Géométrie d’un système d’acquisition radiographique

Géométrie d’un système d’acquisition radiographique

MÉTHODOLOGIE

Ce chapitre développe les différents éléments de méthodologie employés afin d’aligner des données tomographiques avec des angiographies de structures vasculaires cardio-pulmonaires et ainsi, rendre les interventions percutanées de ces malformations plus sécuritaires. Dans la méthodologie, deux techniques de recalage rigides 3D-2D distinctes sont développées. La première méthode a pour but d’initialiser rapidement le recalage automatique par intensité. Cette technique semi-automatique basée sur des points caractéristiques est, dans la suite du mémoire, nommée recalage par contraintes projectives. Bien que ce ne soit pas l’objet principal de l’étude, ce problème d’initialisation est abordé pour deux raisons. D’une part, Hajnal et al. (2001) indiquent qu’il est nécessaire d’amener la pose des données tomographiques 3D dans l’intervalle de convergence des algorithmes d’optimisation qui est petit à cause de la forte non-linéarité des mesures de similarité. D’autre part, l’initialisation, en général manuelle, peut s’avérer laborieuse. En pratique, un opérateur doit amener les données tomographique 3D, définies dans le repère du système d’acquisition CT, dans le repère du système d’acquisition radiographique. Pour cela, des angiographies synthétiques sont générées jusqu’à ce qu’elles concordent visuellement aux images réelles.
La seconde méthode est le recalage par intensité qui permet d’optimiser, de façon itérative, la précision de l’alignement. À chaque itération, la pose des données tomographiques préopératoires est altérée et des angiographies synthétiques sont générées jusqu’à ce qu’elles soient similaires aux images réelles, les données pré-opératoires 3D et intra-opératoires 2D étant alors alignées. Dans un premier temps, il faut créer des angiographies synthétiques pour valider la pose courante des données tomographiques par rapport aux angiographies réelles. Dans la suite du mémoire, les angiographies synthétiques sont notées DRRs pour Digital Reconstructed Radiographs (Siddon (1985)). Parmi les différentes techniques existantes, la projection de voxels vibrants (Birkfellner et al. (2005)) est retenue en raison de sa simplicité d’im- plémentation et de sa rapidité. Pour augmenter la qualité des images, le filtre COT proposé par Cosman (2000) est employé pour compléter la précédente technique. Dans un second temps, il faut mesurer la similarité entre les DRRs et les angiographies réelles. Pour cela, l’information mutuelle normalisée (NMI) employée par Pluim et al. (2003), le coefficient de corrélation entropique (ECC) utilisée par Turgeon et al. (2005) et la différence des gradients (GD) introduite par Penney et al. (1998) sont retenus. Dans un dernier temps, les algorithmes d’optimisation choisis pour guider la recherche de la transformation sont : l’algorithme itératif Hill Climbing (Hooke et Jeeves (1961)) et celui dérivatif L-BFGS : Limited memory Broyden-FletcherGoldfarb-Shanno 1 , introduit entre autres par Fletcher (1970). Les MAPCAs et l’aorte étant des structures de très petite taille (Schulze-Neick et al. (2000)), deux approches sont proposées pour améliorer la précision du recalage. La première est un nouvel algorithme d’optimisation, dérivée du Hill Climbing de Hooke et Jeeves (1961) dont le schéma de recherche, i.e. la manière d’évaluer les paramètres de la transformation, considère plus de poses possibles pour les données tomographiques. Ceci a pour effet de densifier l’espace de recherche et pour cette raison, cet algorithme est nommé Dense Hill Climbing. La seconde approche porte sur la définition de la transformation rigide recherchée. Elle consiste à exprimer la transformation dans le repère d’un des plans de projection 2 et non pas, comme en général, dans le repère de référence du système d’acquisition radiographique, cf. figure 2.1. Ainsi, les données tomographique 3D se déplacent toujours dans le repère de référence mais dans la direction des axes du repère du plan de projection choisi. Lors de l’optimisation durant laquelle chacun des paramètres composant la transformation est évalué un à un, ce formalisme permet de clairement discriminer leur influence respective sur la mesure de similarité et ainsi, de mieux guider la recherche. Ce chapitre se divise en quatre sections. La première présente la géométrie du système d’acquisition radiographique modélisée car c’est également dans cette géométrie que les méthodes de recalage sont définies. La seconde est consacrée à l’alignement initial par la méthode de recalage par contraintes projectives. La troisième détaille quant à elle les trois éléments du recalage 1. Ce sont les noms des quatre mathématiciens qui ont découvert cette méthode. Dans cette étude, nous avons utilisé l’implémentation de Naoaki Okazaki, cf. http://www.chokkan.org/software/liblbfgs/. 2. Le recalage étant biplan, il faut en choisir un parmi les deux plans. N’importe lequel peut être considéré. par intensité, à savoir : la simulation d’angiographies synthétiques, la mesure de la similarité entre deux angiographies et l’optimisation de la recherche de la transformation rigide. Enfin, la dernière section décrit les plans d’expériences conçus pour valider chacune des méthodes proposées.

