La notion de fraction: une notion complexe

Difficultés reliées aux mécanismes d’apprentissage

   Alors que certains auteurs s’attaquent a la notion même de fraction pour expliquer les difficultés rencontrées par les enfants, d’autres, comme Piaget (1966) et Dienes (1966), croient que les difficultés relèvent davantage des étapes du processus d’apprentissage. Chassagny (1963) et Hasemann (1981) s’entendent eux aussi pour dire qu’on n’aide pas les enfants à comprendre les notions mathématiques, ce qui entraîne des erreurs.
Les conditions d’apprentissage Plusieurs chercheurs croient qu on doit creer une situation d’apprentissage qui favorise la construction des notions mathématiques par l’enfant (par exemple Bemelmans, 1978; Bruner, 1966,1973; Héraud, 19 79). 1 ‘apprentissage d’ u ne notion mathématique se Pour fait eux en respectant une série d ‘ étapes. Les étapes p roposées par les auteurs sont différentes. Cependant on cons tate un certain consensus con cernant une séquence de trois étapes. Il s’agit de l’étape du concret, du semi-concret et de l’abstrait. Ainsi, selon les auteurs, l’enfan t doit d ‘ ab ord comprendre la notion en manipulant les concrétisatio s de celle-ci (concret). Ensuite il doit avoir la possibi lité d’agir surune représentation graphique de cette notion (semi-concret). Finalement, il doit en arriver à résoudre, mentalement, des problèmes en n’utilisant que des symboles mathématiques (abstrait). En somme, 1 ··apprentissage des fracti ons pose problème sur deux plans: la complexité de la notion nécessité de tenir compte d es étapes d’apprentissage. elle-même et la du processus La question qui se pose maintenant 2st de savoir s’il est possible de faciliter 1 ‘appre ntissage ce la notion de fraction.

Suggestions des chercheurs pour faciliter l’apprentissage

  Des chercheurs se sont intéressés aux éléments qui peuvent faciliter l’apprentissage de la notion de fraction.Payne (1976) a recense les plus importantes recherches effectuées sur cette question depuis 1968. Ces recherches analysent différentes approches et différents matériels de manipulation utilisés pour faciliter l’apprentissage des fractions. On retrouve aussi, chez les concepteurs, une orientation pédagogique visant le respect de trois étapes du processus d’apprentissage des enfants {concret, semi-concret, abstrait). Cependant 1 ‘analyse de quelques documents disponibles au Québec d~montre des failles concernant les activités reliées a chaque étape du d’apprentissage. Il semble donc y avoir une processus certaine contradiction entre les orientations et le contenu des documents. Il ne s ‘ agit pas, seulement, de préconiser le respect des étapes du processus d’apprentissage, mais encore faut-il avoir les moyens de les actualiser. Parmi les obstacles que les concepteurs de matériels pédagogiques rencontrent, notons le devis du ministère de l’Education du Québec. Les contraintes reliées à ce devis ne facilitent pas l’élaboration de documents permettant aux enfants de vivre chacune des étapes du processus d ‘ apprentissage et n’encouragent pas, non plus, l ‘évaluation des documents produits avant leur mise en marché. Cette situation est déplorable, lorsque l’on considère les efforts des chercheurs, tels Tyler {1949) et Komoski {1971), pour démontrer l ‘importance de l ‘évaluation des documents destinés à l ‘ enseignement.

Difficultés reliées aux étapes du processus d’apprentissage

  Dans cette section ll sera question des difficultés concernant 1 ‘apprentissage proprement dit. La première partie touche les étapes du seconde traite des erreurs troisième aborde les modes processus d ‘ apprentissage, commises par les enfants, d’évaluation dans le but de vérifier les apprentissages et la dernière fait le lien entrele type d’apprentissage et le type d’enseignement.Dans le premier chapitre, plusieurs préconisent un enseignement respectueux des processus d’apprentissage ont été présentés. étapes font l’objet d’un consensus: le auteurs étapes  semi-concret et l’abstrait. La section qui suit situe ces étapes par rapport aux différents auteurs traitant du processus d’apprentissage.
