Generalites sur les extensions de corps

Généralités sur les extensions de corps

Définition I.1.
Soit L un corps. Un sous – corps de L est une partie de L qui contient 0 et 1, est stable par l’addition et la multiplication, et telle que ces opérations la munissent d’une structure de corps. On dira de façon équivalente que K est un sous – espace de L ou que L est une extension de K.

Proposition I.2.
Soit f : K → L un morphisme de corps. Alors f est injectif.

Preuve
Il suffit de montre que si x n’est pas nul, f (x) non plus. Or tout x non nul admet un inverse x-1 et on a : f(x) f(x1) = f(x.x-1) = f(1K) = 1L ≠ OL donc f(x) ≠ OL.

Remarque 1
Un morphisme entre deux extensions L1 et L2 d’un même corps K est un morphisme de corps de L1 dans L2 dont la restriction à K est l’identité.
Remarque 2 : (Interprétation de la proposition)
F est injectif permet d’identifier K à son image f(K) qui est un sous – corps de L ; ainsi tout morphisme de corps permet de considérer le corps d’arrivée comme une extension du corps de départ. Si K ⊂ L est une extension de corps, on peut considérer L comme un K – espace vectoriel : la structure de groupe abélien de ce K – espace vectoriel est définie par l’addition usuelle et la multiplication scalaire K × L→ L est définie par la restriction de la multiplication usuelle de L.

Définition I.3
Le degré de l’extension K ⊂ L noté [K : L] est la dimension de L considéré comme K – espace vectoriel. [L : K] = dimK L. Une extension de degré fini sera aussi appelé une extension finie.

POLYNOMES PRIMITIFS ET STRUCTURE MULTIPLICATIVE DES CORPS FINIS

Un phénomène agréable dans l’exemple étudié précédemment est que tous les éléments de IF*8 sont des puissances de α. L’exponenciation i → α.i définit un morphisme surjectif de groupe de ℤ dans IF*7 et qui puisque α est d’ordre 7 définit par passage au quotient un isomorphisme :

ℤ/7ℤ → IF*8 . Plus généralement :
i ⊢→ αi

Définition I.23
Soient q une puissance d’un nombre premier et IFq le corps fini à q éléments. On dit qu’un élément γ ∈ IFq est primitif s’il est d’ordre q – 1 dans IFq. Puisque IF*q est d’ordre q – 1, cela revient à demander que tout élément non nul de IFq soit une puissance de γ, ou encore que l’application d’exponentiation :

ℤ / (q-1) ℤ → IF*q soit un isomorphisme de groupe

i mod (q-1) ⊢→ γi . L’isomorphisme inverse est appelé logarithme en base γ. logγ : IF*q →~ ℤ / (q-1) ℤ.

Proposition I.24
Soient p un nombre premier et n ≥ 1 un entier. On suppose que np IF Admet un élément primitif γ. Alors np IF est une extension élémentaire de IFp et γ en est un générateur. En particulier, le polynôme minimal de γ est de degré n.

INTRODUCTION A LA THEORIE ALGEBRIQUE DES CODES

GENERALITES

Ce chapitre est une introduction aux codes correcteurs d’erreurs. Notre objectif est modeste : présenter à partir d’un exemple la problématique du codage correcteur d’erreurs. Avant d’introduire les notions de bases, il est utile de placer la théorie de codage dans son cadre classique, qu’englobe la théorie de la communication et celle de l’information.

Approche du problème

émetteur → c. transmission → respecteur

Supposons que l’on veuille transmettre un message ou des données à travers un canal de transmission par exemple une ligne téléphonique, cette situation peut se résumer par le schéma suivant :

émetteur → c . transmission → respecteur

Considérons un exemple très simple. Supposons que l’on veuille transmettre les « mots » 001 100 011 110 101. Si on reçoit 100 et si il n’y a pas eu d’erreurs le mot obtenu est correct mais si la transmission n’est pas correcte il n’est pas sûr que le mot reçu soit celui qu’on a envoyé. Apparemment, il n’est pas possible de décider si le mot reçu est correcte. Par contre il y a plusieurs possibilités pour obtenir un moyen qui permettra de découvrir si la transmission était correcte ou non ; et même de corriger l’erreur : c’est la théorie des codes correcteurs d’erreurs.

