Généralités sur la transmission numérique

GENERALITES SUR LA TRANSMISSION NUMERIQUE

Un message numérique est défini comme une suite d’éléments pouvant prendre une valeur parmi Q valeurs possibles ; on appelle « alphabet » l’ensemble de ces valeurs. Les éléments, qui peuvent être aussi considérés comme des variables aléatoires discrètes, sont dits « Q – aires». Dans le cas particulier (et fréquent) où l’alphabet est constitué uniquement de deux valeurs, notées traditionnellement 0 et 1, les éléments sont dits binaires. Etant donné qu’un message numérique est un concept abstrait, deux exemples vont nous permettre de mieux en saisir le sens :

•le contenu d’une page dactylographiée est, par exemple un message numérique où chaque élément Q – aire qui le constitue a pour réalisation une lettre (a, A, b, B, …) ou un signe de ponctuation.
•le code Morse qui utilise une suite de tirets et de points pour représenter l’information à transmettre, est un second exemple de message d’éléments binaires.

Ces deux exemples simples montrent bien que les messages peuvent être constitués d’éléments binaires ou d’éléments Q – aires. En fait, il est toujours possible de ramener une structure binaire des messages en remplaçant chaque élément Q – aire par un ensemble de p éléments binaires, avec :

p = [log₂ Q ] + 1
p = [X] +1

où [X] désigne la partie entière de X, par valeur inférieure (exemple [3,2] = 3).

C’est la raison pour laquelle nous ne considérons que des messages à éléments binaires dans la suite de ce travail. Le concept de message numérique étant précisé, nous pouvons maintenant aborder la présentation d’une chaîne de transmission numérique.

La qualité d’une transmission numérique

La qualité d’une transmission dépend de la fidélité avec laquelle les éléments binaires du message sont restitués au destinataire. Elle se mesure en général en évaluant la probabilité d’erreur par élément binaire, notée Peb , définie comme la probabilité de prendre une décision erronée sur un élément binaire.

Cette probabilité d’erreur n’est jamais strictement nulle, mais cela ne signifie pas pour autant que la transmission soit de mauvaise qualité ; en effet, il suffit qu’elle prenne une valeur suffisamment faible pour satisfaire à un certain critère de fidélité, cette valeur dépendant du type d’information transmise (parole, son, image, données, …) et du niveau de fidélité exigé : une probabilité d’erreur de 10⁻⁶ par exemple peut être jugée tout à fait satisfaisante pour la transmission de la parole en téléphonie.

DECODAGE

Décodage des codes convolutifs

Rappelons que les mots en sortie d’un codeur convolutif sont corrélés, puisque chaque mot est fonction de Lc blocs d’information. Pour décoder une séquence binaire constituée de N mots, il est donc nécessaire de considérer la séquence reçue dans son ensemble. En sortie du codeur, seules certaines séquences binaires sont possibles, elles correspondent aux différents chemins qui existent dans le diagramme en arbre ou en treillis.

Comme pour les codes en blocs, le décodage d’un code convolutif en présence de canal binaire symétrique va consister à rechercher, dans l’arbre ou dans le treillis, la séquence binaire la plus proche de la séquence reçue. Cette séquence sera appelée dans la suite séquence la plus vraisemblable. En adoptant le même critère que pour les codes en blocs, la séquence émise la plus vraisemblable est donc celle qui se trouve à la distance minimale de la séquence reçue. Le nombre de séquences possibles étant généralement très important (N grand), l’application de cette règle de décodage est donc d’une complexité prohibitive. Des algorithmes permettant de contourner cette difficulté ont été développés.

Pourtant on distingue deux types de décodage : le décodage à décision dure et le décodage à décision souple. Le décodage à décision dure est effectué en supposant que le démodulateur a pris une décision 0 ou 1 en ses sorties.

Le décodage à décision souple s’effectue en supposant que le démodulateur n’a pas pris une décision ou que la valeur du signal est codée sur plusieurs bits. Alors parmi les algorithmes existants, on peut citer l’algorithme séquentiel de Fano qui utilise l’arbre pour rechercher la séquence la plus vraisemblable. Cet algorithme très performant peut revenir en arrière dans l’exploration de l’arbre si cela s’avère nécessaire. Cette possibilité de reconsidérer certaines étapes du décodage, conduit malheureusement à un volume de calculs variable pour le décodage d’une séquence. Cet algorithme nécessite donc l’utilisation d’une mémoire tampon pour enregistrer les données reçues à l’entrée du décodeur, afin d’éviter des phénomènes de saturation. L’algorithme de Fano est plutôt réservé au décodage des codes convolutifs à grande longueur de contrainte (> 8) en présence de faible rapport signal à bruit. Les principaux exemples d’applications de cet algorithme sont le décodage de données en provenance de lointaines.