Etapes du processus d ‘ apprentissage Plusieurs chercheurs se sont intéressés aux différentes étapes que 1 ‘enf ant franchit lors de 1 ‘acquisition de nouvelles connaissances. Cette section présente les différences entre les auteurs concernant les étapes d’apprentissage, mais permet aussi de dégager des ressemblances. Dienes (1966) propose de présenter les notions mathématiques en respectant six étapes: 1 ‘ exploration; les jeux structurés; les jeux isomorphes; la représentation, l a symbolisation et la formalisation. Dans la même perspective, Mialaret (1967) langage suggère quatre étapes: la nature l’introduction de la description en schématisation, 1 ‘introduction du graphisme et la traduction symbolique de 1 ‘opération. Quant à Piaget, il a tenté, dans ses nombreuses études, de démontrer comment l’enfant apprend {Piaget 1961, 1966, 1969, 1975, 1977). Il en arrive a conclure que l’enfant fait l’acquisition de nouvelles connaissances parce qu’il est placé face à une difficulté quelconque qui cree chez lui un déséquilibre. Dans ses efforts pour rétablir 1 ‘équilibre, l’enfant est amene a élaborer de nouveaux schèmes cognitifs. Il réalise ainsi des apprentissages qui seront éventuellement réinvestis lorsqu’une situation similaire se présentera. Piaget (1966) traite, notamment, de quatre niveaux d’abstraction qui permettent ‘ a l’enfant de s’approprier la connaissance: les niveaux d’abstraction empirique, pseudo-empirique, réfl échissante et réfléchie. Pour rendre compte des processus d’apprentissage, Bemelmans (1978), s’inspirant de la conception piagétienne, retient trois étapes: l’action, la symbolisation et 1 ‘abstraction. Bruner (1966: cité dans Bergeron, 1980) rejoint Bemelmans, lorsqu’il mentionne l’action, l’image et le symbole, comme principales ét:apes de 1 ‘élaboration des connaissances.Dans 1 ‘ apprentissage de la notion de fraction, comme dans celui des autres notions mathématiques, il y aurait au moins trois étapes. La première, qui permet a l’enfant de manipuler des représentations concrètes de (concret); la seconde, où l’enfant a l’occasion la notion d’agir sur une représentation graphique de 1 ‘objet (semi-concret); la dernière, où il peut travailler sur les symboles (Gunderson et Gunderson, 1957).  Ces étapes ont été respectées dans un document produit lors d’une recherche antérieure (Picard, 1983). L’objectif était alors d’élaborer un document portant sur les fractions équivalentes au niveau de la Se année. Les étapes du processus d ‘ apprentissage occupaient une place importante lors de cette investigation. Les résultats obtenus confirmaient l ‘ importance de ces étapes. On constate aussi que Piaget n ‘ est pas le seul à croire que l ‘ apprentissage des notions mathématiques se fait par une succession de Sa théorie, cependant, apporte des éclairages stades. sur les mécanismes d’apprentissage. brièvement. La section qui suit la décrit
Conception piagétienne de 1 ‘apprentissage Dienes, Piaget et d’autres défendent la notion de  »construction des notions mathématiques ». Piaget (1975) fournit une explication de 1 ‘élaboration des connaissances à partir d’un processus d’équilibration. L’équilibration, rappelons-le, est une modification progressive de l’action, ou de 1 ‘opération, en fonction des résultats obtenus par leur application antérieur e sur 1 ‘objet. Elle consiste en un ensemble de régulations inhérentes à 1 ‘interaction du sujet avec le milieu; elle relève donc de l’alternance des processus d’assimilation et d’accommodation. Ces régulations conduisent à une réversibilité croissante de 1 ‘action et de la pensée. Cette réversibilité est la propriété d’un système en équilibre (Inhelder et Piaget, dans Noelting, 1978). Les perturbations cognitives sont la base même du processus d’équilibration. Elles sont le résultat de l’incapacité du sujet à assimiler l’objet d’apprentissage. Bergeron (1980) considère que le processus d’équilibration est l’expression de la nécessité, pour tout schème, d’être adapté aux objets extérieurs qu’il cherche à assimiler. Ces schèmes visent donc à posséder une organisation fonctionnelle et efficace. Rappelons les propos de Piaget à ce sujet: « Piaget (1975) affirme que, dans une perspective d’équilibration, l’une des sources de progrès dans le développement des connaissances est à chercher dans les déséquilibres. Ce sont les seuls qui obligent le sujet à dépasser son état actuel. Mais les déséquilibres et les conflits n’ont qu’un rôle de déclencheur, et la source réelle du progrès est la rééquilibration. Cette rééquilibration n’est pas un retour à un équilibre antérieur, insatisfaisant puisque source du conflit, mais une amélioration de cet équilibre initial. » (Bergeron, 1980, p.31) Dans cette conception de 1’apprentissage, 1 ‘action du sujet est un élément essentiel du processus. D’autres auteurs situent, eux aussi, l’action comme moteur du processus d ‘ acquisition des connaissances.
