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La fissuration des outils de formage à chaud
Les outils de coupe, les cylindres de laminoirs et les moules de fonderie sont différents composants de mise en forme de matériaux. Sous des sollicitations de service, ils présentent un endommagement caractérisé par des réseaux de faïençage. Ils subissent un choc chaud lorsqu’ils sont en contact avec la pièce à former, suivi d’un refroidissement plus ou moins rapide. Les cylindres de laminoirs sont soumis à un choc chaud au passage de chaque brame et sont refroidis par arrosage entre deux passages de brame. Il en est de même pour les moules de fonderie à chaque fois que le métal fondu est versé à l’intérieur.
La fissuration des disques de frein
Les disques de frein dissipent de l’énergie cinétique sous forme de chaleur. L’énergie cinétique d’un train ou d’une voiture est diminuée par frottement des patins sur le disque et par échauffement des couples patin – disque. La nature répétitive des freinages crée un phénomène de fatigue thermomécanique. Pour les trains par exemple, lors de contrôles préventifs des bogies, les disques de frein font l’objet d’une observation visuelle et d’un ressuage, afin de détecter un éventuel endommagement des disques. Cet endommagement peut se manifester sous forme de fissures macroscopiques radiales. Ces fissures rendrent des disques affectés inutilisables car il y a risque d’éclatement en cas de freinage d’urgence par exemple. Certaines études sur ce sujet (Dufrénoy et al. 2001) montrent que toute la surface de frottement du disque présente des traces d’endommagement de type faïençage thermique avec des fissures circonférentielles peu profondes et des fissures radiales plus profondes.
Faïençage thermique dans les centrales nucléaires
Des cas de faïençage thermique ont été mis en évidence lors d’examens de contrôle de certains composants de centrales nucléaires. Ces composants n’ayant pas été soumis aux mêmes conditions de sollicitations, différents phénomènes peuvent être à l’origine de cet endommagement. Dans le cadre de la présente étude on s’intéresse essentiellement au cas de réseaux de faïençage dans les circuits de RRA. Ce problème est devenu un sujet majeur de recherche pour Electricité de France en tant qu’exploitant des parcs nucléaires et pour l’autorité de sûreté nucléaire après l’accident de Civaux. Il s’agit d’une fissuration traversante de circuit qui a entraîné une fuite d’eau. Mais avant expliquer ce cas précis, citons quelques exemples historiques (Maillot 2003) :
• en juin 1988, une fuite de 1300 l/h dans un coude de la ligne d’injection de sécurité (RIS) de Tihange 1 en Belgique s’est produite après 100 000 heures de fonctionnement .
• en décembre 1987, une fissure circonférentielle traversante sur une ligne d’injection de sécurité à Farely 2, aux Etats-Unis, a conduit à une fuite de 150 l/h .
• en juin 1988, une fissure traversante sur une ligne de refroidissement à l’arrêt à Genkaï, au Japon, a causé une fuite de 50 l/h .
• une fuite a été détectée après 31600 heures de fonctionnement sur un coude de la ligne RIS de Bugey 3 dans un acier 304. L’origine de la fuite était une fissure traversante accompagnée par un réseau de faïençage bidirectionnel.
Mécanique de la rupture
La mécanique de la rupture propose une solution pour estimer la valeur des paramètres qui gouvernent la durée de vie des pièces fissurées. Depuis 50 ans, elle suscite un certain engouement, surtout dans les domaines de l’aéronautique, de l’automobile, de la marine et de l’industrie nucléaire. En effet, comprendre le comportement des fissures dans les structures soumises à des chargements complexes est souvent une question vitale.
La fatigue au sens général du terme peut se traiter à l’aide de trois types de mécanique de la rupture : la mécanique microstructurale de la rupture (MMR), la mécanique non linéaire de la rupture (MNLR) et la mécanique linéaire de la rupture (MLR). Le choix du type de mécanique de la rupture dépend du type de fissure et du comportement du matériau (Miller 1993).
Différents types de fissures
Il y a différentes échelles de taille de fissure au-dessous desquelles le taux de croissance peut dépendre de sa taille. Suresh et Ritchie (1984 ; 1991) proposent les définitions suivantes pour les fissures courtes :
• fissures microstructuralement courtes : la taille de fissure est comparable à la taille caractéristique de la microstructure, comme la taille de grain pour les matériaux monolithiques .
• fissures mécaniquement courtes : la taille de la zone plastique est comparable avec la taille de fissure .
• fissures physiquement courtes : la taille de fissure est supérieure à la taille des grains et à la taille de zone plastique mais ne dépasse pas un millimètre .
• fissures chimiquement courtes : le comportement de la fissure peut être défini par une analyse basée sur la MLR mais elle présente certaines anomalies liées à la dépendance des effets de fatigue / corrosion à la taille de la fissure.
La figure 2-2 montre la répartition de la taille des grains pour l’acier 304L étudié. D’après des expertises faites sur les sites endommagés, la taille moyenne des fissures observées varie entre 0,2 et 0,8 mm selon le site. La comparaison de la taille des fissures détectées et la taille des grains montre qu’a priori, on peut utiliser la MLR pour étudier la propagation des fissures déjà observées. D’autre part, chacun des mécanismes de rupture a ses propres caractéristiques. Ces caractéristiques peuvent être décrites :
• soit par un diagramme dit de Weiss (1995), dans lequel le rapport de l’amplitude des contraintes sur la contrainte ultime est exprimé en fonction de la taille de fissure .
