Soutenance mémoire
Généralités sur les systèmes dynamiques
Rappel sur les équations différentielles ordinaires
La modélisation de phénomènes physiques, biologiques ou économiques a toujours été la principale motivation pour le développement des mathématiques aussi abstraites soient-elles. Aujourd’hui encore elles sont plus que jamais présentes et nécessaires dans chacun de ces domaines. Même s’il paraît plus évident de les trouver en mécanique ou en finance, leurs applications en biologie sont multiples et connaissent à l’heure actuelle de nombreux développements. Mais tout d’abord qu’est-ce que modéliser ? Un modèle mathématique est une traduction d’une observation représentée sous forme d’ensemble d’équations et il est nécessaire dès que la complexité numérique d’un phénomène observé ne permet plus à l’intuition d’en comprendre le fonctionnement ni d’en prévoir l’évolution. (Ceci est d’ailleurs le cas de beaucoup de phénomènes observés dans la nature). On doit alors avoir recours à un modèle mathématique, c’est à dire faire tout d’abord une hypothèse sur la loi mathématique qui régit le phénomène observé. Remarquons que cette loi n’est elle même qu’une représentation de la réalité, par conséquent elle n’est pas unique, elle devra d’ailleurs souvent être remise en question et le cas échéant, réévaluée. Une loi mathématique met en jeu des variables et des paramètres dont les valeurs seront fixées grâce aux données expérimentales recueillies sur le terrain. La pertinence du modèle choisi est alors évaluée en effectuant une simulation et en comparant les résultats obtenus aux données expérimentales. La modélisation mathématique en biologie est nécessaire dans de nombreuses disciplines telles que l’écologie, la dynamique des populations, la génétique, l’épidémiologie, la médecine et fait intervenir la plupart des domaines des mathématiques, analyse réelle et complexe, algèbre, calcul différentiel et intégral, analyse numérique, probabilités et statistique. Un des domaines de la biologie où les mathématiques sont les plus représentées et depuis fort longtemps est la dynamique des populations. Ce terme doit être entendu en un sens très large. La dynamique des populations n’étudie pas seulement l’évolution des populations animales, végétales ou bactériennes, mais concerne aussi la génétique et la génomique aux niveaux cellulaires et moléculaires. La dynamique des populations consiste non seulement à décrire la taille de la population étudiée au cours du temps mais aussi à expliquer les comportements évolutifs observés.
Quelques définitions de base
On s’intéresse maintenant aux relations entre deux champs de vecteurs qui nous permettent de connaitre quand leurs systèmes dynamiques associés présentent la même dynamique dans un ouvert du plan. Deux systèmes dynamiques X et Z, auxquels on associe les flots ϕt et Ψt respectivement, sont dits topologiquement conjugués s’il existe un homéomorphisme h : U → V tel que h.ϕt = Ψt .h pour tout t ∈ R. De plus, si h est un C k difféomorphisme avec k ≥ 1, plutôt qu’un homéomorphisme, alors X et Z sont dits C k conjugués. Cette définition signifie que h envoie chaque orbite de X sur une orbite de Z en préservant le paramètre t, c’est-à-dire qu’on a h : ϕt(x, y) → h(ϕt(x, y)) := Ψt(h(x, y)) pour tout t ∈ R.Équivalence :On définit maintenant une notion un peu plus faible que la conjugaison de deux champs de vecteurs vue précédemment, mais qui s’avère souvent utile en pratique. Deux systèmes dynamiques X et Z, auxquels on associe les flots ϕt et Ψt respectivement, sont dits topologiquement équivalents s’il existe un homéomorphisme h envoyant les orbites de X sur celles de Z en préservant leur orientation, sans forcément préserver le paramètre temps t. Si h est un C k difféomorphisme avec k ≥ 1 plutôt qu’un homéomorphisme, alors X et Z sont dits C k équivalents. Portrait de phase : Le portrait de phase d’un système dynamique est une représentation graphique de plusieurs trajectoires représentatives dans l’espace de phase. Étant donné un système dynamique X˙ = F(X, t), sans résoudre les équations on peut toujours à un instant t donné représenter graphiquement (à l’aide des flèches) le champ des X˙ (le champ des vitesses si X sont des coordonnées). La lecture de cette représentation graphique sera très utile pour se faire une idée du comportement du système. Bassin d’attraction : Un attracteur d’un système dynamique est une région de l’espace de phase vers laquelle converge toute trajectoire de phase passant à son voisinage. Le voisinage en question est appelé bassin d’attraction de l’attracteur. Diagramme de bifurcation : Un diagramme de bifurcation est une portion de l’espace des paramètres sur laquelle sont représentés tous les points de bifurcation.
bifurcations locales
Ce chapitre a pour but de donner des notions de base sur la théorie de bifurcations, et dedonner quelques exemples d’application de cette théorie. Les bifurcations ont lieu dés qu’on est en présence d’un modèle de processus dynamique contenant un ou plusieurs paramètres, elles trouvent des applications en physique, en chimie, en écologie, en biologie ..On dira que nous sommes en présence d’une bifurcation, si un changement qualitatif des propriétés d’un système se produit lorsque l’on fait varier un de ses paramètres. Intuitivement, le changement des propriétés d’un système signifie le changement du nombre de points fixes ou de leur caractère (stabilité, attractivité …). Si au passage d’une valeur du paramètre un tel changement se produit on dit que le système passe par un point de bifurcation.[9] Définition 4.1 Soit le système dynamique suivant : x˙ = f(x, c), avec f : R n × R → R et c un paramètre. On dira qu’il y a bifurcation en c si en une valeur c arbitrairement proche de c il existe une dynamique qualitativement différente de celle en c En d’autres termes, si l’on considère les deux systèmes : x˙ = f(x, c∗ ) et x˙ = f(x, c), avec c proche de c alors ces deux systèmes présentent des aspects différents dans le nombre de points d’équilibre et / ou de leur stabilité. On dira qu’une perturbation du paramètre donne des systèmes topologiquement non équivalents. Nous traiterons par la suite quelques types de bifurcations : [15] [16]
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Table des matières Introduction et préliminairesAvant-propos . . Rappel sur les équations différentielles ordinaires Généralités sur les systèmes dynamiques Quelques définitions de base La stabilité des systèmes dynamiques linéaires La stabilité en dimension n=2 La stabilité en dimension n quelconque :Critère de Routh Hurwitz . La stabilité des systèmes dynamiques non linéaires La stabilité en dimension n=1 La stabilité en dimension n quelconque . La stabilité par linéarisation . La stabilité au sens de Lyapunov Introduction à la théorie de bifurcations locales Bifurcation selle-noeud Bifurcation transcritique . Bifurcation fourche ou "pitchfork" Bifurcation de Hopf Bifurcation de Hopf sur-critique Bifurcation de Hopf sous-critique . Application : modèle de Goodwin Historique Étude théorique de la stabilité Résolution numérique . Modèle déterministe Modèle stochastique Bibliographie
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