Introduction à la théorie des ensembles aléatoires. Modèle booléen

L’étude quantitative de nombreux phénomènes naturels est conditionnée par leur variabilité dans l’espace et dans le temps. Ces variables sont étudiées à partir de mesures expérimentales parfois rares et bruitées, obtenues par un échantillonnage souvent préférenciel et peu exhaustif pour des raisons pratiques diverses : économiques, d’accessibilité au phénomène ou même à cause des limitations dans les instruments de mesure.

Un tel échantillonnage permet, selon les cas, d’avoir une connaissance partielle des objets étudiés (par exemple, les gisements de minerais connus par sondages) ou d’obtenir une information sur une population à partir d’un groupe d’objets (l’étude des populations de plantes, les villes dans une région, les cellules biologiques, …). L’extrapolation de cette information partielle à tout le phénomène est affectée d’une grande incertitude, puisqu’un grand nombre d’interprétations, toutes cohérentes avec les observations, sont possibles. Une des approches utilisées pour répondre à cette question est l’approche probabiliste. Les modèles probabilistes essaient de tenir compte de cette incertitude en donnant l’opportunité de créer plusieurs réalisations, c’est à dire différentes «réalités possibles». Chacune de ces réalisations est une simulation. Elles sont qualifiées de conditionnelles si elles respectent les données expérimentales. L’utilisation de ce type de modèles permet ainsi de résoudre certains problèmes liés à la prédiction et à l’estimation : l’interpolation des données, le filtrage, l’optimisation, le changement de support et d’échelle, l’intégration de plusieurs paramètres, la simulation, etc.

Les ensembles aléatoires constituent une classe particulière des modèles probabilistes. La notion d’ensemble aléatoire est introduite par la nécessité de modéliser certains phénomènes naturels à nature géométrique qui présentent une hétérogénéité plus ou moins importante à différentes échelles et, en même temps, un certain caractère structuré. Des exemples de tels phénomènes sont les milieux poreux, les structures granulaires dans les matériaux, les cellules biologiques ou certaines structures géologiques, etc. Ces modèles cherchent alors à représenter les propriétés de la structure, de la morphologie ou les propriétés physiques de ces milieux hétérogènes. La classe des ensembles aléatoires est d’une grande richesse : les processus ponctuels, les réseaux des droites, les partitions polyédriques de l’espace, les aggrégats, … . Mais les principaux modèles utilisés sont les processus de points, le modèle booléen et les partitions polyédriques de l’espace. De différents phénomènes physiques sont associés à des modèles variés. Ainsi, par exemple, des inclusions non métalliques dans un acier sont modélisées par des processus stochastiques ponctuels, les structures granulaires par des partitions aléatoires de l’espace et les milieux poreux par le modèle booléen, etc. Du fait du grand nombre de propriétés que la notion d’ensemble aléatoire met en jeu (la géométrie des réalisations, la topologie, la variabilité dans la forme et taille des objets…) la caractérisation de la loi d’un tel ensemble n’est pas immédiate. La formalisation utilisée dans ce travail pour définir un ensemble aléatoire a été établie par Matheron (1969, 1972). Cette approche est basée sur une idée principale : à partir d’un certain ensemble connu,S , on analyse si l’événement “S rencontre l’ensemble aléatoire étudié” est vérifié ou non .

Ensembles aléatoires 

Les ensembles aléatoires constituent un modèle mathématique général utilisé depuis longtemps pour reproduire des phénomènes naturels présentant des formes géométriques plus ou moins irrégulières. Ces phénomènes peuvent présenter des structures très complexes qu’il est nécessaire de modéliser à partir d’une information expérimentale souvent limitée.

Un ensemble est défini mathématiquement à travers la totalité des relations existant entre ses parties constitutives. Expérimentalement il faudrait tester, pour déterminer complètement cet ensemble, toutes les relations possibles et examiner si elles sont vérifiées ou non. Ceci est généralement impossible. Dans la pratique, nous ne disposons que de quelques paramètres mesurables et nous ne pouvons tester qu’un nombre limité de relations pour définir le modèle. Ceci a été le problème abordé par Matheron quand, en 1967, il donne une première interprétation des milieux poreux en termes d’ensembles aléatoires et “résume les propriétés essentielles de leurs structures sous la forme d’un petit nombre de paramètres statistiquement représentatifs” (Matheron, 1972). Pour caractériser ces ensembles aléatoires, il s’est servi d’un outil structural qui joue le même rôle que la fonction de répartition pour les variables aléatoires : la capacité de Choquet ou fonction de répartition d’un ensemble aléatoire.

Processus de Poisson 

Le processus de Poisson fait parti d’une famille plus générale : les modèles de points aléatoires. Ces modèles constituent la classe la plus étudiée d’ensembles aléatoires. De la même façon que la structure élémentaire de la géométrie est le point, les modèles de points aléatoires sont à la base de la géométrie stochastique. Malgré leur simplicité géométrique, ils permettent la modélisation de nombreux phénomènes aléatoires qui se présentent sous la forme d’une population de points : des réserves forestières, des inclusions non métalliques dans un acier, des étoiles, etc. De plus, ils sont le point de départ pour la construction de modèles plus complexes. En particulier, le modèle booléen auquel nous nous intéressons est généré à partir d’un processus de Poisson.

