Soutenance mémoire
Intentions des programmes des sciences
Registres sémiotiques au sens de Duval (1995)
Un savoir mathématique ne s’appréhende et n’acquiert du sens que par l’intermédiaire de systèmes d’expressions et de représentations sémiotiques. On en distingue plusieurs. Les nombres s’appréhendent par le biais du système d’écriture décimale, fractionnaire, binaire etc., les objets mathématiques s’appréhendent par le biais des écritures algébriques, analytiques, symboliques ou par leurs représentations graphiques voire par l’invocation de figures géométriques, etc. En physique, par exemple, l’appropriation des interactions entre les variables d’un phénomène à l’étude requiert l’utilisation de plusieurs systèmes de représentations sémiotiques, comme les écritures algébriques dimensionnelles, les représentations graphiques (oscillographes), la tangue maternelle, les notations symboliques.etc.
Duval (1995) définit un registre sémiotique comme étant un système sémiotique permettant à
l’élève tes trois activités cognitives fondamentales de sa pensée:
– «constituer une trace oti tin assemblage de traces perceptibles qui soient identflables comme une représentation de qtteÏqtie chose dans un système détenniné »; – «transfirmer les représentations par les seules règles propres au système de façon à obtenir d’autres représentations pouvant constituer un apport de connaissance par rapport aux représentations initiales », – « convertir les représentations produites dans ttn système en représentations d ‘un autre système, de telle façon que ces dernières permettent d’expliciter d ‘autres significations relatives à ce qui est représenté »
Pour cet auteur, la compréhension en mathématiques repose sur la distinction entre l’objet et sa représentation sémiotique. Toute confusion entre ces deux derniers «entraîne, à plus ou moins long terme, une perte de compréhension. Les connaissances acquises deviennent alors vite inutilisables hors de leur contexte d’apprentissage… » (Duval, 1995, p 2).
Ainsi, en mathématiques l’utilisation des représentations sémiotiques ne se limite pas à des fins de communication. Elle est nécessaire aussi au développement de l’activité cognitive de l’élève voire même de l’activité de résolution de problème mathématique elle-même. Pour Duval, le fait que, d’une part, « l’appréhension des objets mathématiques ne peut être qut ‘une appréhension conceptuelle », et d’autre part, «e ‘est seulement par le moyen des représentations sémiotiques qu ‘une activité sur des objets mathématiques est possible » (cité dans Malafosse, 2002, p.41), constitue « le paradoxe cogniqf de la pensée mathématique » (cité dans Malafosse, 2002, p.41). Ce paradoxe justifie l’intérêt et la nécessité des registres sémiotiques. Par exemple, ta droite géométrique, au sens d’Euclide, est un ensemble de points alignés qui forment une courbe continue illimitée. Les élèves appréhendent ainsi cette notion par le biais de sa représentation graphique ou algébrique. Or, pour Duval .
« C’est justement cette notion de « point » qui fait problème: itn ensemble de points sur te registrefigurat est discret, il ne peut être continu… Il y a donc un écart sémantique irréductible entre ces deux « représentations » que l’on cherche implicitement à réunir pour donner un sens à la notion de point »
Ainsi, tant en mathématiques qu’en physique, l’étude, de ces systèmes d’écriture et ces représentations sémiotiques s’avère très importante parce qu’elle accroît le développement des activités cognitives chez l’élève.
L’analyse des difficultés relatives à la conceptualisation, au développement du raisonnement scientifique et de l’activité cognitive de l’élève fait face à trois phénomènes inter reliés. Le premier est celui de la «diversification des registres de représentation sémiotique» (Duval, 1995, p. 21) dont chacun pose des problèmes et des questions d’apprentissage spécifiques. Par exemple, le langage naturel et les langues symboliques seraient deux registres différents dont chacun est régi par ses propres règles. Le deuxième est celui de la « dUférenciation entre représentant et représenté » (Duval, 1995, p. 22). Ce phénomène est associée, d’une part à l’appropriation par l’élève de ce dont une représentation tient lieu (afin de pouvoir y associer d’autres représentations), et d’autre part à l’intégrer dans des procédures de traitement. Or, cette différenciation ne se fait jamais de façon spontanée. Le troisième phénomène est celui de la « coordination entre les dffe’rents registres» (Duval, 1995, p. 22). Ces phénomènes sont essentiellement associés à la sémiosis. Pour Duval, pour qu’une représentation donne à l’élève accès à l’objet qu’elle symbolise et à son concept, deux conditions doivent être remplies
– « qu ‘il dispose d‘au moins deux systèmes sémiotiques dUjérents pour produire la représentation d’un objet, d’une situation, d’un processus… » – « qu ‘il puisse convertir « spontanément » d’un système sémiotique à I ‘autre, sans même le remarquer, les représentations produites» (Duval 1995, p. 22).
