte.
Bilan réflexif
Un horizon : la classe philosophique
Dans mon projet de mémoire, rédigé avant mon stage en responsabilité, je mentionnais mon désir d’aborder la philosophie non seulement comme un exercice ponctuel mais comme « une clef de voûte de l’organisation des apprentissages ». Je souhaitais mettre à profit mon cursus universitaire dans ce domaine pour construire progressivement « une approche philosophique de l’enseignement au primaire en général » qui permette aux élèves d’entretenir un rapport réflexif aux apprentissages et de donner du sens aux savoirs disciplinaires. Je considère le présent travail de recherche comme une première étape dans la construction de l’identité professionnelle que je projette. A travers cette expérimentation, je me suis donc engagé dans une « démarche individuelle de développement professionnel », selon l’intitulé de la compétence 14 du Référentiel des compétences professionnels des métiers du professorat et de l’éducation, que je souhaite poursuivre dans les années à venir.
La recherche d’une organisation pédagogique favorable à la philosophie
L’expérience apportée par mon stage m’a permis de prendre conscience du fait que le rapport philosophique au savoir que je souhaite instaurer ne peut exister qu’au prix d’une réorganisation pédagogique et matérielle de la classe. Elle requiert de rompre avec « les modèles ordinaires de l’enseignement qui placent un adulte en situation de maîtrise face à des enfants (…) identifiés par leur ignorance ». C’est la raison pour laquelle j’ai mis en place un certain nombre de démarches issues des pédagogies coopératives qui entrent en résonance avec la DVP (messages clairs, conseil d ‘élèves, « Quoi de neuf ? »). Toutefois, je ne suis pas certain que la pédagogie coopérative corresponde tout à fait à la forme que je recherche dans la mesure où elle met l’accent sur la citoyenneté démocratique plutôt quesur l’intersubjectivité critique de la communauté scientifique que je souhaite prendre pourmodèle. Je pense avoir essayé d’ « organiser un mode de fonctionnement du groupe favorisant l’apprentissage et la socialisation des élèves » (compétence P4) bien qu’il me reste beaucoup à faire pour impliquer tous les élèves dans les DVP. Il me faut encore expérimenter d’autre dispositifs permettant de réduire la passivité de certains élèves (recours aux rôles sociaux).
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Table des matières
Introduction
1 Problématique
1.1 Présentation de la problématique
1.2 Définition des concepts
1.2.1 « Problème »
1.2.2 « Problématiser »
1.3 Problématiser en philosophie
1.4 Problématiser en mathématiques
1.5 État des lieux de la recherche
1.5.1 Le problème comme paradigme éducatif
1.5.2 Enseigner la problématisation ?
1.5.3. La PPE comme moyen de développement des capacités cognitives au sein d’une communauté de recherche (Lipman)
1.5.5 La philosophie pour enfants adaptée aux mathématiques
a) Les recherches de Marie-France Daniel
b) Les recherches de Nadia S. Kennedy
1.6 Hypothèses
2 Recueil de données
2.1 Contexte d’investigation
2.2 Dispositif
2.3 Déroulement de la séquence
2.4 Analyse des séances
2.4.1 Méthodologie
2.4.2 Séance 1
2.4.3 Séance 2
2.4.4 Séance 3 et 4
2.4.5 Séance 5
2.4.6 Séance 6
2.4.7 Séance 7
2.4.8 Séance 8
2.5 Analyse du questionnaire
2.6 Limites de l’investigation
2.7 Confrontation des résultats avec les hypothèses de départ
3 Bilan réflexif
3.1 Un horizon : la classe philosophique
3.2 La recherche d’une organisation pédagogique favorable à la philosophie
3.3 Apports sur les plans pédagogique et didactique
Conclusion
Bibliographie
Abréviations utilisées
Annexes
