Soutenance mémoire
L’image numérique est omniprésente dans notre quotidien, les web-cames, les appareils photo, les caméscopes numériques et les scanners, tous ces dispositifs électroniques désormais usuels permettent de produire massivement de telles images. Au-delà de ces utilisations domestiques, la médecine, l’astronomie, la météorologie, etc ; sont aussi de grands générateurs et consommateurs d’images numériques. Le passage de la scène réelle à la forme digitale possède l’avantage de transporter la chaine de traitement de l’image vers le monde de l’informatique, qui est simple, puissant et facile d’accès. Cela a permet d’envisager plusieurs opérations sur l’image comme le zoom, la réduction, la rotation, la détection des contours, etc. L’amélioration de la qualité de l’image fait partie des opérations qu’on peut appliquer sur l’image numérique, comme le déflouage, le débruitage pour les images qui subissent des dégradations au moment de la prise de la scène, ou lors du processus de numérisation ou de transmission.
Parmi aussi, les dégradations que peut subir une image, lors d’un traitement numérique, il y a la perte totale de l’information dans une zone de l’image. Dans cette thèse on s’intéresse au problème de la reconstructions de données manquantes dans une image, Ce processus, couramment nommé : »Inpainting », considéré comme un problème inverse, où partant d’une observation I0 qui représente l’image dégradée, nous essayons de trouver l’image originale I, avec I0 = A(I) où A est l’opérateur qui provoque la dégradation. L’inpainting s’étend aussi à l’opération de supprimer des parties indésirables dans l’image : des écritures, des logos, des taches sur des photographies, pour des effets spéciaux [8, 57] sur l’image, on peut enlever des parties dans la scène elle même. La correction des documents anciens [13, 15], la réparation des rayures de microfilms [51]. L’inpainting nécessite une interpolation spatiale intelligente des pixels connus de l’image sur la zone abimée. Cette restauration de la partie détériorée doit être faite d’une façon plausible.
Dans la littérature, plusieurs approches ont été proposées pour réaliser l’opération d’inpainting sur les images numériques voir [8, 57, 51, 16]. Il s’avère qu’une grande partie de ces approches et techniques nécessite l’utilisation d’équations aux dérivées partielles (EDP). Toutefois, les limites de chacune de ces EDP furent très rapidement atteintes à cause des effets d’oscillations, et de la dégradation des résultats observés prés des discontinuités, en l’occurrence, les contours des objets formant l’image. Le problème est de proposer une nouvelle EDP assurant cette opération de remplissage avec un contenu en harmonie avec le reste de l’image, tout en préservant le plus possible les continuités dans l’image, et obtenir, non pas l’image originale, mais une image visuellement très proche de l’image originale. L’objectif de cette thèse est de développer de nouveaux modèles et de nouveaux algorithmes qui permettront une avancée significative, et qui améliorent les résultats d’inpainting pour restaurer de façon plausible des zones manquantes ou détériorées d’une image. Notre approche s’inspire de la mécanique des fluides pour générer un algorithme qui détermine, de la manière la plus automatique possible, l’intensité de pixels considérés comme manquants dans l’ image, en propageant les lignes de niveaux continument à l’intérieur de la zone d’inpainting, sans que l’opérateur intervienne. Comme nous le savons tous, les équations de Navier-Stokes dans R 2 , pour un fluide newtonien incompressible, contrôle et modélise le déplacement des substances fluides (Écoulements, tourbillons, turbulences …). Dans cette thèse on élabore une analogie entre la mécanique des fluides et le traitement d’image, en s’inspirant principalement du travaux de Bertalmio et al dans [14, 13] pour transporter l’information de l’extérieur vers l’intérieur de la zone d’inpainting.
Image numérique et traitement
Image numérique
Avant de définir la problématique de notre étude, nous allons rappeler brièvement ce que l’on désigne par image numérique, comment on peut l’obtenir et nous présenterons les transformations dictées par le souci d’adopter des traitements ultérieurs comme le filtrage, la restauration, le rehaussement , l’inpainting …
De l’analogique vers le numérique
Les images numériques sont des clichés électroniques d’une scène réelle ou de documents tels que photographies, manuscrits, textes imprimés et œuvres d’art. Ces clichés sont obtenus, lors de la phase d’acquisition, par des capteurs appelés spécifiquement CCD (Charge Couple Device). L’image numérique une fois acquise, subit un échantillonnage . Cette tache est l’une des toutes premières étapes de traitement numérique des images qui réduit l’ensemble continu du monde réel observable en une série de valeurs discrètes. Cette étape s’accompagne d’une quantification des niveaux de gris et débouche ensuite sur une grille de points ou éléments d’images (en anglais : picture element ou pixel) .