Ainsi, il y a trois activités cognitives fondamentales qui sont liées à la sémiosis:
1) la formation de représentations dans un registre sémiotique
2) le traitement
3) la conversion.
Formation de représentations dans un registre sémiotique
L’activité de formation de représentations dans un registre sémiotique doit respecter ses règles de conformité. Selon Duval (1995, p.37-38), ses règles portent essentiellement sur:
– « la détermination (strictement limitée, ou au contraire ouverte,) d ‘unités élémentaires «onctionnettement homogènes ou hétérogènes….) : symboles, vocabulaire… » – « tes combinaisons admissibles d’unités élémentaires pour former des unités de niveau supérieur: règles de formation pour un systèmeformel, grammaire po;tr tes langues naturelles… » – « tes conditions pour qu’une représentation d’ordre supérieur soit une production pertinente et complète: règles canoniques propres à un genre littéraire ou à un type de production dans un registre. »
Ces règles de conformité permettent à un individu de reconnaître le registre auquel une représentation sémiotique donnée appartient. Par exemple, elles permettent d’identifier une représentation comme étant une écriture algébrique, une écriture numérique, une loi en physique ou une figure géométrique. Notons que cette reconnaissance n’implique pas nécessairement, ni la compréhension de ce qu’une représentation dénote, ni son utilisation ni son exploitation.
Comme le précise Duval, la formulation de représentations sémiotiques est une activité qui est beaucoup plus complexe que l’application des règles de conformité. Elle implique la «sélection d’un certain nombre de caractères d’un contenu perçu, imaginé ou dejà représenté enJnction des possibilités de représentation propres au registre choisi » (Duval
1995, p.38).
Activité de traitement
Pour cet auteur, il faut distinguer entre une activité de traitement et une activité de conversion. Or, on les confond très souvent.
Selon Duval, un traitement est la transformation d’une représentation en une autre mais dans le même registre. Donc, cette activité de transformation est tout à fait interne à un registre donné. Par exemple, pour factoriser l’expression algébrique suivante: x2 — 8x + 12 on doit transformer sa représentation sémiotique en une autre qui sera aussi dans le même registre algébrique du départ, celle d’un produit de deux facteurs : (x — 6)*(x — 2). Le calcul, qu’il soit arithmétique, algébrique ou symbolique, est en général un traitement. La paraphrase en est aussi un exempte dans le registre du discours. L’activité de traitement d’une représentation est engendrée par des règles d’expansion propres à cette représentation. Les règles d’expansion sont différentes de celles des règles de conformité. Selon ces règles, la nouvelle représentation produite à partir de celle du départ sera établie dans le même registre de départ.
Activité de conversion
La conversion est aussi la transformation d’une représentation, d’un objet, d’une situation ou d’une information dans un registre, en une autre qui représente le même objet, situation ou information de départ, cette fois, dans un registre différent. Donc, cette activité de transformation est tout à fait externe par rapport au registre et à la représentation de départ.
Par exemple, le passage d’une équation algébrique d’une droite à sa représentation graphique ou inversement, la mise en évidence de la correspondance entre le coefficient directeur du registre algébrique et l’angle formé avec l’axe des abscisses du registre graphique permettraient la conversion de cette droite entre ces deux registres. Selon Duval (1995, p.4]), «ta conversion requiert que t ‘on perçoive ta différence entre ce que frege appelait le sens et la reférence des symboles ou des signes, ou entre le contenu d’une représentation et ce qu ‘elle représente. » Sans ce discernement, la conversion deviendrait alors une activité impossible voire même une activité incompréhensible. Prenons l’exemple de Duval (1995) sur le calcul numérique. Plusieurs élèves savent bien additionner deux nombres ayant chacun soit une écriture décimale soit une écritctre fractionnaire. Cependant, certains ont de la difficulté à additionner deux nombres s’ils sont écrits l’un en écriture décimale et l’autre en écriture fractionnaire car les élèves ne pensent pas à convertir l’écriture décimale en une écriture fractionnaire ou inversement. En plus, même si la question posée sur le calcul exige cette conversion préalable, plusieurs élèves auront de la difficulté ou même ne la réussiront pas. Duval analyse cette difficulté par le fait que l’écriture décimale, l’écriture fractionnaire et t’écriture exponentielle forment trois registres différents de représentation dc nombres. Dans ce cas, il faut distinguer «la signification opératoire attachée au signflant et le nombre représenté» (Duval, 1995, p.41). Dans cet exemple, la signification opératoire pour 0.25, ¼ et 25.10 2 est différente pour chaque cas car les règles d’expansion du traitement qui permettent ces trois additions ne sont pas les mêmes, même si elles donnent toutes les mêmes résultats:
0.25 + 0.25 = 0.5 ; ¼ + ¼ = ; 25.102 + 25.102 = 50.102
Ces trois signifiants ont chacun une signification opératoire différente mais leur représentation sémiotique représente et signifie le même nombre. Ainsi, selon Duval, «Si ta signkation opératoire attachée au signiant et commandant la procédure de traitement
n ‘est pas différenciée de Ï ‘objet nombre représenté, alors la substitution par conversion de 0.25 à ¼ n’estplus concevable. » (Duval 1995, p.42).
