Extensions d’anneaux

Extensions d’anneaux

Anneaux de Bézout
Définition 1.1.3 Un anneau R est dit de Bézout si tout idéal de type fini de R est principal.
Anneau réduit
Définition 1.1.4 Un anneau R est dit réduit si R n’admet pas d’éléments nilpotents autre que zéro, c’est à dire que si xn =0 pour un certain entier naturel non nul n et x ∈ R, alors x =0.
La propriété “réduit”est stable par localisation :

Théorème 1.1.2 Soient R un anneau réduit et S une partie multiplicative de R. Alors S−1R est réduit. Corollaire 1.1.3 Soient R un anneau et K son anneau total des fractions.Alors, R est réduit si et seulement si K est réduit.

Preuve Les sens direct découle du théorème précédent.Inversement,soit x ∈ R tel que xn =0 pour un certain entier positif n. On a alors xn/1=0/1 ce qui donne x =0 puisque K = S−1R est réduit et S est l’ensemble des éléments réguliers de R. D’où R est réduit. La propriété “réduit” est une propriété locale :
Théorème 1.1.3 Soit R un anneau. Alors R est réduit si et seulement si RP est réduit pour tout idéal premier P de R.
Comme les domaines sont naturellement réduits et les localisés des anneaux réguliers au sens de Van Neumann sont des corps, on obtient le corollaire suivant : Corollaire 1.1.4 Soit R un anneau. Alors : 1. Si R est localement domaine, alors R est réduit. 2. Si R est régulier au sens de Van Neumann, alors R est réduit.

Domaine de valuation

Définitions 1.1.3 Soit R un anneau. Alors : 1. R est dit anneau de valuation si pour tout a,b ∈ R, on a : a ∈ Rb ou b ∈ Ra. 2. On dit que R est un domaine de valuation si c’est un anneau de valuation intègre.
Théorème 1.1.4 ([40], Théorème 4.5.2) Soient R un anneau intègre et K son corps des fractions, les assertions suivantes sont équivalentes : 1. R est un domaine de valuation. 2. Pour tout a,b ∈ R, on a Ra ⊆ Rb ou Rb ⊆ Ra. 3. Pour tout x ∈ K on a x ∈ R ou x−1 ∈ R. Proposition 1.1.3 ([40], Proposition 4.5.4) Soient R un domaine de valuation et K son corps des fractions. Alors on a : 1. Tout domaine S tel que R ⊆ S ⊆ K est un domaine de valuation. 2. R est un anneau local. Corollaire 1.1.5 ([40], Corollaire 4.5.5) Soient R un domaine de valuation et S une partie multiplicative de R. Alors S−1R est un domaine de valuation.
Domaine de Mori

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Table des matières

Introduction
1 Notions de bases
1.1 Anneaux classiques
1.2 Résultats sur les modules
2 Extensions d’anneaux
2.1 Extension triviale
2.1.1 Idéaux et éléments distingués de R ∝ M
2.1.2 Constructions d’anneaux et propriétés de R ∝ M
2.2 Produit fibré
2.2.1 Couples d’anneaux partageant un idéal
2.2.2 Propriétés de A
2.3 Extension amalgamé
2.3.1 La duplication amalgamée d’un anneau le long d’un module
2.3.2 L’amalgamation d’anneaux
3 Sur les FF-anneaux
3.1 Extensions et produits directs des FF-anneaux
3.2 La FF-propriété dans le produit fibré et l’extension trivial
4 Le sur-anneau bien-centré d’un anneau Commutatif dans le Produit Fibré et L’extension Triviale
4.1 Introduction
4.2 La propriété bien-centré dans le produit fibré
4.3 La propriété bien-centré dans l’anneau extension triviale
5 Les idéaux et les modules de multiplication
5.1 Les idéaux de multiplication
5.2 Les modules de multiplication
Bibliographie

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