IBTS-77-RP-1000
Les trois instabilités de base
D’une manière générale, trois classes de modes de flambement, appelés aussi modes de base, sont distinguées dans l’étude du comportement de flambement des éléments à parois minces : le mode global, le mode distorsionnel, et le mode local. Ils sont généralement définis sur la base des déformations transversales dans le plan. Cependant, ce n’est pas la configuration de déformation qui fait la distinction importante, mais plutôt le comportement post-critique. Généralement, le flambement global n’a pas de réserve post-critique, alors que le mode local (voilement de plaque) en possède une importante. Le mode de flambement distorsionnel possède également une réserve post-critique, mais beaucoup moins importante que celle du voilement. L’existence, ou l’absence de la réserve post-critique influence fortement la capacité portante de l’élément de structure. Il est donc important de pouvoir identifier correctement le mode de flambement qui entre en jeux, car les effets favorables de la réserve post-critique en dépendent. Cela donne lieu à différentes procédures de dimensionnement. L’adoption de la bonne procédure permet également un dimensionnement optimisé.
L’instabilité locale
Dans une instabilité locale, les parois planes d’un élément de structure se déforment d’une manière significative. La déformation de la section transversale est caractérisée par des rotations, sans aucune translation, au niveau des lignes d’intersection entre les éléments plans . Ce mode d’instabilité est également caractérisé par le développement des ondulations sinusoïdales. La longueur de demi-onde de ces ondulations est plus petite que la plus grande dimension caractéristique de la section transversale. Ainsi, toutes les instabilités harmoniques dont les longueurs de demi-onde sont inférieures à la plus grande dimension caractéristique sont des instabilités locales ou de voilements.
L’instabilité globale
Dans une instabilité globale, la forme de la section transversale de l’élément de structure ne subit aucun changement. La section transversale se déplace en mode rigide, soit par une translation et/ou une rotation. C’est une instabilité non périodique, c’est-à-dire qu’elle couvre toute la longueur du poteau ou de la poutre. Les modes globaux se produisent, donc, avec une seule demi-onde et la longueur de cette dernière est égale à la longueur effective de flambement. Il est à noter que la charge critique du flambement décroît lorsque la longueur augmente. L’instabilité prend la forme d’une instabilité par flexion (flambement d’Euler), par torsion ou par flexion/torsion pour le cas des poteaux, et la forme d’un déversement pour le cas des poutres fléchies.
Instabilité distorsionnelle
D’une manière générale, une instabilité distorsionnelle induit des déplacements et des rotations au niveau des lignes d’intersection entre les parois planes formant la section. Plus précisément, une instabilité distorsionnelle est caractérisée par la déformation d’une partie de la section transversale avec un déplacement en mode rigide de l’autre partie. Comme exemple illustratif, les ensembles semelle se sont déplacés sans se déformer alors que l’âme a subi des déformations de type voilement .Cette instabilité, comme le voilement, est une instabilité harmonique. Elle se produit en développant des ondulations dans le sens longitudinal. Typiquement, la longueur de la demi-onde est égale à plusieurs fois la dimension caractéristique de la section. Seulement, contrairement à l’instabilité locale, elle dépend fortement de la géométrie de la section ainsi que du type de chargement.
Règles de calcul des profilés formés à froid
Les phénomènes d’instabilité et le comportement post-critique sont deux paramètres principaux dans l’étude du comportement et la conception des profilés formés à froid, notamment dans le calcul de la charge de ruine des éléments structuraux.
L’effet des trois modes d’instabilité doit être considéré en mode individuel et en interaction avec les considérations connues pour les structures en acier, à savoir : la non-linéarité matérielle, les imperfections géométriques et les contraintes résiduelles. Une particularité propre aux profilés formés à froid est que les éléments de structures flambent avant la plastification de leur section. Cela est dû au fait que les épaisseurs des parois formant les éléments structuraux sont petites devant leurs largeurs.
Une autre particularité des profilés formés à froid est que les éléments comprimés ne s’effondrent pas quand la contrainte d’instabilité est atteinte. Une redistribution des contraintes après l’instabilité permet à l’élément de structure de supporter une charge additionnelle. Ce phénomène est appelé « une réserve post-critique » et il est expliqué par l’exemple illustratif suivant.
L’identification visuelle des modes purs d’instabilité
Règles pratiques : Bien que les méthodes numériques pour l’analyse de la stabilité élastique soient assez générales que les méthodes analytiques, l’identification explicite de la charge critique associée à un mode pur d’instabilité, exigée dans la DSM, n’est pas toujours évidente. Le problème est posé même pour des sections de formes transversales simples avec des dimensions typiques. D’abord, cela est dû au fait que les résultats d’une analyse type MBF (ou MEF) sont les valeurs des plus petits multiplicateurs de charges critiques (les valeurs propres) et les formes déformées associées (les vecteurs propres). Même pour une analyse typique, la densité du maillage nécessaire, ainsi que le nombre de valeurs et vecteurs propres calculés produisent une quantité énorme de résultats qui devrait être examinée d’une façon ou d’une autre afin d’en déduire les charges critiques associées aux différents types d’instabilité de base, à savoir l’instabilité locale, distorsionnelle et globale.
