Fractals, dimension fractale, codimension

Notion de fractale

La géométrie fractale (du latin « fractus » qui signifie irrégulier) a été introduite et soutenue par le mathématicien Benoît Mandelbrot pour caractériser les objets aux propriétés inhabituelles en géométrie classique. En germe dans ses travaux de recherche pendant plusieurs années, cette géométrie a pris corps dans une série de volumes : Mandelbrot (1975) ; Mandelbrot (1983). Elle consiste à étudier des objets irréguliers du plan ou de l’espace, qui sont en réalité les mieux adaptés pour appréhender le réel physique. Aujourd’hui, les idées résultant de cette notion de géométrie fractale sont utilisées dans bien des domaines de la communauté scientifique et technique, au nombre desquelles nous pouvons citer : les sciences de la terre, la physique, la chimie, la biologie, la médecine, la géographie, l’informatique, le graphisme informatique (création et compression d’images), la compression de sons… La géométrie fractale peut être vue comme une généralisation de la géométrie classique ; on le verra d’ailleurs à travers la définition de la dimension fractale qui est une généralisation de la dimension au sens d’Euclide.

La géométrie classique

La géométrie a été de tout temps et reste une discipline fondamentale, car c’est sur elle que se bâtissent et s’élaborent beaucoup d’autres disciplines. Il ne serait cependant pas inutile de rappeler que c’est du ressort de la géodésie (géométrie des formes de la terre) de dire que la terre est ronde. Bien des disciplines s’appuient sur la géométrie pour décrire les phénomènes découverts en leur sein. C’est ainsi que Kekulé (1829-1896) a découvert que la molécule de benzène a une forme hexagonale. Cette découverte a permis le développement de la chimie organique en ce sens qu’elle permet de dessiner les molécules et permet de comprendre leur agencement dans l’espace. On sait aujourd’hui que la transmission de l’hérédité se fait par le passage en double hélice des ADN. La géométrie a également permis la description des milieux cristallins, permettant la compréhension de nombreuses propriétés électriques et optiques des matériaux. Le développement florissant de l’informatique est une conséquence du développement des circuits intégrés qui sont composés de plusieurs milliers de transistors. Or la mise au point des transistors ne serait possible sans la compréhension possible des propriétés de la structure géométrique de l’arrangement des atomes dans un cristal de silicium. Il convient de remarquer que la géométrie classique, sous des formes traditionnelles ne permet que la description des formes régulières. Elle est pratiquement incapable de décrire les formes courantes qui nous entourent. Or les objets qui nous entourent ont précisément ces formes (la forme réelle de la terre, qui est un bel exemple d’irrégularité, les montagnes, la structure des plages,…).

La géométrie fractale 

Comme nous l’avons souligné précédemment, il est très difficile de décrire et de mesurer les formes complexes qui nous entourent (structure des nuages, les montagnes, les côtes rocheuses, …) par la géométrie décrite ci dessus. Par exemple, pour estimer des longueurs des frontières (qui présentent pourtant une structure très irrégulière), on a souvent recours à la cartographie. La méthode utilisée, de façon générale, consiste à prendre une photographie aérienne, à une échelle connue d’avance, de la frontière et à utiliser une jauge dont on connaît la longueur. Cette méthode est approximative et dépend de la longueur de la jauge utilisée mais aussi de l’échelle de la prise de vue. Ainsi, pour deux échelles différentes, ou deux jauges différentes, on aura des longueurs différentes en utilisant cette méthode. Cette méthode utilisée bien évidemment pour une frontière présentant une forme géométrique régulière donnerait sensiblement les mêmes longueurs pour deux jauges différentes et bien entendu deux échelles différentes. La différence entre les deux longueurs dans le cas de la frontière irrégulière se justifie par le fait que, plus la jauge est courte, plus on peut mesurer avec précision les détails de la frontière alors qu’une jauge relativement longue ignorerait ces détails. Ainsi, pour effectuer une mesure qui tend vers une valeur réelle (ce qui n’est généralement pas possible) de la longueur de cette frontière (prenant en compte même les longueurs des plus petits détails, par exemple des rochers qui jalonnent cette frontière), il faudra utiliser une jauge dont la longueur est la plus petite possible (tendant à la limite vers zéro). Ceci demande un travail immense, qui prendra bien de temps. Mais aussi, précisons qu’il y a une limite à la taille de la jauge. Afin d’éviter cette limitation naturelle, la géométrie fractale, à travers ses principes, apporte son précieux soutien.