Géométrie d’un système d’acquisition radiographique

Le système d’acquisition radiographique présent au Centre Hospitalier Universitaire (CHU) Sainte-Justine est un système C-Arm. Il est ainsi appelé à cause du demi cercle ou du C que forme le bras entre la source radiographique et le plan de projection. Le C-Arm que possède le CHU Sainte-Justine a l’énorme avantage d’être biplan comme le modélise la figure 2.1. Il est, de ce fait, composé de deux sources radiographiques (S1,S2) et de deux plans de projection (P1,P2) qui permettent d’acquérir en parallèle deux angiographies des organes d’intérêt selon deux vues différentes. Chaque sous-système source-plan possède trois degrés libertés. L’axe optique, segment entre la source et le centre du plan de projection, est l’unique axe de translation. Le centre de rotation du C-Arm, supposé commun aux deux sous-systèmes, est fixe et défini à l’iso-centre. La source et le plan tournent en même temps de telle sorte que l’axe optique soit toujours perpendiculaire au plan de projection. La rotation autour de l’axe optique n’est pas permise. Afin de ne pas alourdir le texte, les systèmes de coordonnées sont introduits pour un seul système C-Arm. Par convention, c’est le premier en rouge sur la figure 2.1. Le paramètre SID est la distance entre la source et le plan de projection, également nommé intensificateur. Les scalaires (SOD,IOD) sont les distances entre la source, le plan de projection et l’iso-centre tels que SID = |SOD|+|IOD|. À l’iso-centre est placé le repère absolu et fixe Ra, par rapport auquel tous les autres repères, i.e. leur position et orientation, sont eux mêmes définis. C’est également dans ce repère que sont exprimées, en millimètres, toutes les coordonnées. Le repère Rv est attaché aux données tomographiques 3D et placé en leur centre. Les repères Rs et Rp décrivent les poses respectives de la source et du plan de projection. Ces deux repères sont toujours alignés et leur axe~z est confondu avec l’axe optique de la projection perspective.
Par la suite, le but de la méthode de recalage 3D-2D est de déterminer la matrice de transformation rigide T des données tomographiques 3D, i.e. les 3 paramètres du vecteur de translation t et les 9 coefficients de la matrice de rotation 3D R. Il est important de noter que dans la figure 2.1, les données tomographiques 3D sont supposées déjà transformées dans le repère Ra. Après leur acquisition, celles-ci forment une série de plans de coupe, i.e. des images 2D de la structure d’intérêt dont les éléments, par extension aux pixels en 2D, sont appelés des voxels en 3D. Les coordonnées des voxels sont exprimées selon les axes (~i,~j,~k) 3 des plans de coupe et non selon les axes (~x,~y,~z) du repère Ra en millimètres. En pratique, les données tomographiques doivent donc d’abord être amenées à l’iso-centre du système C-Arm de telle sorte que les repères Ra et Rv soient confondus. C’est à partir de cette pose initiale que la transformation T à retrouver par le recalage par intensité est définie.

Initialisation du recalage par intensité

Cette section présente la technique d’initialisation semi-automatique du recalage par intensité. Il est nécessaire d’amener les données tomographiques proche de leur vraie pose pour que la méthode de recalage par intensité fonctionne (Markelj et al. (2010)). Le principe de la méthode de recalage semi-automatique présentée est de construire deux sous-groupes de points 3D caractéristiques, notés (Ga,Gr), et qui décrivent les poses 3D actuelle et recherchée des données tomographiques. Une fois définis, ces deux ensembles permettent de calculer la transformation rigide relative T entre elles. La méthode présentée, les contraintes projectives, dérive de celle développée par Hurvitz et Leo (2008) qui comporte trois étapes : (1) Le premier groupe Ga est manuellement défini dans les données tomographiques en ne conservant qu’un sous-ensemble de voxels pertinents. (2) Des pixels caractéristiques 2D associés aux points 3D de Ga sont manuellement identifiés dans les angiographies par rapport auxquelles les données tomographiques doivent être alignées. Ces pixels caractéristiques, lorsqu’ils sont retro-projetés, forment les rayons le long desquels les nouvelles positions des points de Ga, i.e. les points du second groupe Gr, peuvent être determinées, cf. section 1.3.4. (3) Ayant défini les correspondances 3D-2D, Hurvitz et Leo (2008) minimisent la distance entre chaque points 3D de Ga et le rayon associé pour former le second groupe Gr. Une fois les deux ensembles Ga et Gr définis, la transformation rigide T à retrouver peut alors être calculée. 3. Les deux premier axes (~i,~j) sont ceux de chaque image, le dernier~k repère les plans de coupe dans la série.

