Homogénéisation de composites élastiques périodiques à fort contraste

Les matériaux composites sont des matériaux constitués de l’assemblage d’au moins deux matériaux appelés constituants ou phases, possédant des propriétés physiques différentes. La description de leur comportement macroscopique (ou effectif) est complexe parce qu’il n’est pas possible de prendre en compte une à une les hétérogénéités présentes à l’échelle microscopique. La taille caractéristique des hétérogénéités est représentée par un petit paramètre ε > 0. Pour décrire les propriétés macroscopiques d’un matériau composite, on fait appel aux méthodes d’homogénéisation.

Dans cette thèse, nous travaillons dans le cadre de l’élasticité linéaire et nous nous intéressons aux matériaux composites élastiques périodiques. Les propriétés effectives de tels matériaux sont connues : elles sont déterminées à partir des propriétés locales d’une période [19, 14].

Pour étudier l’homogénéisation d’un composite élastique périodique, on peut utiliser soit l’approche basée sur les équations aux dérivées partielles (EDP) décrivant l’équilibre du matériau soit l’approche basée sur la formulation énergétique. Les équations qui gouvernent l’équilibre d’un composite élastique périodique s’écrivent sous la forme :

div σε + f = 0 dans Ω + des conditions aux limites, (1.1)

Récemment, dans le contexte de l’élasticité linéaire, Camar-Eddine et Seppecher [29] ont montré, en utilisant la méthode de Mosco-convergence, que toute fonctionnelle quadratique positive, semi-continue inférieurement et objective (i.e. qui s’annule sur l’espace des mouvements rigides) peut être obtenue comme limite d’une suite de fonctionnelles de l’élasticité linéaire, c’est-à-dire une suite de fonctionnelles du type (1.3). Ce résultat montre en particulier que l’homogénéisation des matériaux élastiques hétérogènes à fort contraste peut conduire à des matériaux dont les propriétés effectives sont totalement différentes de celles des constituants des matériaux de départ. On peut par exemple obtenir des matériaux possédant des propriétés que l’on ne retrouve dans aucun matériau naturel. De tels matériaux sont connus sous le nom de métamatériaux ou matériaux architecturés. Des exemples de tels matériaux sont les matériaux possédant un coefficient de Poisson négatif, appelés matériaux auxétiques [57].

En considérant des matériaux élastiques périodiques renforcés par des fibres de grande rigidité, Seppecher et Pideri [80], Bellieud et Bouchitté [18], Bellieud [17] ont montré que l’homogénéisation des composites à fort contraste peut conduire à des matériaux dont l’énergie élastique dépend du premier et du second gradient du déplacement. De tels matériaux sont appelés matériaux de second gradient. Les modèles homogénéisés obtenus dans ces articles entrent dans le cadre des modèles “couple-stress” [95, 96, 72, 71, 23]. En effet, la dépendance de l’énergie homogénéisée par rapport au second gradient du déplacement se limite à la dépendance par rapport au gradient de la partie antisymétrique de ∇u seulement. Nous préférons appeler matériaux de second gradient « incomplets » ces modèles qui rentrent dans le cadre “couple-stress”.

Les matériaux de second gradient possèdent des propriétés que l’on ne trouve pas dans les matériaux habituels [73, 47, 41, 15, 50]. Ces matériaux n’entrent pas dans le cadre de la théorie de Cauchy puisque les interactions mécaniques internes ne peuvent pas être décrites par un tenseur de contrainte de Cauchy [45, 44, 42, 40]. Les modèles de second gradient sont parmi les modèles de milieux continus généralisés les plus utilisés dans la littérature. Ils sont utilisés pour régulariser des problèmes de singularité aux interfaces qui peuvent apparaître dans les milieux poreux, en fracture, en endommagement, en plasticité, etc. [97, 4, 83, 5, 90, 101, 69]. Récemment, des résultats expérimentaux [66, 15, 50] ont montré que les effets de second gradient sont difficiles à mesurer expérimentalement et aussi à interpréter rigoureusement d’un point de vue microscopique.

L’homogénéisation de structures à fort contraste conduisant à des matériaux de second gradient n’a pu être traitée jusqu’à présent qu’à travers l’étude de quelques structures particulières : des structures périodiques renforcées par des fibres de grande rigidité. Dans cette thèse, nous nous intéressons à la conception de nouveaux matériaux périodiques à fort contraste dont l’homogénéisation peut conduire à des matériaux de second gradient. En se basant sur des outils mathématiques d’homogénéisation, nous établissons une formule générale qui permet de relier les propriétés macroscopiques d’un matériau composite au design au niveau microscopique de sa structure interne. Les travaux de recherche menés dans cette thèse sont issus d’une collaboration entre le laboratoire Institut de Mathématiques de Toulon et le Laboratoire de Mécanique et Acoustique de Marseille.

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Table des matières

1. Introduction
1.1. Contexte et motivations
1.2. Structure de la thèse
1.3. Méthodes d’homogénéisation périodique
1.3.1. Méthode des développements asymptotiques
1.3.2. Convergence à deux échelles
1.3.3. Méthode d’éclatement périodique
1.3.4. G-convergence
1.3.5. H-convergence
1.3.6. Γ-convergence
1.3.7. Mosco-convergence
1.4. Exemple pédagogique : le problème d’homogénéisation standard
1.4.1. Par la méthode des développements asymptotiques
1.4.2. Par la G-convergence
1.4.3. Par la Γ-convergence et convergence à deux échelles
1.4.4. Par la méthode d’éclatement périodique
1.5. Conclusion
2. Structures considérées
2.1. Périodicité
2.2. Description d’un réseau périodique
2.3. Hypothèse sur le réseau : connectivité
2.4. Graphe périodique élargi
2.5. Structures basées un graphe périodique élargi
2.6. Résultats connus sur ce type de structures
3. Conclusion

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