Soutenance mémoire
Formulation en élasticité linéaire
Nous suivons une formulation des problèmes en élasticité linéaire isotrope homogène avec HPP (Hypothèse de petites perturbations) qui impose que la configuration déformée résultant du comportement élastique est proche de la configuration initiale de référence. L’élasticité est modélisée dans notre cas seulement en se basant sur les effets mécaniques dûes aux contraintes appliquées en évitant la considération de tout effet thermique. Alors, la théorie de l’élasticité s’intéresse à l’étude des déplacements, déformations et des contraintes dans un solide soumis à des forces extérieures. Le comportement linéaire élastique se déduit intuitivement du cas multidimensionnel en considérant une barre de section constante S attachée à un bout et soumise à une force F sur le bord libre.
Modèle d’endommagement de Francfort-Marigo
Les premières formulations des modèles d’endommagement étaient incapables dans plusieurs cas de traiter correctement les compagnons inévitables de l’endommagement comme l’adoucissement, le durcissement des matériaux. ( Voir [Nguyen, 1987, Silling, 1988, De Borst, 1989, Benallal and Marigo, 2007]). La modélisation classique de l’endommagement se base sur
— La définition du paramètre d’endommagement.
— La dépendance de facteur d’endommagement aux propriétés mécaniques.
— La loi d’évolution du paramètre d’endommagement.
Le choix des lois d’évolution et leurs structures a posé une grande problématique dans la construction des modèles. Généralement, la structure des lois classiques varie d’un paramètre à l’autre et il n’y pas de prise en compte des paramètres de la géométrie des matériaux et des efforts appliqués. Francfort-Marigo se sont inspirés de la modélisation initiée par Lemaître et Chaboch dans [Chaboch, 1978], dite phénoménologique, qui s’appuie simplement sur la définition d’un paramètre scalaire χ qui dépend des paramètres d’espace et de temps (x, t) . A endommagement fixé, le matériau a un comportement élastique dont la rigidité dépend du degré d’endommagement.
D’autre part, Aχ est établi à l’aide d’outil de l’homogénéisation en supposant que χ définit une microstructure et Aχ comme le tenseur macroscopique de rigidité associé à cette structure. D’autres formulations (voir [Pham and Marigo, 2010a, Pham and Marigo, 2010b]) ont été basées sur l’approche de Francfort-Marigo où l’état d’endommagement est décrit à l’aide d’un scalaire variant entre 0 et αm avec 0 < αm < +∞ correspondant à l’état sain et αm l’état ultime de l’endommagement différemment de Francfort-Marigo qui considèrent un modèle brutal où le paramètre χ ne prend que les valeurs 0 et 1. A χ fixé, le matériau a un comportement élastique.
Francfort et Marigo ont montré qu’il existe une limite notée α(x) d’une sous-suite (χi n) des fonctions caractéristiques de la zone endommagée où α(x) est un volume local de mélange fin de la zone saine et endommagée en un point x de Ω et ont introduit un tenseur homogène effectif représentant le tenseur de rigidité associé à ce mélange. Ainsi le travail de Francfort-Marigo introduit dans [Francfort and Marigo, 1993] consiste à caractériser l’ensemble de ces tenseurs effectifs associés au mélange fin et la détermination des expressions explicites des densités des énergies relaxées dans le cas 2d et le cas 3d. Pour consulter les détails du calcul de ces quantités relaxées, on se réfère à la section 2 et la section 3 de [Francfort and Marigo, 1993].
Le modèle de Francfort-Marigo relaxé a été retrouvé par Lorentz dans [Lorentz, 1999] comme limite d’un modèle à gradient d’endommagement lorsque la longueur interne tend vers zéro.
Le modèle ainsi introduit par Francfort-Marigo a présenté une formulation plus adéquate que la formulation classique. Mais il présente un défaut majeur dans la définition de l’ensemble des configurations admissibles de la variable d’endommagement qui induit un faible traitement de la condition d’irréversibilité. Ainsi il est préférable de quitter la minimisation globale par rapport à la variable d’endommagement χ et de la remplacer par une minimisation locale.
En effet, ceci est l’objectif du travail de Allaire et al. dans [Allaire et al., 2011].
Modèle d’endommagement d’Allaire-Jouve-Van Goethem
Le travail de Allaire et al. consiste en une minimisation locale de l’équation (I.2).9). La variable endommagée considérée par Allaire et al. est l’interface qui sépare la zone saine et la zone endommagée et est notée Σ.