Un second algorithme utilisant le treillis et dû à Viterbi, permet aussi de décoder les codes convolutifs en recherchant la séquence la plus vraisemblable à partir du treillis. Cet algorithme, beaucoup plus utilisé que l’algorithme de Fano, est surtout bien adapté pour le décodage des codes de longueur de contrainte peu élevée (typiquement inférieure ou égale à 7). L’algorithme de Viterbi permet de trouver le chemin du treillis qui a le coût le plus faible. Sa structure est itérative dans le temps ; à chaque instant t, le traitement consiste pour chaque nœud du treillis, à considérer les chemins y arrivant, à mettre à jour leurs coûts respectifs, à choisir enfin celui de plus petit coût. Le coût d’un chemin est alors la somme des coûts de chacune des branches constituant ce chemin et on associe à chaque nœud une quantité, appelée métrique de nœud, égale au minimum des coûts des chemins arrivant en ce nœud. Un troisième algorithme applicable aux codes convolutifs c’est un Viterbi modifié afin de fournir une sortie souple (SOVA : Soft-Output Viterbi Algorithm) qui, comme l’algorithme de Viterbi, effectue leurs opérations sur un treillis représentant la structure du code. A chacun des symboles associés aux transitions du chemin choisi, il fait correspondre une information de fiabilité sous optimale.

L’algorithme de Viterbi à sortie souple (SOVA)

L’algorithme de Viterbi peut être modifié afin de fournir à sa sortie une valeur de confiance ou de fiabilité (approximant une probabilité a posteriori) associée à chaque bit décodé. La valeur des bits décodés est toujours donnée par le chemin ayant la métrique cumulée minimale fourni par l’algorithme classique. Le SOVA présente des performances proches de l’algorithme Forward-Backward qui calcule de manière exacte les probabilités a posteriori des bits décodés. Pour simplifier la description du SOVA, plaçons nous dans le cas d’un code convolutif binaire de rendement 1/n.

Le nombre d’états du treillis est noté S=2ᵛ où ν=L-1 est la mémoire du code. Supposons que le VA classique prenne des décisions avec un délai W suffisamment grand pour que les survivants convergent vers le même chemin avec une très grande probabilité. A l’instant t, l’algorithme de Viterbi doit choisir un survivant pour l’état 0 ≤ st<S.

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Table des matières

INTRODUCTION
GENERALITES SUR LA TRANSMISSION NUMERIQUE
0.1 Introduction
0.2 La chaîne de transmission numérique
0.2.1 La source de message
0.2.2 Le codage de source
0.2.3 Le codage de canal
0.2.4 L’émetteur
0.2.5 Le canal de transmission
0.2.6 Le récepteur
0.3 La qualité d’une transmission numérique
0.3.1 Mesure du taux d’erreur
0.3.2 Interférence Entre Symbole (IES)
0.3.3 Caractérisations de l’IES : diagramme de l’œil et distorsion maximale
CHAPITRE I . MODULATIONS DE PHASE CONTINUE (CPM)
I.1 Introduction
I.2 Descriptions générales du système
I.3 Différentes classes du système CPM
I.4 Propriétés de la distance euclidienne minimum
I.4.1 L’arbre de Phase et l’arbre de la différence de Phase
I.4.2 Indice de Modulation Faible
I.4.3 La Limite supérieure sur la distance euclidienne minimum
CHAPITRE II . CODAGE CONVOLUTIF
II.1 Introduction
II.2 Structures des codes convolutifs
II.2.1 Code convolutif de rendement 1/n
II.2.2 Code convolutif de rendement k/n
II.3 Présentation du code convolutif
II.3.1 Représentation polynomiale
II.3.2 Représentation matricielle
II.3.3 Codeur convolutif
II.3.4 Principe de codage
II.3.5 Les codes convolutifs récursifs systématiques
II.4 Représentations graphiques du code convolutif
II.4.1 Diagramme en arbre
II.4.2 Diagramme en treillis
II.4.3 Diagramme d’états
II.5 Fonction de transfert du code convolutif
II.6 Transformation des codes convolutifs
II.6.1 Perforation
II.6.2 Fermeture du treillis : transformation en un code en bloc
II.7 Performances des codes convolutifs
II.7.1 Probabilité d’erreur et la quantité Δ
II.7.2 Cas du canal binaire symétrique
II.7.2.1 Gain de codage
II.7.3 Cas du canal à bruit additif blanc gaussien
II.7.3.1 Gain de codage
CHAPITRE III . DECODAGE
III.1 Décodage des codes convolutifs
III.2 Accroissement de métrique sur un chemin
III.3 Algorithme de Viterbi
III.4 L’algorithme de Viterbi à sortie souple (SOVA)
III.4.1 Stockage
III.4.2 Mise à jour
III.4.3 Sorties ferme et souple
CHAPITRE IV . SIMULATION DU CODE CONVOLUTIF EN UTILISANT LE DECODEUR DE VITERBI (SOUS MATLAB 5.3)
IV.1 Présentation du logiciel MATLAB
IV.1.1 Généralités
IV.1.2 Quelques fonctions de MATLAB
IV.2 Présentation de l’interface de la simulation
IV.3 Quelques résultats numériques
IV.4 Les programmations pour la réalisation de cette simulation
CONCLUSION

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