Mathématiquement, toute image numérique n’est qu’un tableau de pixels, voir figure 1.2, c’est-à-dire une matrice I, où chaque pixel est décrit par :
– ses coordonnées dans l’image (i, j).
– sa valeur I(i, j).
La taille d’un pixel définit la résolution de l’image numérique par rapport à l’image analogique, c’est-à-dire la finesse de la grille. Plus le nombre de pixels dans l’image diminue, plus la résolution baisse, et plus la qualité de l’image numérique se dégrade. La résolution est, donc la capacité à distinguer les détails fins dans l’image. La fréquence spatiale d’échantillonnage est le meilleur indicateur de la résolution. C’est pourquoi les termes points par pouce ou pixels par pouce ( dpi et ppi en anglais) sont les expressions courantes et synonymes indiquant la résolution des images numériques . On appelle définition de l’image le nombre de points (pixels) constituant une image, c’est le nombre de colonnes de l’image multiplie par le nombre de lignes. Une image possédant 10 colonnes et 11 lignes aura une définition de 10 ∗ 11. En pratique, c’est le rapport entre la définition et la résolution de l’image qui va déterminer sa qualité.
Propriétés d’image numérique
Après avoir défini l’image numérique, on propose dans cette sous section ces quelques propriétés, du point de vue qualité, contenu et représentation :
Contenu de l’image
Parmis les plus importants composants définissant une image, on peut citer :
– Texture : la répartition statique ou géométrique des intensités dans l’image.
– Contour : limite entre deux pixels (ou groupe de pixels) dont la différence de niveau de gris (ou couleur) est significative,
– Région : groupe de pixels présentant des caractéristiques similaires (intensité, mouvement, etc.),
– Objet : région (ou groupe de région) entièrement délimitée par un contour, possèdant une indépendance dans l’image.
Qualité d’image
Parmi les qualités d’une image on peut citer :
– Contraste : qualité de la dynamique des intensités de l’image,
– Brillance : moyenne des niveaux de gris de l’image, ou intensité moyenne,
– Bruit : signal parasite dont la distribution dans l’image est aléatoire,
– Déformations géométriques : défauts dus à la différence d’axe entre le capteur d’acquisition et le centre de la scène observée.
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Table des matières
Introduction générale
1 Image numérique et traitement
1.1 Image numérique
1.1.1 De l’analogique vers le numérique
1.1.2 Propriétés d’image numérique
1.1.3 Évaluation de la qualité d’image numérique
1.2 Le traitement d’images numériques et ses outils
1.2.1 Modèle linéaire
1.2.2 Modèle fréquentiel
1.2.3 Modèle statistique
1.2.4 Modèle différentiel
2 Outils mathématiques
2.1 Structure locale d’images
2.1.1 Ligne de niveau
2.1.2 Gradient
2.1.3 Matrice Hessienne
2.1.4 Courbure
2.2 Espaces fonctionnels
2.2.1 Espace de Hilbert
2.2.2 Espace des fonctions continûment différentiables
2.2.3 Espace de Sobolev
2.2.4 Espace des fonctions à variation bornée
2.3 Les équations aux dérivées partielles (EDP)
2.3.1 Définition d’une EDP d’évolution
2.3.2 EDP et images discrètes
2.3.3 Equation de Navier-Stokes
2.4 Mise en œuvre numérique
2.4.1 Différences finies
2.4.2 Résolution des systèmes linéaires
3 Inpainting par un modèle P-Laplacien
3.1 Introduction et motivation
3.1.1 Problématique de l’inpainting en imagerie
3.1.2 Approche par formulation variationnelle
3.1.3 Approche par (EDP)
3.2 P-Laplacien
3.2.1 Introduction
3.2.2 Définition du P-Laplacien
3.3 Description du modèle proposé
3.3.1 Modèle proposé
3.3.2 Existence de la solution
3.4 Mise en œuvre numérique
3.4.1 Discrétisation du modèle
3.4.2 Les conditions aux bords
3.4.3 Stabilité et implémentation numérique
3.5 Résultats numériques
3.6 Décomposition de l’image par une équation intégro-différentielle
3.6.1 Nouvelle équation intégro-différentielle
Conclusion