Recalage semi-automatique par contraintes projectives

Dans cette étude, l’hypothèse de rigidité sur la transformation T et les données tomographiques 3D permet d’employer une autre formulation que celle de Hurvitz et Leo (2008) pour estimer la profondeur des points du second groupe Gr. Bien que la méthode ne puisse fonctionner que si le système radiographique est biplan, celle-ci est présentée dans un contexte mono-plan afin d’alléger les notations. Les étapes de la méthodes des contraintes projectives sont ici résumées : (1) La transformation T à calculer étant rigide, elle préserve les distances et les orientations des voxels les uns par rapport aux autres. De ce fait, la pose des données tomographiques 3D peut être décrite par un faible nombre de voxels. Le premier sous groupe Ga défini dans les données tomographiques à leur pose actuelle est ainsi composé de trois points formant un triangle T, cf (2) Les trois pixels caractéristiques 2D associés aux sommets 3D du triangle T sont établis de façon manuelle dans l’angiographie. Les rayons retro-projetés à partir de ces pixels forment alors une pyramide Pr . Ainsi, le calcul des positions des trois points du second groupe Gr revient à simplement estimer la position du triangle T dans la pyramide Pr . (3) La position des points de Gr est déterminée grâce à la méthode des contraintes projectives. Les deux ensembles Ga et Gr définis, la transformation rigide T entre eux est enfin calculée par la méthode de Arun et al. (1987).
Concernant les hypothèses, les contraintes projectives demandent de connaitre les poses des sources (S1,S2) et des plans de projection (P1,P2). Il en est de même pour les matrices de projection, le système d’acquisition C-Arm étant supposé calibré et les distorsions corrigées.

Définition du système d’équations coniques

Le calcul de la position du triangle T dans la pyramide Pr est représenté par un système de trois équations non-linéaires à trois inconnues. Dans la suite du texte, tous les vecteurs sont définis par rapport au repère absolue Ra du système C-Arm, cf. section 2.1. Soient (s1,s2,s3) les points de Ga, sommets du triangle T défini dans la pyramide Pa et (p1,p2,p3) les sommets du triangle de base de Pr . Le point po indique la position de la source.

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Table des matières

INTRODUCTION  
CHAPITRE 1 REVUE DES CONNAISSANCES ET ÉTAT DE L’ART  
1.1 Description des cardiopathies congénitales cyanogènes
1.1.1 Anatomie et physiologie du système cardio-respiratoire humain
1.1.2 Cardiopathies congénitales cyanogènes et MAPCAs
1.2 Introduction au recalage rigide 3D-2D
1.2.1 Recalage d’images médicales
1.2.2 Définition du recalage 3D-2D par intensité
1.3 Éléments du recalage par intensité
1.3.1 Simulation des angiographies synthétiques
1.3.2 Mesure de la similarité de deux images
1.3.3 Optimisation de l’alignements des données CT
1.3.4 Initialisation du recalage par intensité
1.4 Sommaire de la revue des connaissances
CHAPITRE 2 MÉTHODOLOGIE 
2.1 Géométrie d’un système d’acquisition radiographique
2.2 Initialisation du recalage par intensité
2.2.1 Recalage semi-automatique par contraintes projectives
2.2.1.1 Définition du système d’équations coniques
2.2.1.2 Résolution du système d’équations
2.2.2 Alignement des données tomographiques
2.2.2.1 Calcul de la transformation 3D
2.2.2.2 Nécessité d’une seconde vue
2.3 Recalage rigide 3D-2D par intensité des données tomographiques
2.3.1 Simulation des angiographies synthétiques
2.3.1.1 Théorie de l’acquisition radiographique
2.3.1.2 Simulation des angiographies par projection de voxels
2.3.2 Mesure de la similarité entre deux angiographies
2.3.2.1 Mesure basée sur l’information spatiale
2.3.2.2 Mesures issues de la théorie de l’information
2.3.3 Optimisation de l’alignement des données CT
2.3.3.1 Paramétrage de la transformation rigide
2.3.3.2 Optimisation des paramètres de transformation
2.4 Validation de la méthode de recalage
2.4.1 Présentation des paramètres de la validation
2.4.1.1 Caractéristiques des données à recaler
2.4.1.2 Définition des métriques de la validation
2.4.2 Présentation des plans d’expérience
2.4.2.1 Alignement initial des données tomographiques
2.4.2.2 Qualité des angiographies simulées
2.4.2.3 Recalage par intensité des données tomographiques
2.4.2.4 Compensation du mouvement respiratoire
CHAPITRE 3 RÉSULTATS ET DISCUSSION 
3.1 Alignement initial des données tomographiques
3.2 Qualité des angiographies simulées
3.3 Recalage par intensité des données tomographiques
3.3.1 Robustesse des mesures de similarité au bruit
3.3.2 Recalage des données tomographiques
3.4 Compensation du mouvement respiratoire
CONCLUSION 
ANNEXE I CALCUL DE L’ENTROPIE ET DE L’ENTROPIE JOINTE
ANNEXE II THÉORIE DES CONTRAINTES PROJECTIVES
ANNEXE III DÉTAILS DES RÉSULTATS DU RECALAGE PAR INTENSITÉ
ANNEXE IV PUBLICATION
BIBLIOGRAPHIE .

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