Action et apprentissage Plusieurs auteurs soutiennent que 1 ‘action est nécessaire à 1 ‘apprentissage. Dienes (1966) dit à ce sujet: « Si l’édifice des mathématiques repose sur des structures, qui correspondent par ailleurs aux structures de 1 ‘intelligence, c’est sur 1 ‘organisation progressive de ces structures opératoires qu’il faut baser la didactique mathématique. Or, psychologiquement, les opérations dérivent d’actions qui, en s’intériorisant, se coordonnent en structures. »  L’action permet à l’enfant de se représenter les diverses étapes de la résolution d’un problème. Grâce à la réversibilité de la pensee, i l peut ensuite revoir mentalement les  opérations. Cette capacité, longuement décrite par Piaget (1975), est primordiale dans 1 ‘apprentissage; elle est grandement facilitée par 1 ‘action. Vergnaud (1981) considère , pour sa part, que c’est al’enfant que revient le rôle décisif dans le processus éducatif: « Il faut que les connaissances qu’il acquiert soient construites par lui en relation directe avec les opérations qu’il est capable de faire sur la réalité, avec les relations qu’il est en mesure de saisir, de composer et de transformer avec les concepts construit progressivement ». (p.7) De nombreuses recherches (Anthony, 1977; Bright, 1981; Cuisenaire et Gattegno, 1962; Picard, 1983; Zammarelli, 1977) démontrent que les enfants qui apprennent, en manipulant concrètement une représentation du concept, obtiennent effectivement de meilleurs résultats. Brindley (1980) évalue une approche d’enseignement des fractions orientée vers le concret. Il conclut que les élèves de septième année, du groupe expérimental, performaient mieux e1:, qu’en plus, ils étaient moins anxieux que ceux qui n’avaient pas fait leur apprentissage selon cette approche. Selon lui, les méthodes présentées par les documents pédagogiques pour ~ider l’élève a comprendre lui demandent de généraliser, à partir d’exemples, des règles qui requièrent un développement de la pensee formelle. Suydam (1984) constate que. tous les enfants n’ont pas les mêmes besoins en terme de manipulation. Ainsi, certains enfants peuvent comprendre a partir de démonstrations et d’autres comprennent sans aucune référence au concret. Néanmoins, ce chercheur considère que, d’une façon générale, les leçons référant à un matériel concret permettent, dans une plus grande probabilité, aux enfants d’obtenir de bonnes performances. Behr (1984) rapporte les résultats d’une étude sur le nombre rationnel, où 1 ‘on élabore un matériel en intégrant les principes psychologiques suggeres par Bruner Dienes (1967), Gagné et White (1978), puis Piaget Cette étude conclut que la manipulation joue un rôle important dans 1 ‘acquisition du nombre rationnel. Un faible pourcentage des enfants comprennent, après un bref enseignement; plusieurs autres ont besoin de quelques leçons supplémentaires; d’autres ont besoin de beaucoup d’occasions d’apprentissage et de pratique.  L’action est un des éléments essentiels dans l’acquisition des connaissances. Voyons maintenant comment elle se situe en regard du développement même de 1 ‘intelligence.
Stades de développement de 1 ‘intelligence Pour Piaget (1977), le développement de 1 ‘intelligence passe par trois stades: le stade pré-opératoire, le stade opératoire et le stade formel. Dans chaque stade, 1 ‘enfant voit la réalité différemment. Ainsi, nvers six ans, alors qu’il en est au stade pré-opératoire, il considère que la quantité de jus dans deux récipients est égale s’ils ont la même « hauteur » de liquide, indépendamment du format des contenants. Quelques années plus tard, l’enfant n’en est pas certain; i l est en déséquilibre, il pense que non, il pense que oui et revient finalement a son ancien schème. Mais au stade opératoire concret, vers neuf ans, il est convaincu qu’il doit considérer à la fois la hauteur du liquide et le format du récipient. Il a maintenant atteint stades constitue, d’équilibration. Les situations d’apprentissage devraient permettre à l’enfant de modifier ses anciens schèmes, en le plaçant face à un déséquilibre et en lui donnant l’occasion de rétablir l’équilibre lui-même. A ce sujet:, Piaget (1975) mentionne que « toute connaissance consiste a soulever de nouveaux problèmes au fur et à mesure qu’elle résout les précédents » (p.36). Il considère donc l’intelligence comme un processus èt non comme un état. Cependant, les enfants d ‘ un meme âge ne sont pas nécessairement au même stade de développement de  l’intelligence. Les problèmes auxquels ils ont besoin d’être confrontés ne sont pas du même ordre. Le choix des activités doit être judicieux. Déjardins et Hétu (1974) remarquent: « Puisqu’en effet les structures mathématiques sont supposées être la mise en forme des structures fondamentales de la pensée, l’enseignement devra développer des connaissances mathématiques conformes au niveau de développement intellectuel atteint par les enfants. » {p.lO) « Il s’agira par conséquent de s’assurer que les connaissances mathématiques de l ‘ enfant sont tirées de sa propre activité sur les objets plutôt que des objets eux-mêmes. » {p.l2) Certains enfants sont voués a l’échec, parce qu on ne les aide pas à organiser leurs actions afin qu’ils puissent assimilier les notions a l’étude. Plutôt que de faciliter leur compréhension en leur permettant de rétablir l’équilibre, nous les maintenons en déséquilibre. Les échecs qui en résultent peuvent décourager l’enfant et lui enlever une partie de son plaisir face aux futures situations d’apprentissage. La théorie piagétienne de l’apprentissage qui a guidé la construction d’un matériel portant sur les fractions équivalentes (Picard 1983) a produit les résultats suivants: toute atteinte au respect du processus d’apprentissage engendre des erreurs systématiques sur les opérations portant sur les symboles chez certains enfants. La révision du document en fonction des étapes du processus d’apprentissage (concret, semi-concret, abstrait) a permis aux enfants de réussir au-delà des 80%. Ainsi, les tenants de cette théorie piagétienne prétendent que les erreurs sont dGes à une carence dans la succession des étapes du processus d’apprentissage. Cependant, d’autres chercheurs interprètent différemment les difficultés rencontrées par les enfants lorsqu’ils effectuent des opérations sur les fractions.
Erreurs des enfants lors de l’apprentissage des mathématiques et des fractions La section qui suit décrit les principales erreurs des enfants et leurs causes non seulement en ce qui concerne l’apprentissage des fractions, mais aussi en ce qui a trait à la mathématique en général.
