Interaction Sol-Structure et fondations vibrantes

Généralités

Le phénomène de l’interaction dynamique fondation-sol-fondation a été longtemps reconnu comme un facteur important dans la réponse sismique et dynamique des structures étroitement espacées. Les machines vibrantes constituent une source de vibrations qui sont transmises au sol environnant. Selon l’énergie communiquée au milieu, cette perturbation peut affecter considérablement le sol ou les structures adjacentes. L’analyse raisonnable du phénomène exige de tenir compte de la nature dynamique de l’interaction entre le sol et la fondation. C’est essentiellement un problème de propagation d’ondes avec des conditions aux frontières mixtes (c.-à-d. déplacement rigide de corps sous les fondations et tractions nulles ailleurs). Ceci rend assez difficile la solution analytique du problème même pour des cas de géométrie simple. A cause de cette complexité, les méthodes analytiques simplifient beaucoup la géométrie du problème. En outre, il y a une absence apparente des modèles discrets simplifiés qui est due, peut-être, du manque général de résultats rigoureux qui seraient employés pour la vérification et le calibrage de tels modèles. Les géométries complexes, les types de chargements et la nature du sol, ont découragé en général le développement des solutions analytiques. Grâce aux performances grandissantes des ordinateurs, aux développements d’outils numériques tels que les méthodes des Eléments Finis et les Eléments Frontières et des conditions de sécurité très rigoureuses imposées à certains types de structures tels que les réacteurs des centrales nucléaires, les turbo-alternateurs des centrales électriques, …etc, l’étude du phénomène d’interaction sol-fondation et fondation solfondation a constitué un intérêt particulier pour de nombreux chercheurs.

L’analyse dynamique des fondations placées ou encastrées dans un sol semi-infini est le plus important problème d’interaction sol-structure ou structure-sol-structures. Les fondations rigides ou flexibles en surface ou encastrées, bidimensionnelles ou tridimensionnelles avec ou sans superstructures, sujettes à des forces extérieures dynamiques ou à des ondes sismiques peuvent être analysés successivement par la méthode des Eléments Frontières dans le domaine fréquentiel ou temporel seule ou couplée avec la méthode des Eléments Finis. Quand l’étude est effectuée dans le domaine temporel, la réponse des fondations rigides sous sollicitations dynamiques ou sismiques est obtenue par la méthode d’intégration du temps pas-à-pas de l’équation intégrale discrète pour le sol. Si l’étude est dans le domaine fréquentiel, on détermine par la méthode des Eléments Frontières appliquée au sol la matrice impédance (ou rigidité dynamique) [K(ω)] de chaque fondation rigide pour le cas de forces dynamiques et la matrice du mouvement (input motion matrix) [C(ω)] pour le cas d’une sollicitations sismiques à partir de laquelle la réponse de la fondation {Δ} est obtenue par la solution des équations suivantes :

{P}= [K(ω)]{D}
{D}= [C(ω)]{uf}

où,
{P} et {uf} sont les vecteurs des amplitudes des forces extérieures et le mouvement de la surface libre respectivement. Quand les fondations sont flexibles ou reliées à une superstructure, la méthode des Eléments Finis est souvent utilisée pour les fondations flexibles ou la superstructure par contre la méthode des Eléments Frontières est appliquée pour le sol .

Interaction Sol-Structure et Fondations Vibrantes

On entend généralement par interaction Sol-Structure l’étude du comportement d’une structure soumise à une sollicitation sismique ou dynamique. Littéralement, l’interaction SolStructure traduit la modification du mouvement du sol (ou de la structure) lors d’un séisme ou d’une sollicitation dynamique du fait de la présence de l’autre composant (structure ou sol). Cette interaction est bien entendue plus ou moins importante suivant la nature du sol, les caractéristiques de l’ouvrage et son mode de fondation. La nécessité d’étudier la réponse sismique ou dynamique d’un ouvrage, en ne le considérant pas isolément mais comme partie intégrante d’un ensemble comprenant le sol et les structures avoisinantes, rend les analyses d’interaction Sol-Structure impérieuses pour une part grandissante d’ouvrages importants : centrales nucléaires, centrales électriques, réservoirs de gaz liquéfié (GNL) , barrages,…etc.