Ensuite, l’identification manuelle (ou plus précisément, l’identification visuelle) des modes purs d’instabilité exige le recours à certains nombres de règles pratiques. Ces règles pratiques sont très utiles dans l’étude du comportement élastique des profilés formés à froid. D’ailleurs, elles peuvent être considérées comme le seul moyen général permettant l’identification des modes purs d’instabilité parmi les résultats d’une analyse par la MEF qui est évidemment la méthode numérique la plus générale.
La classification des modes d’instabilité dépend de la façon dont les lignes d’intersections sont définies. D’une manière générale, seules les lignes d’intersections formant la section transversale devraient être considérées entant que lignes d’intersections efficaces, et ceci indépendamment de l’angle relatif des parois adjacentes. Autrement dit, on ne considère comme lignes d’intersections efficaces que celles communes à deux parois non coplanaires. Cette définition est largement acceptée par la communauté scientifique.
En ce qui concerne la forme déformée de la section transversale, les définitions «phénoménologiques» sont fondamentalement acceptées.
Il est recommandé de calculer et tracer les forces critiques et les formes d’instabilité en fonction de la longueur de demi-onde, on parle alors d’une courbe de signature. Cette option permet d’éviter la multiplicité des valeurs propres associée aux instabilités développant différents nombres de demi-ondes. La quantité des résultats à analyser visuellement est ainsi réduite ce qui simplifie significativement l’identification des modes d’instabilité. La MBF possède cette attrayante capacité. D’ailleurs, c’est pour cette raison qu’elle est devenue populaire dans le domaine de la stabilité élastique des structures à parois minces.
Une fois la courbe de signature tracée, l’identification des modes purs d’instabilité se fait visuellement. une courbe de signature typique est présentée. Cette courbe possède deux minima à des longueurs de demi-ondes relativement petites et moyennes, puis à une certaine longueur elle tend asymptotiquement vers zéro. Les formes déformées associées aux charges critiques obtenues aident à identifier les modes purs recherchés. Il est clair que le mode associé au premier minimum est un mode local, par contre le mode associé au deuxième minimum est un mode distorsionnel. Les deux charges critiques correspondantes à ces deux minima sont les charges critiques à retenir comme « inputs » pour la DSM, et notamment pour le calcul de la capacité portante de l’élément.
Travaux de recherches basés sur la méthode des splines bandes finies
Lau et Hancock sont les premiers qui ont utilisé cette méthode pour étudier le flambement des plaques minces et des structures à parois minces soumises à des contraintes de compression longitudinale et transversale et aux cisaillements en considérant diverses conditions aux limites. Les mêmes auteurs l’ont utilisé pour étudier le flambement inélastique d’éléments structuraux à parois minces et de plaques en considérant une relation contrainte-déformation non linéaire, l’écrouissage et les contraintes résiduelles ont formulé une analyse élastique non linéaire, basée sur la méthode des splines bandes finies, afin d’étudier les comportements post-critiques des trois modes d’instabilité (c.-à-d., local, distorsionnel et global) en tenant compte des imperfections géométriques, des chargements arbitraires et des conditions aux limites complexes. Le comportement linéaire et non linéaire d’éléments à paroi mince en intégrant une réponse non linéaire qui tient compte de la réserve post-critique du voilement et du comportement plastique a été étudié par Hancock et al. Le domaine couvert par cette étude est celui des modes locaux, distorsionnels et globaux ; ceci a été réalisé au moyen de la méthode des splines bandes finies ainsi que de la méthode des bandes finies conventionnelle.
La méthode des splines bandes finies a été utilisée également pour étudier les structures à parois minces avec trous rectangulaires et appuis intermédiaires. Madasamy et al., ont utilisé des fonctions B3-splines à intervalles inégaux dans la direction longitudinale, ce qui a permis un raffinement sélectif du maillage afin d’améliorer l’exactitude de la solution à l’endroit des effets discrets. Une méthode simplifiée pour l’inclusion de supports externes et internes dans la MSBF a été proposée par Vrcelj et al. Dans cet article, une technique simple permettant de supprimer le besoin de splines modifiées a été présentée. La même équipe de recherche, dirigée par Bradford, a utilisé les polynômes de Legendre et des fonctions splines modifiées pour analyser la stabilité et les vibrations libres des plaques et des poutres à paroi mince. Ces modifications ont amélioré considérablement les performances de la MSBF par rapport à celles de la méthode conventionnelle.
