La méthode des ondes planes augmentées linearisées (FP–LAPW)

L’effet de l’énergie de linéarisation :

Pour obtenir de bons résultats, il faut que le choix du paramètre d’énergie El soit au centre de la bande du spectre d’énergie, car comme on a déjà vu, les erreurs trouvées dans la fonction d’onde, ainsi que dans les énergies de bandes sont de l’ordre de (E-El) 2 et (E-El) 4 respectivement. Dans le cas où le paramètre d’énergie El est égal à la valeur E, la méthode LAPW est réduite à la méthode APW.
On peut optimiser le choix de ce paramètre El, on calculant l’énergie totale du systéme pour plusieurs valeurs de El, et en sélectionnant le paramètre qui donne l’énergie la plus basse.
La condition d’orthogonalité des fonctions radiales aux états du cœur n’satisfaite que si ces états du cœur ont le même paramètre d’énergie El, donc la méthode des ondes planes augmentées linéarisées LAPW dépend du choix de El.
Le chevauchement entre les états du cœur et les bases LAPW conduit a l’apparition de faux états du cœur, c’est ce qu’on appelle les bandes fantômes.
Cependant si le paramètre d’énergie est égal à l’énergie de l’état du cœur, ce problème est résolu.

Construction des fonctions radiales :

Les fonctions de base de la méthode FP-LAPW sont des ondes planes dans la zone interstitielle. Elles sont développées sous la forme de fonctions radiales numériques a l’intérieur des sphères MT à condition que les fonctions de base et leurs dérivées soient continués a la surface de la sphère MT. Ainsi, la construction des fonctions de base de la méthode FP-LAPW revient à déterminer :
Les fonctions radiales Ul(r)et leurs dérivées par rapport à l’énergie(C l(r).
Les coefficients Alm et Blm qui satisfont aux conditions aux limites.

Amélioration de la méthode FP-LAPW :

Le but de la méthode FP-LAPW est d’obtenir des énergies de bande précises au voisinage des énergies de linéarisation El[31]. Dans la plupart des matériaux, il suffit de choisir les énergies E au voisinage du centre des bandes. Cependant, ce n’est pas toujours possible et il existe de nombreux matériaux pour lesquels le choix d’une seule valeur de El n’est pas suffisant pour calculer toutes les bandes d’énergie: Par exemple, les matériaux avec des orbitales 4f [39, 41] et les éléments des métaux de transition [42, 43, 44]. C’est le problème fondamental de l’état de semi-cœur qui est un état intermédiaire entre l’état de valence et l’état de cœur.
Il existe deux moyens pour traiter cette situation:
L’usage des fenêtres d’énergie multiple.
L’utilisation d’un développement en orbitales locales.

Les fenêtres d’énergie multiples :

La technique la plus utilisée pour traiter le problème du semi-cœur est celle qui consiste à diviser le spectre énergétique en fenêtres dont chacune correspond à une énergie El [41,45].
Cette procédure de traitement est illustrée dans la figure II.3.
Dans ce traitement par le moyen des fenêtres, une séparation est faite entre l’état de valence et celui de semi-cœur où un ensemble de Elest choisi pour chaque fenêtre pour traiter les états correspondants. Ceci revient à effectuer deux calculs par la méthode LAPW, indépendants, mais toujours avec le même potentiel.