Outils classiques en optimisation de forme et méthode level set
Optimisation de forme
La méthode d’optimisation de forme est abordée pour résoudre des problèmes de variation de la frontière des domaines. C’est une approche variationnelle qui s’intéresse à minimiser une fonctionnelle coût intégrale par rapport à une famille de domaines. L’existence d’une solution d’un problème d’optimisation nécessite le choix d’une topologie adéquate. Une grande littérature est consacrée à étudier ces problèmes dans le cadre de la mécanique des solides [Hadamard, 1908, Haslinger and Neittaanmäki, 1988, Banichuk, 1990, Laporte and Le Tallec, 2003], [Allaire, 2007], mécanique des fluides [Mohamadi and Pironneau, 2001]. Les techniques utilisées dans ce cadre sont similaires à la théorie des problèmes inverses qui s’intéressent essentiellement à déterminer les paramètres d’un modèle à partir des mesures expérimentales. Citons l’exemple du problème de détection d’endommagement qui se situe dans la classe de problèmes (SHM : Surveillance d’Etat de Structure) dont l’objectif est de déterminer le module de Young dans les zones potentiellement endommagées de la structure afin de minimiser l’écart entre les mesures de déformation et la solution numérique du modèle physique (Voir [Chamoin et al., 2014]). Citons aussi la théorie du contrôle optimal similaire à cette catégorie de problèmes qui se base sur la minimisation du coût de l’ensemble des trajectoires associées au contrôle, (voir [Trelat, 2005]). Dans la suite de notre travail, on s’intéresse à l’optimisation de forme ou bien conception optimale de structures dans le cadre de la mécanique des solides et on se penche essentiellement sur [Allaire, 2007] pour décrire le problème type d’optimisation de forme.
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Table des matières
I Introduction générale
Introduction générale
I.1) Formulation en élasticité linéaire
I.2) Modèle d’endommagement de Francfort-Marigo
I.3) Modèle d’endommagement d’Allaire-Jouve-Van Goethem
I.4) Outils classiques en optimisation de forme et méthode level set
I.4).1 Optimisation de forme
I.4).2 Application de la méthode géométrique
I.4).3 Méthode level set
I.5) Modèle de fracture de Francfort-Marigo
I.6) Modèle de Francfort-Bourdin
I.7) Régularisation des modèles d’endommagement
II Motivations
II.1) Rappel : Dérivée de forme eulérienne
II.2) Dérivée de forme Lagrangienne
II.3) Applications numériques
II.3).1 Modèle de fracture mode II
II.3).2 Modèle de Bittencourt
III Étude numérique revisitée du modèle d’endommagement de Francfort-Marigo
III.1)Introduction
III.2)Endommagement et Fracture
III.2).1Un modèle d’endommagement
III.2).2Un modèle de fracture
III.3)Modèle de fracture comme limite d’un modèle d’endommagement
III.3).1Approche de type champ de phase
III.3).2Approche atomistique
III.4)L’algorithme AJV
III.4).1Une méthode de type gradient
III.4).2Représentation du domaine endommagé
III.4).3Description de l’algorithme (version continue)
III.4).4Description de l’algorithme (version discrétisée)
III.5)Irréversibilité
III.6)Contrainte d’épaisseur minimale
III.6).1Motivation
III.6).2Domaines admissibles d’épaisseur minimale
III.6).3Projection sur l’ensemble admissible
III.6).4Approximation de l’application Tϵ
III.6).5Reformulation du problème d’endommagement
III.7)Un algorithme de type gradient projeté
III.7).1Approximation de la dérivée de forme
III.7).2Détermination d’une direction de descente et régularisation
III.7).3Mise à jour de la fonction ligne de niveau
III.7).4Critère d’arrêt
III.7).5Résolution de (Qε,hi) : Description de l’algorithme
III.7).6Résultats numériques
III.7).7Influence de la contrainte d’irréversibilité forte
III.8)Conclusion
IV Étude d’un modèle d’endommagement avec pénalisation de saut
IV.1)Introduction
IV.2)Modèle d’endommagement avec pénalisation de saut : Cas unidimensionnel
IV.2).1 Présentation du modèle d’endommagement
IV.2).2 Étude unidimensionnelle formelle à ε fixé
IV.2).3 Limite asymptotique formelle
IV.3)Étude numérique unidimensionnelle
IV.3).1 Description de la méthode
IV.3).2 Résultats numériques
IV.4)Modèle d’endommagement avec pénalisation de saut : Cas bidimensionnel
IV.4).1 Étude asymptotique formelle
IV.4).2 Étude numérique bidimensionnelle
IV.4).3 Modèle de Francfort-Bourdin revisité
Conclusion générale
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