Code de Haming

Soit 4 bits d’informations u = (u1, u2, u3, u4). On adjoint à u 3 symboles binaires de contrôle (ou de redondance) calculés de la façon suivante V1 = u2 + u3 + u4 , V2 = u1 + u3 + u4 V3 = u1 + u2 + u4 en effectuant les additions modulo 2.

Ces trois relations définissent la fonction F caractéristique du codage (v1, v2, v3) = F(u) le mot du code correspondant c est la concaténation des deux mots u et v (c1, c2, c3, c4, c5, c6 , c7) = (u1, u2, u3, u4, v1, v2, v3) En particulisant l’exemple si u = (1100), on a v = F(u) = (110) et c = (1100110). Poursuivons le scénario d’une transmission avec codes correcteurs : le mot c est émis à l’entrée d’un canal qui introduit d’éventuelles erreurs. Le récepteur dispose d’un mot (y1,…, y7) = (u’1, u’2, u’3, u’4, v’1, v’2, v’3) sur lequel il se base et cherche à contrôler c. Il considère les symboles de contrôle « recalculés » w = (w1, w2, w3) avec w1 = u’2 + u’3+ u’4 , w2 = u’1+ u’3 + u’4 , w3 ,= u’1 + u’2 + u’4 et de comparer ce vecteur w = F(u’) avec la redondance reçue v’ = (v’1, v’2, v’3). A cette fin il forme le vecteur s(y) = v’ – w = (v’1 – w1, v’2 –w2, v’3 – w3), ou S est appelé syndrôme de y. Alors : En cas d’absence d’erreurs le syndrôme est nul sinon il y a erreur.

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Table des matières

INTRODUCTION
CHAPITRE I
I – GENERALITES SUR LES EXTENSIONS DE CORPS
II – CORPS PREMIERS, CARACTERISTIQUE
III – PROPRIETES CARACTERISTIQUES DES CORPS FINIS
IV – POLYNOMES PRIMITIFS ET STRUCTURE MULTIPLICATIVE
DES CORPS FINIS
V – EXTENSIONS DE CORPS FINIS
CHAPITRE II
I – GENERALITES
II – EXEMPLES ET DEFINITIONS
III – CODES LINEAIRES
IV – CODES CYCLIQUES
CHAPITRE III
I – INTRODUCTION
II – RAPPELS SUR LES CODES DE GOPPA
III – LE CRYPTOSYSTEME DE Mc ELIECE
IV – REPRESENTATION DES CORPS FINIS
V – SOLUTION DU PROBLEME DE PARTITION
CHAPITRE IV
I – DEFINITIONS ET NOTATIONS
II – CODES CYCLIQUES SUR ℤ4
III – L’APPLICATION DE GRAY ET CODES CYCLIQUES
IV – AUTRES RESULTATS
V – EXEMPLES
CHAPITRE V
I – RAPPELS SUR LES ANNEAUX FINIS
II – AUTRES ELEMENTS DE LA THEORIE DES ANNEAUX
III – NOTIONS TOPOLOGIQUES SUR UN ANNEAU, LEMME DE HENSEL
IV – CODES CYCLIQUES SUR ℤpm
CHAPITRE VI
I – OPERATEURS SUR ℤ2k+1
II – CONSTRUCTION D’APPLICATIONS
III – QUELQUES PROPRIETES DES ISOMETRIES REDUCTION MODULAIRES
IV – IMAGE D’UN CODE SUR ℤ2k+1 PAR l’APPLICATION DE GRAY
V – CODES CONSTACYCLIQUES SUR ℤ2k ET BINAIRES QUASI-CYCLIQUES
CONCLUSION
BIBLIOGRAPHIE