Application aux occurrences de pluie

Nous appliquons le calcul de la dimension fractale aux occurrences de pluie en utilisant la méthode mise en œuvre par Hubert et Carbonnel (1989). Nous avons choisi pour ce faire, la station de la base PRECIP (que nous présentons plus loin) identifiée par 1J01089001 (CHATEAU-GAILLARD), sur laquelle nous appliquons la méthode de comptage de boîtes comme décrite ci-dessus. Nous avons considéré dans cette série une séquence de 2¹⁰ jours consécutifs, à partir du 1 janvier 1997, soit près de quatre ans. Les boîtes sont ici des segments de droites qui représentent des intervalles de temps (en jours) pendants lesquels on a une occurrence pluie. Ces segments sont bien évidemment inscrits dans un espace à une dimension, celle du temps, ce qui fait qu’on doit s’attendre à une dimension (fractale) des occurrence de pluie plus petite que l’unité.

Vers les multifractals 

Dans l’exemple de calcul de la dimension fractale des occurrences de pluie ci-dessus, on n’a considéré que les deux états possibles pluie/non-pluie. On ne s’est donc pas préoccupé de l’intensité des précipitations, mais seulement de leur présence ou de leur absence. Il est cependant important d’attirer l’attention sur le fait que ce que l’on qualifie d’état sec (non pluie) est relatif à un seuil qu’on s’est fixé. Ainsi, il est important de voir l’effet du seuil sur les dimensions fractales calculées. Ceci a fait l’objet d’une étude par Hubert (1995) ; Hubert et al. (1995), et la conclusion révèle que la dimension fractale dépend du seuil fixé figure 1-5. Cette conclusion montre que le phénomène pluie ne peut être caractérisé par une seule dimension fractale, mais de plusieurs dimensions fractales, en fonction des seuils imposés. Par ailleurs, il est important également d’attirer l’attention sur le fait que l’étude d’un phénomène aussi complexe tel que la précipitation ne peut se résumer à l’étude de ses occurrences pluie/nonpluie. La notion de seuil, qui rappelle également celle de l’intensité, devrait être prise en compte dans la caractérisation fractale des champs de précipitation. Cette dépendance de la dimension d’un ensemble sur la valeur de son seuil de référence, révélée par l’exemple de Hubert et Carbonnel (1989) ci dessus, a été signalée auparavant par Schertzer et Lovejoy (1984) et devrait amener à considérer dans ce type d’étude, mieux que la notion d’objet fractal, l’approche de champ multifractal. Le phénomène étudié est dans ce cas caractérisé par une hiérarchie de fractals (caractérisés par leur dimension) correspondant aux régions sur lesquelles le champ dépasse des seuils de plus en plus élevés (singularités) ou sur lesquelles les moments statistiques d’ordre de plus en plus élevés divergent. Chacune des singularités est caractérisée par une dimension fractale et vice versa.

Les fractales peuvent se définir comme des objets géométriques caractérisés par une invariance d’échelle, c’est à dire que leur forme reste inchangée à différentes échelles d’observation. Ainsi, l’étude des statistiques sur ces objets peut se faire sur toutes les gammes d’échelles (des plus larges aux plus fines) par le biais de leur dimension fractale. Plusieurs caractéristiques peuvent permettre de reconnaître un ensemble fractal (Falconer, 1990) : l’ensemble a une structure fine ; on peut effectuer un agrandissement de tout détail de l’objet, même aux plus petites échelles ; l’ensemble est trop irrégulier pour être décrit tant localement que globalement par la géométrie classique ; l’ensemble présente en son sein une certaine auto-similarité (toute ou partie de l’ensemble, à n’importe quelle échelle, présente une forme identique à l’ensemble tout entier) ; la dimension fractale de l’ensemble est plus grande que sa dimension topologique (à ne pas confondre avec la dimension euclidienne qui est la dimension du support de l’ensemble fractal, d=1,2,3).