Plusieurs recherches en didactique des mathématiques montrent que:«la conversion des représentations sémiotiques constitue l’activité cognitive la moins spontanée et ta plus difficile à acquérir chez la grande majorité des élèves » (Duval, 1995, p.44)
Selon Duval, l’activité de conversion dépend du degré de non congruence entre les deux représentations de départ et d’arrivée. «Four déterminer si deux représentations sont congruentes ou non, il faut commencer par tes segmenter en leurs unités signifiantes respectives, de telle façon qu ‘elles puissent être mises en correspondance. » (Duval, 1995, p.47). Pour que deux représentations soient congruentes, on trouve trois critères qui sont relatifs:
1) à la possibilité d’une correspondance « sémantique » des éléments signifiants À chaque unité signifiante simple de la représentation de départ, on peut associer une unité signifiante simple de celle d’arrivée.
2) à l’univocité « sémantique » terminale À chaque unité signifiante élémentaire de la représentation de départ, il ne correspondrait qu’une seule unité signifiante élémentaire dans le registre de la représentation d’arrivée.
3) à l’organisation des unités significatives
Selon le même ordre dans les deux représentations, les organisations respectives des unités signifiantes des deux représentants comparés de départ et d’arrivée permettent d’appréhender les unités en correspondance sémantique. Pour ce chercheur, il n’y a pas de méthodes spécifiques ou de règles générales selon lesquelles l’élève, en les appliquant, sera capable de réussir l’activité de conversion, cela, pour deux raisons. La première correspond au phénomène de non-congruence dont les cas sont toujours des cas particuliers et qui ne peuvent pas être généralisés. La seconde est celle de l’identification des unités signifiantes dans les deux registres de départ et d’arrivée d’un objet. Cette identification dépend du type des registres de départ et d’arrivée ainsi que de l’objet représenté lui-même. Donc, la discrimination des unités signifiantes varie en fonction de l’objet et des registres où il est représenté. Par exemple, les règles de discrimination des unités signifiantes des deux représentations cartésienne et algébrique d’une droite sont différentes de celles des deux représentations géométrique et algébrique d’une homothétie. Cette activité cognitive de discrimination est le coeur, voire la condition nécessaire de toute activité cognitive de conversion donc de toute activité de coordination entre plusieurs registres hétérogènes. Or, souvent c’est la discrimination de ces unités signifiantes qui fait défaut. Selon Duval (1995, p.77), «la discrimination des itnités signifiantespropres à chaque registre doit doncfaire l’objet d’un apprentissage spécflque » car, souvent, c’est elle qui fait défaut lors d’une activité de conversion et de coordination. Pour cet auteur, « l’activité conceptuelle implique la coordination des registres de représentation». Il précise ensuite, pour que I ‘élève puisse «discriminer le représentant et le représenté, ou la représentation et le contenu conceptuel que cette représentation exprime, instancie ou illustre», il doit parvenir au stade de la coordination inter-registre.
