Expression des racines d'une équation algébrique

Expression des racines d’une équation algébrique

Introduction

Dans ce travail nous allons nous intéresser à l’une des plus importantes constructions historiques des nombres. Il s’agit de la construction à la règle et au compas : Etant donné un nombre fini de points sur le plan, et en disposant uniquement d’une règle non graduée et d’un compas uniquement en problème est de savoir quels sont les points du plan qu’on peut atteindre avec cette construction purement géométrique, elle permet d’obtenir tous les points qui sont intersection de droites, de cercles, et de droites et de cercles.
Dans un premier temps, et à l’aide de la règle et au compas nous allons construire le corps des rationnels et dans un deuxième temps, un corps plus grand, c’est le saturé par radicaux qui contient d’une manière naturelle le corps .
Ensuite nous allons utiliser des équations algébriques et la théorie des extensions des corps pour chercher des conditions raisonnables qui permettent de construire des nombres à la règle et au compas. Ces conditions caractérisent totalement les points constructibles par cette méthode géométrique. Ceci permet de répondre aux vielles questions, posées par des problèmes historiques : la quadrature du cercle, la trisection d’un angle et la duplication d’un cube.

Construction à la règle et au compas

Pour les Grecs de l’antiquité, nombres et mesures de longueurs étaient deux concepts intimement liés .C’est ainsi qu’ils se sont posés les problèmes de constructions géométriques de nombres remarquables.
Ne dispose que d’une règle non graduée, d’un compas et de certains points du plan, à partir de ceux-ci quels sont les points que l’on peut « atteindre » c’est-à-dire obtenir comme intersection de deux cercles, deux droites ou d’un cercle et d’une droite au bout d’un nombre fini (mais arbitraire) de constructions.

Construction géométrique à la règle et au compas

Les seuls outils de géométrie autorisés étant la règle non graduée et le compas et les seuls opérations permises à partir d’éléments de départ indiqués (sous ensemble ) sont :
 Tracer une droite(ou une demi-droite ou un segment) passant par deux points connus.
 Tracer un cercle (ou un arc de cercle) dont le centre est un point connu et passant par un point connu.
 Prendre un écartement au compas égal à la distance entre deux points connus.
 Tracer le point d’intersection de deux droites connues.
 Tracer un point d’intersection d’une droite et d’un cercle connus.
 Tracer un point d’intersection de deux cercles connus.
Soyons plus précis le plan est identifié au Corps ℂ des complexes dont on se donne certains éléments, c’est-à-dire un sous ensemble de points .
A ce sous ensemble on adjoint tous les points qui sont :
 Soit intersection de droites définies par les points de .
 Soit intersection de cercles centrés en des points de et de rayon égal à la distance de deux points de .
 Soit intersection d’une droite de la première famille et d’un cercle de la seconde.
On obtient ainsi une partie 1 contenant à partir de 1,et on obtient une partie 2 plus grande et ainsi de suite…………..On obtient de cette manière une suite croissante de parties de ℂ.

Les problèmes de la construction à la règle et au compas

Aujourd’hui plus que jamais nous pouvons dire que la construction à la règle et au compas permet d’avoir des meilleurs résultats concernant la résolution des problèmes historiques, cette construction donne lieu à plusieurs notions par exemple la constructibilité des nombres rationnels, irrationnels … .
Donc l’obtention des résultats de l’impossibilité des problèmes déjà cités nécessite l’utilisation de quelques éléments de la théorie de corps extension de corps, degré d’extension, degré algébrique d’un nombre … .

Expression des racines d’une équation algébrique

Un autre problème historique introduit naturellement l’étude des extensions de corps : c’est celui de la résolution des équations algébriques.
Le problème consistant à « résoudre » une équation algébrique peut prendre différentes formes selon les besoins. On peut par exemple chercher à trouver des solutions approchées par des méthodes numériques. Ou bien chercher à construire géométriquement les solutions comme intersections de certaines courbes dans le plan. Il se trouve que, historiquement, le problème de la résolution de telles équations a acquis, pour les algébristes, un sens très précis, celui de la résolution par radicaux.

Problème

Le problème est alors de calculer ces racines, c’est-à-dire de trouver une « formule » donnant ces racines en fonction des coefficients de l’équation.

Remarque

Il est hors de question d’exprimer les racines d’un polynôme arbitraire à l’aide des coefficients si l’on ne s’autorise que ces opérations rationnelles. En d’autres termes, les racines d’un polynôme n’ont aucune raison d’appartenir au corps engendré par les coefficients du polynôme.

Résolution par radicaux

Définition 2 .2.1 Tout équation algébrique sous la forme avec est un nombre complexe et un entier naturel non nul, s’appelle « équation de Binôme ».
Remarque : L’étude d’une équation de Binôme montre que si l’on veut avoir une chance d’exprimer les racines de tout polynôme à partir des coefficients il faut au moins, outre les opérations rationnelles, admettre les extractions de racines -ièmes, pour tout n, c’est-à-dire « adjoindre » au corps engendré par les coefficients, les éléments qui ont une puissance dans ce corps.
D’après tout ce qu’on a vu dans ce chapitre équation algébrique, expression des racines, résolution par radicaux,… , on peut dire que ce n’est pas facile et parfois impossible de résoudre des équations algébriques par radicaux. Donc on peut au moins retenir que toutes les équations de degré inférieur ou égal à 4 sont résolubles par radicaux

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Table des matières

Introduction
1 Construction à la règle et au compas
1.1 Construction géométrique à la règle et au compas
1.1.1 Problèmes historiques de la construction à la règle et au compas
1.1.2 Premières constructions géométriques
1. 2 Constructibilité des nombres
1. 3 Extension de corps
1. 4 Problèmes historiques
2 Expression des racines d’une équation algébrique
2.1 Equation algébrique
2.2 Résolution par radicaux
2. 3 Indépendance algébrique
3 Racines et corps de rupture
3.1 Clôture algébrique
3.2 Corps de rupture
3.3 Factorisation d’un polynôme
3.4 Existence de racines multiples
3.4.1 Racines simples
3.4.2 Critère d’Eisenstein
4 Les fonctions symétriques
4.1 polynômes symétriques élémentaires
4.2 Résultant de deux polynômes
4.3 Déterminant de Sylvester
4.4 Discriminant d’un polynôme
Conclusion