Erreurs lors de l’apprentissage des mathématiques Pour Ginsburg (1977) la part de l’enfant. Elle l’erreur n’est pas un caprice de ne relève pas, non plus, du hasard Elle résulte au contraire de stratégies et de règles organlsees. Le chercheur est d’avis que les auteurs qui interprètent les erreurs en terme de quotient intellectuel ou de difficultés d’apprentissage adoptent une position qui n’offre pas de recours efficaces. Pendant qu on donne des étiquettes, on ne s’attaque pas au vrai problème qui serait, selon lui, l’utilisation de fausses règles et 1 ‘écart entre la pensée formelle et informelle. La notion de « fausses règles » est défendue, non seulement par Ginsburg (1977), mais aussi par Hershkowitz, Vinner, Bauckheiner (1980), ainsi que par Sleeman et Brown (1982). Ces chercheurs soutiennent que l’enfant pense que les règles qu’il utilise sont bonnes, m~me si elles sont illogiques et fausses. Ces règles sont caractérisées par une grande résistance aux changements ce qui rend difficile toute intervention.Post et al. ( 1986) observent aussi que plusieurs enfants développent ou inventent des stratégies pou r résoudre des opérations sur les fractions. Elles viennent de leurs connaissances du nombre naturel ou d’autres expériences. Ces stratégies sont locales et souvent utilisées pour une tâche spécifique . Quant à Hart (1984), elle parle en terme de méthode. Elle est d’avis que les enfants font des erreurs parce qu e leurs stratégies ou leurs méthodes sont incorrectes. El l e distingue six caractéristiques de ces « méthodes d’enfants »: intuitive, primitive, reliée au contexte, non formelle, basée sur des opérations de calcul, utilisant le nombre entier ou la demie. De plus, elle constate que l’enfant persiste dans 1 ‘utilisation de sa règle, possiblement en raison du sucees qu’il prévoit. Pour Gannon et Ginsburg ( 1985), cinq types de problèmes d’apprentissage. il faut considérer D’abord, la carence dans 1 ‘enseignement: l’enseignant n’a pas de connaissances suffisantes, non seulement en mathématique, mais aussi en ce qui concerne les processus d’apprentissage chez l’enfant. Deuxièmement, il y a les difficultés émotives. Certaines situations familiales ou sociales engendrent des émotions négatives et du stress, qui inter fèrent avec l’apprentissage et drainent l’énergie de 1 ‘enfant, lui donnant que l’échec est inévitable. Troisièmement, l’impression il y a l’incompatibilité du style, lorsque le style d’enseignement diffère du style d’apprentissage de l’enfant (1 ‘auteur ne donne pas d’explication sur ce qu’il entend par style d’enseignement et style d’apprentissage). Quatrièmement, intervient l’erreur systématique, lorsque l ‘ enfant utilise de fausses règles. Finalement, il est question d’incapacités intellectuelles, lorsque 1 ‘ enfant n ‘ apprend pas en raison d ‘ une carence au niveau des habiletés cognitives. Radatz ( 1979) 1 pour sa part, considère que les sources d ‘ erreurs sont les suivantes:
l ) Erreurs dues ‘ a la difficulté de gérer 1 ‘information spatiale: Les concepteurs de documents pédagogiques utilisent de plus en plus les représentations visuelles pour présenter les données d’un problème. Cela exige beaucoup d’habiletés spatiales et de discrimination visuelle de la part de l’élève. Ainsi, les erreurs proviennent parfois de difficultés au niveau de l ‘ anal y s e perceptuelle, en dehors du problème mathématique lui-même.
2) Erreurs dues a un déficit a u niveau des habiletés de base: La carence au niveau des prérequis inclut l’ignorance de 1 ‘algorithme, 1 ‘utilisation inadéquate des éléments de base, 1 ‘ utilisation incorrecte de techniques mathématiques et une connaissance insuffisante des concepts et des symboles.
3) Erreurs dues à une association incorrecte ou à une pensee trop rigide:Le manque de flexibilité dans le l’encodage de nouvelles rigidité de la pensée. informationsd’interférence, d’assimilation et de transfert négatif.