Processus ponctuels

Un processus de points aléatoires dans ℝd est un ensemble aléatoire dont chacune des réalisations est constituée d’une population de points. Ici, nous sommes concernés par les processus fermés (i.e. la limite de toute suite de points de la réalisation appartient aussi à la réalisation) qui constituent des ensembles fermés aléatoires. Plus particulièrement, nous nous intéressons aux processus localement finis pour lesquels le nombre de points du processus tombant dans un sous ensemble mesurable est presque surement fini. Dans ce cadre, les caractéristiques statistiques du processus peuvent être définies en dénombrant le nombre de points qui tombent dans un ensemble “test” mesurable. Cette restriction nous permet d’introduire la notion de mesure de comptage, qui va définir la loi spatiale d’un processus ponctuel de façon analogue à la loi qui caractérise les fonctions aléatoires.

Processus de Poisson général : non stationnaire ou régionalisé

Dans les cas modélisés par un processus de Poisson stationnaire, les points sont distribués dans le milieu de façon homogène, c’est à dire, le nombre moyen de points tombés par unité de volume ne varie pas dans l’espace. Ceci est représenté par une mesure qui est, dans ce cas, proportionnelle au volume de la région étudiée. La constante de proportionalité θ  , appelée intensité, donne le nombre moyen de points par unité de volume.

Cependant, de nombreux phénomènes présentent des variations impossibles à modéliser par un modèle stationnaire. Dans ce cas, le processus de Poisson général fournit un modèle stochastique plus général, où le nombre moyen de points par unité de volume n’est plus constant, mais il peut varier dans l’espace. Par la suite, nous allons introduire brièvement la généralisation des concepts, présentés dans cette section (la mesure, l’intensité du processus, etc.), qui caractérisent le modèle général.

Le processus de Poisson est à la base du modèle booléen que nous introduirons ultérieurement. Dans ce chapitre nous avons posé les bases de la théorie des processus ponctuels en particularisant pour le processus de Poisson, dans les cas stationnaire et non stationnaire. Les processus ponctuels en général peuvent être décrits aussi bien comme des ensembles fermés aléatoires, que comme une mesure de comptage. Cette seconde notion est celle que nous avons utilisée dans les processus de points puisqu’elle nous permet de les décrire d’une façon intuitive : en dénombrant le nombre de points tombés dans une certaine région de l’espace. Dans le cas du processus de Poisson, ce nombre suit une loi de Poisson. Ainsi, nous avons introduit un paramètre qui sera très important dans ce travail : la fonction d’intensité de Poisson qui va déterminer le nombre moyen de points tombant dans un volume et aussi leur distribution dans ce volume. La détermination de ce paramètre à partir des informations concernant les chenaux dans un réservoir constitue une grande partie du corps de cette thèse.

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Table des matières

Introduction
I Introduction à la théorie des ensembles aléatoires. Modèle booléen
1 Ensembles aléatoires
1.1 Ensembles fermés aléatoires (EFA)
1.2 Fonction de répartition d’un ensemble fermé aléatoire
1.2.1 Quelques propriétés des ensembles fermés aléatoires
1.2.2 Translation, dilatation, erosion
1.2.3 Mesures et transformations sur les ensembles fermés aléatoires
1.3 Ensembles fermés aléatoires stationnaires et isotropes
2 Processus de Poisson
2.1 Processus ponctuels
2.1.1 Ensemble fermé aléatoire versus mesure de comptage
2.1.2 Moments et mesures des moments
2.1.3 Stationnarité et isotropie
2.1.4 Ergodicité
2.2 Processus de Poisson
2.2.1 Processus de Poisson stationnaire
2.2.2 Processus de Poisson général : non stationnaire ou régionalisé
3 Modèle booléen
3.1 Définition du modèle booléen
3.1.1 Stationnarité, isotropie et ergodicité
3.1.2 Propriétés de stabilité
3.2 Capacité de Choquet du modèle booléen
3.2.1 Une propriété fondamentale du modèle booléen
3.2.2 Applications de la propriété fondamentale : cas stationnaire
3.3 Simulation d’un modèle booléen
II Inférence des paramètres du modèle
4 Description des variables expérimentales
4.1 Proportions
4.1.1 Proportion expérimentale d’un faciès
4.1.2 Probabilité ponctuelle associée au modèle booléen : capacité de Choquet ponctuelle
4.2 Probabilité ponctuelle associée à l’objet
4.2.1 Deux cas élémentaires : parallélépipède et demi-ellipse
4.3 Conclusions
5 Inférence de l’intensité de Poisson
5.1 Méthode de déconvolution pour l’obtention de l’intensité
5.1.1 Filtre de déconvolution : filtre de Wiener
5.1.2 Interprétation du bruit – Paramètre
5.1.3 Étude de sensibilité
5.2 Aspects pratiques
5.2.1 Traitement des valeurs négatives de l’intensité
5.2.2 Calcul du nombre d’objets à simuler
5.2.3 Définition du domaine de calcul
5.3 Conclusions. Avantages et limitations de la méthode
Conclusion

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