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Table des matières

RESUME
ABSTRACT
INTRODUCTION
Cadre de l’étude
Principe de la modélisation numérique
Les modèles de circulation générale GCM
Les modèles de désagrégation
Multifractalité en géophysique
But de la thèse
Plan de la thèse
1- FRACTALS, DIMENSION FRACTALE, CODIMENSION
1.1- Notion de fractale
1.1.1- La géométrie classique
1.1.2- La géométrie fractale
1.1.3- Définition d’un objet fractal
1.2- Notion de dimension fractale
1.2.1- Considérations générales
1.2.2- Calcul de la dimension fractale
1.2.3- Application à la courbe de Von Koch.
1.2.4- Application aux occurrences de pluie
1.3- Notion de codimension
1.4- Vers les multifractals
1.5- Conclusion
2- MULTIFRACTALS – ANALYSE MULTIFRACTALE.
2.1- Loi d’échelle en géophysique
2.2- Cascades multifractales
2.2.1- Principe des cascades
2.2.2- Exemples de cascade discrète
2.2.2.1- Le β-modèle
2.2.2.2- Le α-modèle
2.2.3- Les différents types de cascades
2.2.3.1- Cascades spatiales auto-similaires
2.2.3.2- Cascades spatiales auto-affines
2.2.3.3- Invariance d’Echelle Généralisée (IEG)
2.3- Propriétés d’un champ multifractal
2.3.1- La fonction codimension c(γ)
2.3.2- Fonction d’échelle des moments K(q)
2.3.3- Transformation de Legendre.
2.3.4- Définition de K(q) et c(γ) : universalité
2.3.5- Divergence des moments
2.3.6- Classification des champs multifractals
2.4- Analyse multifractale des données
2.4.1- Les techniques d’analyse multifractale
2.4.1.1- Les méthodes indirectes
2.4.1.2- Une méthode directe : Le DTM
2.5- Conclusion
3- DONNEES – ANALYSE MULTIFRACTALE DES DONNEES
3.1- Données du GCM
3.2- Les données du DOUBS
3.3- La base PRECIP
3.3.1- Présentation générale
3.3.2- Carte des précipitations
3.3.2.1- Interpolation sous maille
3.3.2.2- Précipitation journalière et moyenne journalière
3.3.3- Etude des précipitations maximales journalières
3.4- Application du DTM aux séries de pluie
3.4.1- Analyse multifractale sommaire des GCM
3.4.2- Choix de q
3.4.3- Analyse temporelle
3.4.3.1- Séries journalières
3.4.3.2- Séries de six minutes
3.4.4- Analyse spatiale
3.4.5- Analyse spatio-temporelle
3.4.6- Synthèse et discussion
3.5- Conclusion
4- LE MODELE
4.1- Les générateurs de variables aléatoires
4.1.1- Distribution de Lévy
4.1.1.1- Rappel : Théorème central limite
4.1.1.2- Attracteurs universels de sommes de variables aléatoires iid: distribution de Lévy
4.1.1.3- Génération des variables de Lévy
4.2- Construction du modèle
4.2.1- Cas des cascades discrètes
4.2.2- Cascades continues
4.2.2.1- Cascades continues et universalité
4.2.2.2- Construction de cascades continues avec générateur de Lévy
4.2.2.3- Simulation de la cascade continue avec Générateur de Lévy
4.3- Simulation du modèle
4.3.1- Simulation du modèle sur l’Hexagone
4.3.2- Simulation du modèle sur la fenêtre n° 1
4.3.2.1- Etudes des variations des paramètres α et C1
4.3.2.2- Etude des singularités maximales γs
4.3.2.3- Paramètres α et C1
4.3.3- Simulation sur la fenêtre n°1 avec α=0.9 et C1=0.2
4.4- Simulation avec α =0.9 et C1=0.13
4.4.1- Résultats de la cascade avec α =0.9 et C1=0.13
4.4.2- Analyse par DTM des résultats d’une cascade
4.4.3- Etude statistique des résultats de la simulation du modèle
4.4.4- Etude des résultats sur une maille.
4.5- Discussion générale
4.5.1- Influence du couple (α,c1) sur les singularités générées.
4.5.2- Incertitudes sur le choix de α, c1
4.5.3- Limites du modèle
CONCLUSION

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