4) Erreurs dues à l’application d’une règle ou d’une stratégie erronée: Comme les auteurs précédents (Gannon et Ginsburg, 1985; Ginsburg,1977; Hart, 1984), Radatz (1979) considère que 1 ‘erreur en mathématique n’est pas simplement l’absence de réponse correcte. L’erreur est la conséquence d’un processus qui, bien qu’il soit inefficace, n a rien a voir avec le fruit du hasard. Quant a West (197 1 ), il identifie deux sortes d’erreurs: les erreurs d ‘inat:tention et conceptuelles. Il importe, selon lui, de les puisque les stratégies correctives sont très pour chacune des catégories. les erreurs distinguer, différentes Un autre élément explicatif des erreurs des enfants est 1 ‘incompréhension de la sémantique du texte mathématique (Radatz, 1979; Shaw, 1981). La compréhension du langage est un facteur important, mais la capacité d’exprimer une situation mathématique par le langage l’est aussi. Chassagny (1963) et Mialaret (1967) sont d’avis que le langage est un soutien essentiel au développement des concepts mathématiques. L’enfant doit pouvoir dire ce qu’il fait. Engelhart (1977), dans une recherche portant sur les erreurs des enfants en mathématique, rapporte huit types d’erreurs: erreurs de base, erreurs de position, inversions, opérations incorrectes, algorithmes inappropriés, algorithmes incomplets, confusions de 1 ‘identité de l’opération et autres difficultés. Il constate également que le ty~e d’erreurvarie en fonction du style cognitif de l’enfant. Ainsi, lesimpulsifs commettraient surtout: des erreurs reliées auxéléments de base, les analytiques des erreurs au niveau de l’algorithme erroné; les réfléchis utiliseraient des algorithmes incomplets et les non-analytiques, impulsifs, feraient des erreurs de n’importe quel est à noter qu’on ne retrouve pas de définition style cognitif dans 1 ‘article soumis par l’auteur. comme les type. Reiseman (1972), dans son document sur l’enseignement diagnostique en mathématique, s’intéresse aussi aux échecs en mathématique. Il affirme qu’il faut d’abord s’assurer que le programme est appropr1e aux besoins des enfants, adapté à leurs capacités mentales et que les enfants possèdent les prérequis nécessaires. L’auteur relève plusieurs facteurs responsables des échecs en mathématique, soit: les lacunes dans la base des ma t hématiques, le manque de motivation, le manque au niveau de l’aptitude, les problèmes émotionnels, la qualité de l ‘ environnement et la qualité del ‘enseignement. Toutes ces informations permettent d’identifier plusieurs causes erreurs lors de 1 ‘apprentissage des concernant les mathématiques. On constate qu ‘elles relèvent souvent de fausses règles élaborées mais qu’elles peuvent aussi être dues à par 1 ‘enfant, 1 ‘enseignant lui-même, à son style d’enseignement, comme elles peuvent venir de l ‘ enfant lui-même (aspect affectif, familial) et de son style d ‘ apprentissage. Somme toute, les erreurs signaléees en mathématique sont nombreuses et elles peuvent se rencontrer les notions mathématiques. On peut supposer probabilité d’apparition est en relation avec la pour toutes que leur difficulté de la notion. On peut donc s’attendre à retrouver fréquemment ces erreurs, lors d’opérations sur les fractions, considérant la complexité reconnue de celles-ci. De plus, a ces nombreuses causes d’erreurs relatives aux notions mathématiques en général, s’ajoutent les erreurs spécifiques aux fractions.
Erreurs dans l’apprentissage des fractions La section précédente a permis d’identifier un ensemble de causes pouvant expliquer les erreurs des enfants en mathématique. D’autres études vont maintenant apporter des éclairages sur les erreurs spécifiques aux fractions (Morton, 1942; Brueckner, 1928; Carpenter, Coburn, Reys et Wilson, 1976)
-Analyse de Morton (1924) Morton (1924) a réalisé une analyse tr~s détaillée des erreurs des enfants. Partant de douze tests diagnostiques présentés aux él~ves . . ‘ de clnquleme, Slxleme, septi~me et huiti~me années, il a tenté de répertorier leserreurs des enfants concernant les quatre opérations de base sur les fractions. Les tests excluaient le « nombre mixte » et les « décimaux ». Ces tests ont ét:é soumis en novembre et en avril de la même année. Les tableaux Al-A2-A3-A4 (annexe A) présentent les résultats obtenus par les élèves de huitième annee. On remarquer a que le nombre d’erreurs « diverses », que 1 ‘on retrouve sous le terme anglais « miscellaneous », augmente considérablement dans les opérations d’addition et de multiplication. Il semblerait que, dans certains cas, plus l’enfant a d’informations, plus il les confond devient inévitable (Ginsburg, 1977). et l’échec Morton (1924) conclut que dans 91.3% des cas, il est possible d’identifier les causes des erreurs des élèves de huitième année lorsqu’ils effectuent des tests sur les opérations concernant les fractions ordinaires. La plupart des erreurs peuvent être attribuées a trois causes: une conception inadéquate du processus, une confusion de l’opération demandée, une carence dans les habiletés concernant l ‘ opérati on de base.
 Analyse de Brueckner (1928) Brueckner (1928) présente une analyse d’erreurs lors d’opérations sur les fractions chez les élèves de SA, 6A et 6B (A= classe supérieure, B= classe mo yenne. Il a inventorié les types d’exemples pour chaque opération de base. Chaque type met en évidence une cause spécifique d’erreurs. Enannexe B, les tableaux Bl-B2-B3-B4 présentent les détails de ses analyses. Les principales sources d’erreurs sont: l) 1 ‘élève n’effectue pas l’opération demandée; 2) l’élève n’arrive pas a ramener sa réponse à sa plus simple expression; 3) il se trompe au niveau du calcul. Le chercheur conclut que cette dernière catégorie représente la difficulté majeure dans les opérations sur les fractions. Le tableau Cl (annexe C) représente une synthèse des erreurs identifiées. L’analyse exhaustive des travaux de ce cher cheur permet de constater que les erreurs sur les opérations de fractions peuvent se manifester de plusieurs façons.
