Formulation intégrale surfacique des équations de Maxwell pour la simulation de contrôles non destructifs par courant de Foucault

D’une grande importance dans des secteurs variés du monde industriel tels que l’aéronautique, l’énergie nucléaire ou pétrolière, les techniques de Contrôle Non Destructif (CND) consistent à détecter la présence de défauts (corrosion, inclusion, plis, fissures …) au sein d’une structure sans l’altérer. Le CND est notamment employé pour le contrôle des pièces en cours de production (afin d’en garantir la qualité), ou encore pour leur contrôle en maintenance (afin d’en déterminer l’état de santé). Pour ces deux applications, la simulation numérique est un support aux études expérimentales pour la démonstration de performance des procédés, qui aide à l’interprétation des signaux et au diagnostic.

Le CEA LIST développe des outils de simulation et d’instrumentation en CND pour différentes techniques : ultrasons, rayons X et courants de Foucault (CF). En termes de simulation, les outils qui y sont développés sont intégrés à la plate forme de simulation CIVA  . Cette thèse s’inscrit dans le domaine de la modélisation des procédés de CND par courants de Foucault pour des configurations impliquant des géométries complexes.

Présentation de la technique de CND par CF 

La technique de CND par CF est basée sur les interactions électromagnétiques entre une sonde à courants de Foucault et la pièce à contrôler. Ces interactions dépendent, d’une part, de la bobine qui induit un champ électromagnétique et, d’autre part, des caractéristiques électromagnétiques du matériau (conductivité, perméabilité, permittivité…). La bobine induit des courants dans la pièce, qui créent un champ électromagnétique de réaction et entraînent une variation de l’impédance de la bobine. Dans le cas où la pièce présente un défaut, c’est-à-dire une perturbation locale des caractéristiques électromagnétiques du matériau, les trajets des courants dans la pièce sont modifiés, ce qui entraîne une nouvelle variation d’impédance. Cette variation permet de détecter le défaut, et parfois même de le caractériser (entaille, corrosion…).

Lors d’un contrôle CF sur des matériaux conducteurs, le courant a tendance à ne circuler qu’en surface de la pièce. Ce phénomène, appelé effet de peau, a pour conséquence la difficulté voire l’impossibilité de détecter un défaut situé à une distance de la surface supérieure à quelques épaisseurs de peau. C’est pour cette raison que le contrôle CF est valide sur des pièces métalliques fines. Dans le cas d’un plan semi-infini, l’épaisseur de peau est donné par δ = (πfµσ) −1/2 , avec f la fréquence, µ la perméabilité et σ la conductivité de la pièce. Dans notre domaine d’application, la conductivité des pièces à traiter varie de 10⁵S/m à 5 10⁷S/m et le régime fréquentiel de fonctionnement des sondes CF varie de quelques Hz à une dizaine de MHz. Du fait de l’épaisseur de peau, l’utilisation du régime à haute fréquence est inutile. A très haute fréquence, il est d’ailleurs commun de considérer le cas limite d’un conducteur parfait dans les simulations (σ → ∞, pièce “imperméable” au champ).

Le contrôle CF est donc plus particulièrement adapté à la détection de défauts débouchants ou faiblement enfouis (quelques millimètres) sur tout matériau conducteur. Le principal avantage des sondes CF est leur facilité de mise en oeuvre. Le dispositif le plus simple est constitué d’une unique bobine avec un générateur, d’un voltmètre et d’un ampèremètre. Quelque soit le procédé, le contrôle est réalisé sans contact (sans utilisation de couplant) et le signal CF est obtenu instantanément.

Aujourd’hui, la simulation en CND par CF [13, 74] dans la plateforme CIVA permet de modéliser la réponse d’un capteur sur une pièce de géométrie canonique (plaque [17, 130] ou tube [100, 119]) loin des bords (les effets de bords ne sont pas pris en compte). La méthode utilisée pour résoudre ce problème est la méthode des équations intégrales volumiques (VIE pour Volume Integral Equations). Ce formalisme, qui fait intervenir des dyades de Green [23, 126] appropriées à la géométrie (expression analytique), présente l’avantage d’être compact et bien adapté à ces configurations simples. Dans un premier temps, le champ émis par la bobine sur la pièce est calculé (champ primaire) sans prendre en compte le défaut. Puis, la réaction du défaut soumis à ce champ est calculée. Cette réaction induit sur la bobine une variation d’impédance, qui est calculée par un théorème de réciprocité [5, 6, 30, 85]. Une difficulté majeure liée à l’approche VIE consiste à exprimer la dyade de Green dans des géométries complexes que l’on peut rencontrer en contrôle industriel. Nous avons donc été amenés à formuler différemment le problème électromagnétique, en nous fixant comme objectif de modéliser des applications sur des pièces de géométrie plus générales (plaques déformées, bords de pièce…), homogènes par morceaux, isotropes et pouvant présenter un défaut homogène.