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Guide du mémoire de fin d’études avec la catégorie Théorie des Sittiations Didactiques (TSD) |
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Table des matières
RÉSUME
ABSTRACT
TABLE DES MATIÈRES
LISTE DES FIGURES
LISTE DES TABLEAUX
REMERCIEMENTS
INTRODUCTION
Chapitre 1:Problématique
1 .1 Intentions des programmes des sciences
1.2 Une situation problématique
1.2.1.1 Problèmes liés à la modélisation mathématique en sciences expérimentales
1 .2. 1 .2 L’absence d’otitils mathématiques appropriés à la modélisation mathématique
au secondaire et au collège
1 .3 Élaboration de l’idée de solution Il
1.4 Les questions soulevées par celle recherche et l’idée de développement
Chaptire 2: Considérations théoriques
2.1 Registres sémiotiques au sens de Duval (1995)
2.1.1 Formation de représentations dans un registre sémiotique
2.1.2 Activité de traitement
2.1.3 Activité de conversion
2.1.4 Conclusion
2.2 Cadre de rationalité
2.2.1 Instabilité des structures des registres sémiotiques lors d’un changement de cadre de rationalité à l’école secondaire et au collégial
2.2.2 Registres sémiotiqcies transversaux
2.2.3 Conclusion
2.3 Notion de modèle
2.3.1 Représentation, conception et concept
2.4 Modélisation scientifique
2.5 Modélisation didactique
2.5.1 Activité de construction inductive d’un modèle mathématique
2.5.2 Méthodes et outils en mathématiques appliquées pour l’activité inductive de construction d’un modèle
2.5.2.1 Modèle linéaire
2.5.2.2 Détermination graphique et visuelle avec ordinateur
2.5.2.3 Détermination graphique et visuelle de la meilleure courbe sans ordinateur
2.5.2.4 Limites et problèmes
2.5.2.5 Méthode des moindres carrés
2.5.2.6 Limites et difficultés de la méthode des moindres carrés
2.5.2.7 Conclusion
2.5.3 Activités dédttctives à partir du modèle mathématique
2.5.3.1 Détermination des incertitudes par la méthode des extrêmes dans la phase déductive
2.5.3.2 Quelques exemples impliquant des opérations et des fonctions très simples
2.5.3.3 Limites et diffictiltés de la méthode des extrêmes
2.5.3.4 Détermination des incertitudes par le calcul différentiel dans la phase déductive
2.5.3.5 Limites et difficultés du calcul différentiel
2.5.3.6 Conclusion
2.5.4 Conclusion sur les activités cognitives d’interprétation inductive et déductive
appliquées en sciences expérimentales
2.6 Applications pédagogiques assistées par ordinateur
2.6.1 Conclusion
2.7 Théorie des Sittiations Didactiques (TSD)
Chaptire 3: Méthodologie
3.1 Recherche de développement technologique en éducation
3.1.1 Mise à l’essai fonctionnelle
3.1.2 Mise à l’essai empirique
3.1.3 Mise à l’essai systématique
Chaptire 4: Modèle d’action et prototype
4.1 Fondements théoriques de l’idée de cette recherche
4.1 .1 Construire et optimiser un modèle algébrique correspondant à un ensemble de
points expérimentaux
4.1.2 Déterminer visuellement l’incertitude sur son modèle
4.2 Actions possibles dans l’environnement d’apprentissage d’ExAO
4.2.1 Actions possibles dans l’environnement d’apprentissage d’ExAO pour l’activité d’interprétation inductive
4.3 Prototype
4.3.1 Régression Graphico-Statistique (RGS)
4.3.2 fenêtre Graphique
4.3.3 Fenêtre des écarts
4.4 Fenêtre d’histogramme
Chaptire 5: Mise a l’essai fonctionnelle
5.1 Évaluation de la conception de la méthode de RGS et son implantation informatique
5.2 Déverminage du prototype (logiciel MicrolabExAO)
5.3 Validation de contenu de la méthode de Régression Graphico-Statistique (RGS)
5.3.1 Validation avec l’étude de la Pression de l’eau
5.3.1.1 Branchement du matériel à l’ordinateur
5.3.1.2 Préparation du logiciel
5.3.1.3 Expérimentation et acquisition de données
5.3.1.4 Modélisation algébrique de la pression de l’eau en fonction de la profondeur
avec la méthode RGS
5.3.1.5 Modélisation algébrique de la pression de l’eau en fonction de la profondeur
avec la méthode des moindres carrées 95
5.3.1.6 Comparaison des résultats des deux méthodes (RGS et moindres carrés avec
Excel) 96
5.3.2 Validation avec l’étude de la Chute libre
5.3.2.1 Branchement du matériel à l’ordinateur
5.3.2.2 Préparation dti logiciel
5.3.2.3 Modélisation algébrique de la chute libre avec la méthode RGS