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Table des matières
Chapitre 1 :Introduction
1.1 Contexte − Problématique
1.2 Objectifs − Contributions
1.3 Plan de la thèse
Chapitre 2 :Profilés formés à froid : Particularités
2.1 Introduction
2.2 Les trois instabilités de base
2.2.1 Introduction
2.2.2 L’instabilité locale
2.2.3 L’instabilité globale
2.2.4 Instabilité distorsionnelle
2.2.5 Commentaires
2.3 Règles de calcul des profilés formés à froid
2.3.1 Introduction
2.3.2 Le concept de largeur efficace
2.3.3 La méthode de résistance directe (DSM)
2.4 La méthode des bandes finies classique : Un outil important dans l’étude de la stabilité des profilés formés à froid
2.5 L’identification visuelle des modes purs d’instabilité
2.5.1 Règles pratiques
2.5.2 L’incertitude dans l’identification des modes purs d’instabilité
2.5.2.1 Exemple (a)
2.5.2.2 Exemple (b)
2.5.2.3 Exemple (c)
2.5.2.4 Exemple (d)
2.5.2.5 Exemple (e)
2.5.2.6 Discussion
2.6 Décomposition et identification modale : Un nouvel outil dans la compréhension et la conception des profilés formés à froid
2.6.1 Introduction
2.6.2 Principe
2.6.3 Exemples d’application de la MBFc
2.6.4 Applicabilité de la MBFc dans la procédure de dimensionnement des PFF
2.6.5 Autres travaux de recherches sur la décomposition modale
2.7 Conclusion
Chapitre 3 :La méthode des splines bandes finies conventionnelle
3.1 Introduction
3.2 Justification du choix de la méthode des splines bandes finies
3.3 Travaux de recherches basés sur la méthode des splines bandes finies
3.4 La méthode des splines bandes finies : la théorie
3.4.1 La fonction spline
3.4.2 Champ de déplacement
3.4.3 Modélisation – Fonctions d’interpolation
3.4.4 Matrices de rigidité
3.4.5 Matrices de rigidité géométrique
3.4.6 Transformation et assemblage
3.4.7 Solution de l’équation de la stabilité
3.5 Le programme élaboré
3.5.1 Une nouvelle version de SHEBA
3.5.2 Exemple numérique
3.5.2.1 La colonne étudiée et sa modélisation
3.5.2.2 Résultats et commentaires
3.6 Conclusion
Chapitre 4 :La méthode des splines bandes finies contrainte : Dérivation
4.1 Introduction
4.2 Principe
4.3 Dérivation de 𝐑𝐆 et 𝐑𝐃
4.3.1 Introduction
4.3.2 Dérivation de 𝐑𝐆𝐃
4.3.2.1 Introduction
4.3.2.2 La matrice de rigidité élastique dans l’espace GD : 𝐊𝐄,𝐆𝐃
4.3.2.3 La matrice de contrainte pour les DDL membranaires
4.3.2.4 Applications de la matrice de contrainte pour les degrés de liberté membranaires à la matrice de rigidité globale 𝐊𝐄,𝐆𝐃
4.3.2.5 Dérivation de la matrice de contrainte 𝐑𝐆𝐃
4.3.3 Décomposition de l’espace GD
4.3.3.1 Introduction
4.3.3.2 Dérivation de 𝐑𝐆
4.3.3.3 Dérivation de 𝐑𝐃
4.4 Dérivation de 𝐑𝐋
4.5 Dérivation de 𝐑𝐎
4.6 Conclusion
Chapitre 5 :La méthode des splines bandes finies contrainte : Applications
5.1 Introduction
5.2 Un premier exemple de validation : Section en C
5.3 Algorithme d’optimisation du modèle splines bandes finies
5.3.1 Introduction
5.3.2 Optimisation du nombre des nœuds de la section transversale
5.3.3 Optimisation du nombre des sections nodales (ou sections splines) par demi-onde
5.4 Résultats de l’espace L et GD
5.4.1 Section en I soumise à une flexion
5.4.2 Section transversale avec des branches et des parties fermées
5.4.3 Section fermée ramifiée
5.5 Décomposition de l’espace GD
5.5.1 Introduction
5.5.2 Trois sections en C additionnelles : Section CS2, CS3 et CS4
5.5.3 Section creuse rectangulaire (RHS)
5.5.3.1 Introduction
5.5.3.2 Torsion des sections fermées
5.5.3.3 Exemples de validation
5.5.4 Calcul des modes globaux individuels
5.6 Une approche alternative de décomposition de l’espace D
5.7 Discussion sur l’applicabilité de la MSBFc dans la procédure de dimensionnement des PFF
5.8 Un nouvel outil de conception des PFF basé sur la MSBFc
5.9 Conclusion
Conclusions générales
Références
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