Pour résoudre un problème d’interaction Sol-Structure, plusieurs aspects nécessitent une étude approfondie à savoir : la définition de l’aléa sismique et du mouvement résultant, l’étude du comportement du sol sous chargement cyclique, l’évaluation de la réponse du sol en champ libre et celle des structures sous chargement dynamique. L’abondance de la littérature concernant l’interaction Sol-Structure traduit à la fois la complexité du phénomène et l’intérêt qu’y ont porté nombre de chercheurs. Deux synthèses générales ont entrepris une classification des méthodes d’étude de l’interaction Sol-Structure Lysmer (1978) [112] et Idriss-Kennedy (1980) [77]. Ces publications mettent en évidence le fait que l’étude des phénomènes d’interaction est essentiellement limitée au cas des problèmes linéaires. L’approche de problèmes purement non linéaire reste l’exception.

Fondations vibrantes

Bien avant l’étude de la réponse d’ouvrages à sollicitations sismiques, les ingénieurs se sont intéressés aux vibrations des fondations engendrées par les machines qu’ils supportent. Tout naturellement, en abordant les phénomènes d’interaction Sol Structure, seul l’aspect théorique de l’analyse de la réponse vibratoire sera abordé dans ce chapitre. Dans toute cette étude, nous considérons que des fondations rigides sont soumis à des sollicitations (forces, moments, couple de torsion) harmoniques. La réponse aux efforts transitoires s’obtient tout naturellement par décomposition de la sollicitation en série de Fourier. Concernant la loi de comportement du sol, nous ne nous référons qu’au seul modèle viscoélastique linéaire équivalent. En effet, s’agissant de vibrations de machines, leur bon fonctionnement nécessite une limitation de l’amplitude de leurs déplacements. Par voie de conséquence, les efforts transmis au sol de fondation sont faibles et celui-ci n’est pratiquement pas sollicité au-delà de son domaine d’élasticité. Le comportement du sol est défini par son module de cisaillement élastique G et son coefficient de poisson ν. Contrairement à l’étude de la réponse sismique d’un profil de sol, l’étude des vibrations de machines est un problème de source mathématiquement bien posé. Des solutions exactes peuvent être obtenues sans qu’aucune hypothèse concernant la nature des ondes émises ne soit nécessaire.

Définition générale des fonctions impédances

Considérant une fondation de forme quelconque reposant à la surface d’un milieu semi-infini et soumise à une sollicitation harmonique P(t) . Outre la sollicitation appliquée, les forces s’exerçant sur la fondation sont les forces d’inertie et les forces de réactions du sol R(t). Il en résulte, en régime stationnaire, un déplacement z(t) de la fondation. Associant à la fondation réelle une fondation fictive de même caractéristiques géométriques mais de masse nulle. Soit Z(t) son déplacement lorsqu’elle est soumise à la force appliquée P(t).

Formulation d’un problème d’Interaction Sol-Structure

Actuellement, différentes procédures sont employées pour la détermination des impédances de fondation de forme quelconque soumises à une sollicitation harmonique (force ou moment). Une procédure donnée est plus ou moins bien adaptée à la solution d’un problème, et il n’existe pas de méthode universelle permettant de déterminer l’impédance d’une fondation, quels que soient la forme de cette dernière, son encastrement dans le sol, la stratigraphie du sol de fondation, la fréquence d’excitation,…etc. Il est donc important de connaître les limitations et avantages principaux de chacune d’entre elles pour choisir la mieux adaptée au problème posé. On peut distinguer :

• Les solutions obtenues à partir d’une formulation continue du problème conduisant à des solutions analytiques
• Les solutions obtenues à partir d’une formulation semi-analytiques.
• Les solutions obtenues à partir d’une formulation discrétisée du problème : méthode des Eléments Finis et la méthode des Eléments Frontières.

Les solutions analytiques ne peuvent être obtenues qu’en simplifiant la condition de contact :
• Les contraintes de cisaillement sont supposées nulles à l’interface pour les mouvements de translation verticale ou de balancement autour d’un axe horizontal
• Les contraintes normales sont supposées nulles pour les mouvements de translation horizontale.

L’application de transformations intégrales (Fourier ou Hankel) conduit, pour chaque mode de vibration à un ensemble d’équations intégrales duales réductibles à une équation de Fredholm dont l’évaluation est obtenue numériquement.