5.3.2.4 Modélisation algébrique de la chute libre avec la méthode des moindres carrés
5.3.2.5 Comparaison des deux méthodes (RGS et moindres carrés dans Excel)
5.3.3 Validation avec l’étude de la loi des gaz parfaits
5.3.3.1 Branchement du matériel à l’ordinateur
5.3.3.2 Préparation du logiciel
5.3.3.3 Expérimentation et acquisition de données
5.3.3.4 Modélisation algébrique
5.3.3.5 Modélisation algébrique de la loi des gaz parfaits avec la méthode RGS
5.3.3.6 Modélisation algébrique de la loi des gaz parfaits avec la méthode des moindres carrées
5.3.3.7 Comparaison des résultats des deux méthodes
5.3.4 Validation avec l’étude de la décharge d’un condensatetir
5.3.4.1 Branchement dti matériel à l’ordinateur
5.3.4.2 Préparation du logiciel
5.3.4.3 Expérimentation et acquisition de données de la décharge d’un condensateur
5.3.4.4 Modélisation algébrique
5.3.4.5 Modélisation algébrique de la décharge du condensateur avec la méthode RGS
5.3.4.6 Modélisation algébrique de la décharge du condensateur la méthode des moindres carrés
5.3.4.7 Comparaison des résultats des deux méthodes
5.3.5 Validation avec l’étude du mouvement pendulaire oscillatoire avec un amortissement visqueux
5.3.5.1 Branchement du matériel à l’ordinateur
5.3.5.2 Préparation du logiciel
5.3.5.3 Expérimentation et acquisition de données
5.3.5.4 Modélisation algébrique
5.3.5.5 Modélisation algébrique du mouvement pendulaire avec un frottement
visqueux avec la méthode RGS
5.3.5.6 Modélisation algébrique du mouvement pendulaire avec un frottement
visqueux en utilisant le logiciel Régressi
5.3.5.7 Comparaison des deux méthodes
5.4 Mise à l’essai fonctionnelle sur la conception didactique avec deux experts
Chaptire 6: Mise à l’essai empirique
6.1 Analyse et interprétation des résultats bruts des différents groupes du cotlège Marie de
france
6.2 Analyse et interprétation des commentaires des groupes
6.2.1 Pour ce que les étudiants n’ont pas apprécié par rapport à Régressi
6.2.2 Pour ce que les élèves ont apprécié par rapport à Régressi
6.3 Limites de la mise à l’essai empirique
6.4 Conclusion
Chaptire 7: Résumé et conclusion
7.1 Résumé
7.2 Conclusion
Références
ANNEXE I:Protocole d’expérimentation
ANNEXE 2:Questionnaire fourni aux experts
ANNEXE 3:Réponse du deuxième expert(Professeur en didactique) f ANNEXE 4:Réponse du troisième expert (Professeur en sciences au secondaire) g ANNEXE 5:Expert dans le domaine des régressions linéaires et non linéaires h
ANNEXE 6:Analyse des données qui sont contenues dans le fichier .XAO des sujets
6.1 Analyse des données du groupe I k
6.1 .1 Modélisation algébrique par le chercheur des données du groupe I
6.1.2 Modélisation algébrique du groupe I avec la méthode RGS
6.1 .3 Tableau comparatif de la modélisation algébrique du chercheur et du groupe I
6.1 .4 Tableau synthèse des étapes du processtis de modélisation algébrique du groupel
6.2 Analyse des données du groupe 2 m
6.2.1 Modélisation algébrique des données du groupe 2 effectuée par le chercheur
6.2.2 Modélisation algébrique du groupe 2 avec la méthode RGS
6.2.3 Tableau comparatif de la modélisation algébrique du chercheur et du groupe 2
6.2.4 Tableau synthèse des étapes du processus de modélisation algébrique du groupe 2 n
6.3 Analyse des données du groupe 3
6.3.1 Modélisation algébrique des données du groupe3 effectuée par le chercheur
6.3.2 Modélisation algébrique du groupe 3 avec la méthode RGS
6.3.3 Tableau comparatif de la modélisation algébrique du chercheur et du groupe 3
6.3.4 Tableau synthèse des étapes du processus de modélisation algébrique du groupe 3
6.4 Analyse de données du groupe 4
6.4.1 Modélisation algébrique des données du groupe 4 effectuée par le chercheur
6.4.2 Modélisation algébrique du groupe 4 avec la méthode RGS
6.4.3 Tableau comparatif de la modélisation algébrique du chercheur et du groupe 4
6.4.4 Tableau synthèse des étapes du processus de modélisation algébrique du groupe 4
6.5 Analyse des données du groupe 5
oupe 12 avec ta méthode RGS
6.12.3 Tableau comparatif de la modélisation algébrique du groupe 12 et du chercheur
6.12.4 Tableau synthèse des étapes du processus de modélisation algébrique du groupe 12
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