– Analyse de Carpenter, Coburn, Reys et Wilson (1976) Plus récemment, Carpenter , Coburn, Reys et Wilson (1976) ont analysé les résultats des enfants sur les exercices d ‘ addition du type l / 2 + l/3 et de multiplication du type 1/2 x 1/4. Les sujets étaient partagés en deux groupes, les uns ayant treize ans, les autres ayant dix-septans. Les tableaux Dl et D2 (annexe D) présentent les résultats obtenus. On peut remarquer que malgré unedifférence de quatre ans entre les deux groupes, les résultats ne sont pas si différents. En effet, chaque catégorie d’erreurs reste bien représentée. Lorsqu’on considère que, pour une opération spécifique, un mêmealgorithme n’est pas nécessairement efficace, on ne peut s’étonner que même les plus âgés commettent encore des erreurs. Carpenter et al. (1976) résument les recherches faites sur les principales causes d’erreurs concernant la multiplication et l’addition sur les fractions. Pour ce est de la multiplication, la difficulté majeure est qui deréduire la réponse à sa plus simple 1928; Morton, 1924; Romberg 1968). expression (Brueckner, Lankford ( 1972) ajoute que l’enfant ne comprend pas les étapes à suivre et en arrive a multiplieren plaçant les fractions sur un même dénominateur pour ensuite multiplier les numérateurs seulement ( 2/3 x 3/5 = 10/15 x 9/15 = 90/15).  En ce qui a trait à l’addition, les rechercheseffectuées en vue de trouver une approche efficace pourcette opération sont peu concluantes (Carney, 1973; Pickering,1969). Elles recommandent, cependant, de permettre à 1 ‘élève de profiter d’activités favorisant la compréhension de 1 ‘algorithme. Bisio (1971) et Pigge (1964), travaillant auprès d’enfants de Se annee, concluent que les enfants profitent de 1 ‘étape de la manipulation et des démonstrations. Pour leur part, Anderson (1966) et Bat-Haee (1969) concluent que c ‘est  la recherche du plus petit commun multiple qui cause les erreurs dans 1’opération d’addition.Ces analyses constituent un répertoire des erreurs possibles lors de l ‘ exécution d’opérations sur les fractions. Elles mettent en évidence la nécessité de donner aux enfants un enseignement qui leur donne le maximum de chances de réussir. Cependant, même la réussite doit être analysée avec prudence . En effet, la simple absence d’erreur ne doit pas nous faire croire que l ‘ enfant a compris. Ainsi, ~ meme les bonnes réponses doivent être interprétées avec soin. c’est,du moins, 1 ‘ avis de certains auteurs comme Rosnick et Clemen t (1980), qui affirment que le fait que 1 ‘enfant donne la bonn e reponse n ‘ est pas une garanti e de sa compréhension . Compréhension et performance doivent être distinguées.
Evaluation des connaissances Cette section porte s ur la distinction entre 1 ‘évaluation des performances sur les opérations avec les fractions et 1 ‘évaluation de la compréhension de la notion de fraction. Le type d’évaluation est en relation avec le type d’apprentissage. Ainsi il faut distinguer entre un apprentissage instrumental, où la bonne réponse est le signe de la compréhension, et 1 ‘apprentissage relationnel, bonne réponse est un indice de ce qui a été compris.
Compréhension de la notion et performance opérations Les différentes sources d’erreurs effectuées ou la aux lors d’exercices portant sur les fractions ont été présentées. Dans ces analyses, les bonnes réponses sont considérées, parles chercheurs cités, comme la manifestation de la compréhension. Cependant, certains chercheurs, dont Rosnick et Clement (1980), ne sont pas de cet avis. Dans leur article intitulé « L’apprentissage sans compréhension », ils soutiennent que le fait que l’élève donne la bonne reponse est un maigre indice de ce qu’il a compris. Pour eux, « performance » ne signifie aucunement « compréhension ». Bergeron et Herscovics (1984) l’ont observé , eux aussi, dans leur étude sur l’addition et la soustraction et concluent qu' »en soi, la manipulation correcte de symboles ne saurait être retenue comme un critère de compréhension » (p.4). Pour leur part, Gannon et Ginsburg (1985), dans leur analyse sur les difficultés d’apprentissage, considèrent que le problème de performance diffère du problème de compréhension. Dans le cas des problèmes de performance, il y a quelque chose qui empêche l’expression de l’apprentissage. L’enfant est incapable d’utiliser ses connaissances pour réussir. Ces chercheurs définissent le problème d’apprentissage CÇ>rnme une barrière entre l’instruction formelle et l’enfant, alors que le problème de performance est une barrière entre l’enfant et l’expression formelle de sa compréhension. Plus souvent, on évalue la performance et non la compréhension. Chassagny (1963) affirme que « l’enfant peut se soumettre a des pressions pédagogiques et , . reuss1r en dehors d’une compr~hension vraie. » (p.l3 ) . Picard (1976) supporte aussi cette thèse: « les techniques sont apprises par répétition sans s assurer d ‘ une possibilité de compréhension. » (p.l2) Dienes partage également cet avis:
« Il est aussi très facile pour un maitre d ‘ avoir l ‘ impression qu un élève a compris alors qu ‘ en fait il n’a pas compris: tous les enfants apprennent vite les réponses types aux questions types, donnant alors l’impression d’avoir assimilé les concepts. Posez-leur une question moins habitue l le et vous aurez souvent un tableau tout différent.  » (p.l3) Il ajoute a propos des enfants: « [Ils] sont réduits à apprendre certains « trucs » pour augmenter le nombre des « réponses correctes » qu’ils se sentent tenus de donner dans la situation de conditionnement oG il se trouvent. »(p.31) Cette distinction nous amene a analyser deux types d’apprentissage: 1 ‘un instrumental, l’autre relationnel.