Résolution du système linéaire

Comme la matrice Z est pleine, la résolution du système linéaire (3.2) devient coûteuse dès que la taille de Z augmente. Deux grandes familles de solveurs permettent de résoudre ce problème : les solveurs directs, qui consistent à déterminer la solution directement à partir de Z et du second membre, et les solveurs itératifs qui fournissent une suite convergente de valeurs de la solution.

Solveur direct par pivot de Gauss

La méthode directe suit un processus qui aboutit à la solution si la matrice n’est pas excessivement mal conditionnée, au bout d’un nombre d’opérations connu à l’avance. Les avantages de cette méthode sont :
– Sa robustesse : les besoins en puissance de calcul et en mémoire sont connus à l’avance avec une certaine précision.
– Sa capacité multi-second membre : une fois la matrice Z inversée, le système peut être résolu rapidement quel que soit le nombre de seconds membres (car la matrice Z est indépendante du second membre à fréquence constante). Dans notre application, cela correspond à plusieurs positions du capteur.

Malgré ses avantages, cette méthode est rapidement inutilisable dans un contexte industriel. En effet, les inconvénients d’une telle méthode sont :
– son coût en mémoire : la création de la matrice Z nécessite le calcul et son stockage en N2 , ce qui restreint à un faible nombre d’inconnues
– Son temps d’exécution : on est amené à effectuer O(N3 ) opérations. Dès lors que le conditionnement est particulièrement mauvais, la recherche du pivot peut être longue et la précision de la méthode n’est plus assurée au delà d’un certain seuil (par exemple si l’inverse du conditionnement est inférieur à la précision machine)

Choix du solveur

Dans le domaine d’applications CND, nous sommes amenés à considérer des problèmes impliquant un grand nombre d’inconnues. Cependant, dans un premier temps, nous nous restreignons à de premiers tests numériques qui permettent la validation de l’implémentation numérique de la formulation. De ce fait, le solveur direct répond à nos besoins. De plus, une fois la matrice Z inversée, un grand nombre de second membres peut être calculés en un temps très court, ce qui correspond dans notre cas à plusieurs déplacements de la bobine. Cependant, un inconvénient notable est soulevé : le mauvais conditionnement de la matrice Z fausse la validité de la solution calculée et ne permet pas toujours une convergence de cette dernière.

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Table des matières

1 Introduction
2 Formulation intégrale : présentation
2.1 Equations de Maxwell
2.2 Formulation surfacique mise en oeuvre
2.3 Extensions possibles de la formulation
2.3.1 Prise en compte de plusieurs surfaces homogènes avec une formulation surfacique
2.3.2 Prise en compte d’une pièce localement inhomogène par un couplage avec une formulation volumique
2.4 Calcul du signal de réponse à l’aide du principe de réciprocité
2.5 Difficultés relatives aux problèmes d’échelle
3 Mise en oeuvre numérique
3.1 Etablissement du système linéaire
3.1.1 Méthode des moments
3.1.2 Hyper-singularité de la dyade de Green
3.2 Construction du système linéaire
3.2.1 Description du maillage
3.2.2 Description des fonctions de base
3.3 Calcul des termes matriciels
3.4 Résolution du système linéaire
3.4.1 Solveur direct par pivot de Gauss
3.4.2 Solveur itératif par GMRES
3.4.3 Choix du solveur
4 Validations numériques
4.1 Validation numérique de la formulation SIE
4.1.1 Présentation des données d’entrée et de sortie
4.1.2 Validation des opérateurs L et K sur des objets parfaitement conducteurs
4.1.3 Validation de la formulation SIE sur des objets conducteurs ou diéléctriques
4.2 Tests numériques dans le contexte CND
4.2.1 Cas CND sur des pièces de géométrie canonique
4.2.2 Cas CND sur des pièces de géométrie plus générale
4.2.3 Limites de la méthode
4.2.4 Conclusion
5 Résolution numérique à l’aide de la méthode multipôle rapide
5.1 Principe de la méthode
5.1.1 Généralités
5.1.2 Algorithme FMM
5.1.3 Choix de la formulation FMM
5.2 Formulation FMM BF
5.3 Formulation FMM HF
5.4 Premiers tests numériques du développement
5.4.1 Test numérique de la formulation FMM HF
5.4.2 Test numérique de la formulation FMM BF
5.4.3 Conclusion
5.5 Perspectives
6 Conclusions

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