Les solutions semi-analytiques sont obtenues par discrétisation de la surface de contact. Le déplacement résultant de l’application d’une sollicitation harmonique en un des points de la discrétisation est calculé en tous les autres points de la surface de contact. On obtient ainsi une matrice de coefficients d’influence dynamique ; la solution du problème est obtenue en imposant aux déplacements de tous les points de la surface de contact de se trouver dans un plan. Plusieurs techniques numériques sont possibles pour l’obtention de la matrice des coefficients d’influences (fonctions de Green) :

• Utilisation de la solution de Lamb
• Transformation de Fourier
• Méthode des équations intégrales .

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Table des matières

Chapitre 1 Introduction
1.1 Généralités
1.2 Présentation du problème
1.3 But et originalités de la contribution
1.4 Plan de la thèse
Chapitre 2 Interaction Sol-Structure et fondations vibrantes
2.1 Introduction
2.2 Fondations vibrantes
2.2.1 Définition générale des fonctions impédances
2.2.1.1 Impédance d’un oscillateur simple avec masse
2.2.1.2 Impédance d’un oscillateur simple sans masse (modèle Voigt)
2.2.2 Définition générale des fonctions de déplacement (compliance)
2.2.3 Amortissement interne du sol
2.3 Formulation d’un problème d’Interaction Sol-Structure
2.3.1 Introduction
2.3.2 Méthodes de résolution d’un problème Sol-Structure
2.3.2.1 Méthodes globales
2.3.2.2 Méthodes de sous-structures
2.4 Etat de l’art
2.4.1 Models analytiques
2.4.2 Models numériques
1.2.2.1 Méthodes des Eléments Finis (FEM)
1.2.2.2 Méthodes des Eléments Frontières (BEM)
1.2.2.3 Couplage Eléments Finis-Eléments frontières (FEM/BEM)
Chapitre 3 Propagation d’ondes dans un sol
3.1 Introduction
3.2 Equations générales du mouvement
3.3 Différents type d’ondes
3.3.1 Ondes longitudinales et de cisaillements
3.3.2 Ondes de cisaillements polarisées
3.3.3 Propagation d’ondes planes
3.4 Relations de dispersions
3.4.1 Ondes dilatationnelles (ondes-P)
3.4.2 Ondes de cisaillements
3.5 Fonctions de Green
3.6 Le théorème dynamique de réciprocité
3.7 Equations Intégrales Frontières
3.8 La réciprocité des fonctions de Green
3.9 Application des Equations Intégrales pour un problème Sol-Structure
3.10 Equation Intégrale discrète
3.11 Détermination des fonctions de Green d’un sol multicouche
3.12 Conclusion
Chapitre 4 Modèle de calcul de l’interaction 3-D de deux fondations adjacentes
4.1 Introduction et aperçu sur l’état de l’art
4.2 Solution du problème
4.2.1 Matrice de flexibilité du sol
4.2.2 Modèle de calcul
4.2.3 Réponse du modèle
4.2.3.1 Conditions de rigidité et d’équilibre
4.2.3.2 Détermination des fonctions impédances (compliances)
Chapitre 5 Résultats et discussions
5.1 Présentation du programme
5.1.1 Partie existante du programme (FONDVIB)
5.1.2 Partie développée dans cette thèse (FONDVIB2)
5.2 Validation de la méthode
5.3 Analyse paramétriques
5.3.1 Cas d’une seule fondation chargée
A. Influence de la hauteur du sol
B. Influence de la distance entre les deux fondations
C. Influence de la masse des deux fondations
D. Influence de l’encastrement
E. Influence du coefficient de poisson
F. Influence du coefficient d’amortissement
5.3.2 Cas de deux fondations chargées
A. Influence de la hauteur du sol
B. Influence de la distance entre les deux fondations
C. Influence de la masse des deux fondations
D. Influence de l’encastrement
E. Influence du coefficient de poisson
F. Influence du coefficient d’amortissement
Chapitre 6 Conclusions générales et perspectives
6.1 Conclusion
6.2 Perspectives futurs
6.2.1 Généralisation de la présente étude
6.2.2 Etudes à développer
Références
Annexes

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