 Apprentissages instrumental et relationnel Skemp (1979 ) distingue deux types d’apprentissage,1 ‘un instrumental et 1 ‘autre relationnel. L’apprentissage relationnel est celui ou ‘ les opérations mentales sont dominantes et ou 1 ‘on demande a l’enfant d’établir de nouveaux rapports. Ce type d’apprentissage réduit le nombre de réponses erronées. Il ne s’agit pas d ‘ apprendre une règle mais de construire des concepts. Ainsi, face a une difficulté, 1 ‘enfant est en mesure de trouver une solution.  Ce n’est pas le cas lors d’un apprentissage instrumental ou l’enfant est voue a 1 ‘échec, dès que la règle apprise ne s’applique plus. L’apprentissage instrumental est pl u s rapide mais moins rentable. L ‘ analyse des difficultés, même si elle dresse un portrait accablant de la fraction comme objet d’étude,fournit des pistes pour guider l’enfant. Des chercheurs,tels Dienes (1966), Jaulin (1965) et Piaget (19 7 5 ) , recommandent de respecter les étapes du processus d’apprentissage pour que 1 ‘enfant dépasse la compréhensi on instrumentale. D’autres suggèrent aussi d’être attentifs a u x types d ‘ erreurs afin d’en diagnostiquer les causes et d » y apporter les correctifs qui s ‘ imposent (Ginsburg, 1977; Hart,1984; Skemp, 1979). Les éléments qui ont été étudiés jusqu’ici, dans ce chapitre , ont permis de comprendre les différents obstac l es lors de l’apprentissage de la notion de fraction. Notamment, il a été question des difficultés reliées à la notion même de fraction, aux étapes du processus d’apprentissage, a u x nombreuses causes d’erreurs et meme a l’évaluation des connaissances. Il faut encore ajouter à cette liste la qualité des documents utilisés. En dépit du temps considérable que l’élève passe en présence d ‘ un document d’apprentissage, peu de rigueur n’est mise pour évaluer la qualité de ces dits documents (Saroyan, Geis, 1986). Cette qualité n’est pas mise en doute dans le milieu scolaire, la recommandation ministérielle constitue une garantie. Cependant, parmi les critères d’évaluation du ministère, aucun ne réfère, d’une façon rigoureuse, à la démarche pédagogique et aucun ne fait référence non plus à une vérification du document aupres des élèves avant sa publication. Pourtant la revue des écrits démontre que l’évaluation augmente 1 ‘efficacité d’un document en regard de l’atteinte des objectifs. L’une des méthodes d’évaluation de document a retenu l’attention de plusieurs chercheurs: le L.V.R .. Les investigations dont il a été l ‘ objet indiquent qu’il s’agit d ‘ un processus d ‘ évaluation efficace. La prochaine section décrit la problématique de l’évaluation de documents destinés à l’enseignement.

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Table des matières