Introduction générale
Chapitre I : Théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT)
I.1. Introduction
I.2. L’équation de Schrödinger d’un solide cristallin
I.3. L’approximation de Born- Oppenheimer
I.4. L’approximation de Hartree
I.4.1. Formulation du potentiel effectif
I.4.2 L’équation d’onde dans l’approche de Hartree
I.5. L’approximation de Hartree – Fock
I.5.1. Le principe d’exclusion de Pauli
I.6. La théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT)
I.6.1. L’approximation de Thomas-Fermi
I.6.2. L’approximation de Hohenberg et Kohn
I.6.3. Les équations de Kohn- ham
I.6.3.a. Solution des équations de Kohn- Sham
I.6.4. L’auto-cohérence dans les calculs
I.6.5. L’énergie d’échange-corrélation
I.7. L’approximation de la densité locale LDA
I.7.1. La méthode Xα
I.7.2. L’approximation de Ceperley et Alder
I.7.3. L’approximation de Hedin et Lunqdvist
I.7.4. La généralité de l’approximation LDA(LSDA)
I.8. L’approximation de gradient généralisé GGA
I.8.1. L’approximation EV-_GGA
Chapitre II : la méthode des ondes planes augmentées linearisées (FP–LAPW)
II.1. Introduction
II.2. La méthode des ondes planes augmentées (APW)
II.3. La méthode des ondes planes augmentées linéarisées (FP-LAPW)
II.3.1. Les bases de la méthode (FP-LAPW)
II.4. Les rôles des énergies de linéarisation El
II.5. Constructions des fonctions radiales
II.5.1. Les fonctions radiales non relativistes
II.5.2. Les fonctions radiales relativistes
II.6. Résolution de l’équation de Poisson
II.7. Amélioration de la méthode (FP-LAPW)
II.7.1. Les fenêtres d’énergie multiples
II.7.2. Développement en orbital local
II.8. Traitement des effets de spin-orbit
II.9. Wien2k
Chapitre III :Résultats et discussions
III.1. Introduction
III.2. La structure cristalline des composés NaZnX (X=P, As, et Sb)
III.3. Détail de calcul
III.4. Les propriétés structural des composés NaZnX (X=P, As et Sb)
III.4.1. Détermination des paramètres structuraux des composés NaZnX (X=P, As et Sb) dans les phases tétragonale , Alpha, Béta et Gamma
III.4.2. Étude de la stabilité des composés ternaires NaZnX (X = P, As et Sb) dans les phases tétragonale α, β et γ
III.4.3. Transformation structurale des phases ternaires à haute pression
III.5. Les propriétés électroniques des composés NaZnX (X=P, As, et Sb)
III.5.1. La Structure de bandes des composés NaZnx (X=P, As et Sb)
III.5.2. La densité d’états électronique des composés NaZnX (X = P, As et Sb)
III.5.3. La Densité de charge des composés NaZnX (X=P, As, et Sb)
Conclusion générale
Références bibliographique

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La physique de la matière condensée et la science des matériaux sont concernées fondamentalement à la compréhension et l’exploitation des propriétés des systèmes d’électrons et de noyaux atomiques interagissant. Ceci est bien connu depuis le développement de la mécanique quantique. Avec ceci vient la reconnaissance qu’au moins presque toutes les propriétés des matériaux peuvent être étudiées par des outils de calcul convenable pour résoudre ce problème particulier de la mécanique quantique.
Malheureusement, les électrons et les noyaux qui composent les matériaux constituent un système à plusieurs corps fortement interagissant et ceci rend la résolution de l’équation de Schrödinger extrêmement difficile, et comme l’a déclaré Dirac (en 1929) le progrès dépend du développement des techniques approximatives suffisamment précises. Ainsi le développement de la théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT) Pour décrire un matériau. Il faut savoir ces propriétés (électroniques, structurales, optiques,…).
Et cela implique la connaissance des interactions entres les électrons et ions qui le constituent. Mais dans ce cas, la mécanique classique s’avère être insuffisante et il faut faire appel à la mécanique quantique dont la base est la résolution de l’équation de Schrödinger [18].

L’approximation de Born-Oppenheimer :

Elle consiste à découpler le mouvement des noyaux de celui des électrons, elle est justifiée par le fait que la masse des noyaux est beaucoup plus supérieure à celle des électrons. Ces électrons se trouvent à tout moment dans l’état fondamental correspondant à la position courante des noyaux, c.-à-d. pour des particules aussi rapides que le sont les électrons ce sont les positions instantanées des noyaux qui importent. Quand aux noyaux, leur mouvement ne pourra être affecté par la position instantanée de chacun des électrons, ce n’est que la moyenne des mouvements de l’ensemble des électrons qui peut avoir de l’importance [19].
L’hypothèse la plus grossière que l’on pourrait faire est celle qui imposerait que les noyaux atomiques soient immobiles. En adoptant cette hypothèse, on simplifie notablement l’équation de Schrödinger, puisque l’énergie cinétique des noyaux devient nulle, l’énergie d’interaction des noyaux devient constante, mais que l’on peut rendre nulle par un choix convenable de l’origine.
Compte tenu de ce que Tz = 0 et Uz = 0 nous pouvons définir une fonction d’onde e comme fonction d’onde des électrons, et un nouveau Hamiltonien, c’est l’Hamiltonien des électrons qui est donnée par :
He = Te + Ue + Uez

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