Remerciements
Liste des figures
Liste des tableaux
Introduction
CHAPITRE 1 Prob1ématique
1. Difficultés relatives à l’apprentissage des fractions
1.1 Difficultés reliées à la notion de fraction
1.2 Difficultés reliées aux mécanismes d’apprentissage
1.2.1 Les conditions d’apprentissage
2.- Suggestions des auteurs pour faciliter l’apprentissage des fractions
3. Problématique de l’évaluation des documents destinés à l’enseignement
4. Evaluation des documents destinés à l’enseignement
5. Question de recherche
CHAPITRE 2 Difficultés reliées à l’apprentissage des fractions
1. La notion de fraction: une notion complexe
1.1 Définitions des termes relatifs à la fraction
1.1.1 Définitions selon la revue des écrits
1.1.2 Définition de la notion de fraction selon le ministère de 1 ‘Education du Québec
1.1.3 Définition de termes relatifs à la notion de fraction selon les concepteurs de documents pédagogiques
1.1. 4 Défini ti ons retenues
1.2 Difficultés reliées à la notion de fraction
2. Difficultés reliées aux étapes du processus d’apprentissage
2.1 Etapes du processus d’apprentissage
2.2 Conception piagétienne de 1 ‘apprentissage
2. 3 Action et apprentissage
2.4 Stades de développement de l’intelligence
2.5 Erreurs des enfants lors de 1 ‘apprentissage des mathématiques et des fractions
2.5.1 Erreurs lors lde l’apprentissage des mathématiques
2.5.2 Erreurs dans l’apprentissge des fractions
2.5.2.1 L’analyse de Morton (1924)
2.5.2.2 L’analyse de Bruckner (1928)
2.5.2.3 L~analyse de Carpenter et a 1 . ( 1 9 7 6 )
2.6 Evaluation des connaissances
2.6.1 Compréhension et performance
2.6.2 Apprentissage instrumental et relationnel
3. Evaluation de documents destinés à l’enseignement
3.1 Pratique concernant la sélection de documents pédagogiques
3.2 Historique
3.3 L.V.R. comme méthode d’évaluation d’un document destiné à l’enseignement
3.3.1 Difficultés concernant l’application du· L.V.R
3.3.1.1 Quelles sont les sources d’informations lors de la révision et de l’évaluation du matériel?
3.3.1.2 Quels types d’apprenants doivent participer à une évaluation formative de documents
3.3.1.3 Quelle doit être 1 ‘approche pour recueillir les résultats?
3.3.1.4 Quels types d~informations sont recueillies?
4. Position des intervenants du milieu scolaire concernant les données empiriques pouvant faciliter l’apprentissage 
4.1 Position du ministère de l’Education du Québec face aux théories d’apprentissage
4.2 Documents disponibles pour l’apprentissage des fractions
4.2.1 Présentation des documents pédagogiques utilisés pour l’enseignement des fractions
4.2.2 Qualité des documents pédagogiques selon leurs concepteurs
4.2.3 Analyse des contenus des séries mathématiques en fonction des étapes du processus d’apprentissage
4.2.4 Evaluation des séries mathématiques en fo nction des critères du ministère de l’Education du Québec
4.2.5 Type d’évaluation réalisé sur les documents pédagogiques à l’étude
CHAPITRE 3 Hypothèses
l. Présentation des hypothèses
1.1 Hypothèse 1
1.2 Hypothèse 2
1 . 3 Hypothèse 3
2. Identifications des variables
CHAPITRE 4 Méthodologie 
1. Schéma expérimental 
2. Déroulement de l’expérience 
3. Matériel de l’expérimentation
4. Procédures de l’expérimentation 
CHAPITRE 5 Elaboration du matériel d’expérimentation 
1. Préparation du matériel didactique portant sur la notion de fraction
1.1 Etapes de l’élaboration du matériel
1.1.1 Difficultés reliées à 1 ‘apprentissage de la notion de fraction
1.1.2 Elaboration du contenu en regard des objectis du ministère de l’Education du Québec et du processus d’apprentissage
1.1.3 Vérification du contenu des séries mathématiques concernées par cette étude sous l’angle du processus d’apprentissage
1.1.3.1 Processus d’apprentissage et activités d’apprentissage
2. Tests utilisés lors de l’expérimentation 
2.1 Elaboraton du test Fraction
2. 1. 1 La construction du test
2.1.2 Vérification d’expert
2.1.3 Mise à l’essai
2.1.4 Révisions périodiques
2.1.5 Révision finale
2.2 Les qualités du test Fraction
2. 3 Autres tests utilisés pour vérifier les connaissances des enfants concernant la notion de fraction
2.2.1 La va1idité
2.2.2 La fidé1ité
2.2.3 L’analyse d’items
2.3.1 Test de Post
2.3.1.1 Première étape: Traduction
2.3.1.2 Deuxième étape: Vérification de la traduction
2.3.1.3 Troisième étape: Mise à l’essai
2.3.1.4 Quatrième étape: Unification des tests
2.3.1.5 Cinquième étape: Mise à l’essai
2.3.2 Test de la Commission scolaire de Vald·or
2.3.2.1 Etapes d’élaboration du test de la commission scolaire présenté aux enfants de cinquième année
2.3.2.2 Etapes d’élaboration du test de la commission scolaire présenté aux enfants de sixieme annee
2.3.2.3 Etapes d’élaboration du test de la commission scolaire présenté aux enfants du secondaire
CHAPITRE 6 Mises à l’essai préliminaires du document expérimental
1. Mises à l’essai préliminaires du document expérimental
1.1 Première version du matériel pédagogique portant sur l’apprentissage de la notion de fraction en cinquième année
1.2 Deuxième version du matériel pédagogique portant sur 1 ‘apprentissage de la notion de fraction en cinquième année
1.3 Troisième version du matériel pédagogique portant sur l’apprentissage de la notion de fraction en cinqu ième année
1.4 Quatrième et cinquième versions du matériel pédagogique portant sur l’apprentissge de la notion de fraction en cinquième année
1.5 Sixième version du matériel pédagogique portant sur l’apprentissage de la notion de fraction en cinquième année
1.6 Septième version du matériel pédagogique portant sur l’apprentissage de la notion de fraction en cinquième année
CHAPITRE 7 Mise à 1’essai d u document expérimental 
1. Document ayant servi à 1 ‘expérimentation 
2. Vérification de la deuxième hypothèse
2.1 Résultats obtenus a la version 1986-87
2.2 Résultats obtenus a la version 1987-88
3. vérification de la troisième hypothèse
3.1 Suivis des enfants ayant utilisé le matériel expérimental
3. 1. 1 Suivis des enfants ayant utilisé la version 1985-86
3. 1. 2 Suivis des enfants ayant utilisé la version 1986-87
3. 1. 3 Suivis des enfants ayant utilisé la version 1987-88
CHAPITRE 8 Discussion
1. Première hypothèse
2. Deuxième hypothèse 
3. Troisième hypothèse
CHAPITRE 9 Résumé, conclusions et recorrmandations
l . Résumé
2. Conclusions
3. Recommandations
Bibliographie
Annexes

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