• soit en se référant au type de fissure existante (Miller 1997). La rupture par fatigue des matériaux dépend de la taille des fissures présentes dans un volume de matière. Les stades de propagation discutés précédemment peuvent être représentés graphiquement en montrant l’évolution de la vitesse de croissance de fissure (da/dN) en fonction de sa taille (a). Deux seuils de fatigue peuvent être distingués sur ce diagramme (figure 2- 3) : le seuil microstructural δ en MMR et la longueur seuil de la fissure ath.
Identification des coefficients de la loi de propagation
Plusieurs campagnes d’essais ont été réalisées au sein d’Electricité de France ou en collaboration avec des laboratoires universitaires ou industriels pour déterminer les propriétés mécaniques des aciers inoxydables austénitiques. Dans le cadre de la présente étude, nous nous sommes basés sur les résultats des tests de fatigue présentés dans deux rapports de EDF R&D (Le Roux et Akamatsu 2002) et EDF-SEPTEN (Amzallag 2002). Les aciers inoxydables austénitiques Z2 CN 18-10 (304L) et Z2 CND 17-12 (316L) ont été étudiés dans ces rapports. Les essais ont été effectués selon la spécification RCC-M M3307 niveau 3. Les tableaux 2.1 et 2.2 présentent les caractéristiques conventionnelles de traction dans le sens du laminage (L) des aciers étudiés.
Essais de fissuration par fatigue
Pour identifier les autres paramètres de la loi de propagation, nous avons utilisé les résultats d’une campagne d’essais de vitesse de propagation de fissure en fatigue (stade II et seuil). Ces essais ont été réalisés par le département Matériaux et Mécanique des Composants (MMC) de EDF R&D sous air, à différentes températures (température ambiante, 150°C et 300°C), et pour différentes valeurs du rapport de charge (R = 0,1, R = 0,5 et R = 0,7) sur les aciers étudiés. Les éprouvettes de traction compacte CT25/12,5 (épaisseur réduite à 12,5 mm) prélevées suivant l’orientation L-T, ont été utilisées pour les essais de vitesse de propagation de fissure en fatigue. Un rapport du département MMC (Le Roux et Akamatsu 2002) montre la cohérence de ces résultats avec ceux obtenus auparavant par l’ENSMA sur les aciers 304L et 316L issus des mêmes tôles et par le département EMA sur un acier 304LN issu d’une bride de barrière thermique.
Le tableau 2.4 donne les valeurs d’amplitude du facteur d’intensité des contraintes seuil ΔKth obtenues pour différentes valeurs de R et celle de Kth calculée par l’équation (2-4). Les valeurs de Kmax montrent une légère augmentation en fonction de R sauf pour R = 0,7 pour lequel la valeur de Kmax est très différente des autres. En omettant la valeur de Kth pour R = 0,7, une valeur de Kth = 4,0 MPa.m0,5 est utilisée comme valeur moyenne du seuil de non propagation quelque soit le rapport de charge. En utilisant ces résultats et en considérant les valeurs de mR et KIC définies auparavant, les paramètres de la loi ont été identifiés (figure 2-7)
C = 9,34 10-4 mm/cycle p =2,56.
Rappel bibliographique
Les effets de charges simples d’amplitude variable sur la propagation de fissures de fatigue, par exemple surcharges uniques dans un essai à amplitude constante et charge par palier, ont été le sujet de nombreuses études sur beaucoup de matériaux. La première partie de ce paragraphe est consacrée à un bref rappel bibliographique sur l’effet d’une surcharge ou de la séquence de chargement sur la propagation des fissures.
Mécanisme de propagation de fissure lors d’une surcharge
En mécanique linéaire de la rupture, on considère que la pointe de fissure est entourée d’une zone plastique confinée c’est-à-dire suffisamment petite pour ne pas perturber l’avancée de la fissure. Lorsqu’on impose une surcharge ponctuelle, les déformations plastiques locales sont très accentuées et provoquent un retard de la fissuration (figure 2-6). Si l’on continue à solliciter la fissure avec la même amplitude qu’avant la surcharge, elle se propage avec un taux ralenti jusqu’à atteindre le bord de la zone plastique due à la surcharge. Dès que la fissure quitte cette zone, elle reprend sa vitesse de propagation initiale.
Des petites surcharges n’ont généralement pas d’influence décelable sur la croissance des fissures de fatigue. Le phénomène de retard n’apparaît que pour une surcharge de niveau supérieur à un niveau seuil c’est-à-dire le plus bas niveau de surcharge auquel on constate un ralentissement significatif. Ce niveau de seuil est généralement environ 40 ou 60% de la surcharge relative à la contrainte maximale sans surcharge (Lindley 1997). Il existe plusieurs types de retard (Lindley 1997) :
• le retard simple (figure 2-7) .
• le retard différé (retard ne survenant pas immédiatement après la surcharge) .
• le retard perdu (retard suivi d’une accélération qui permet de revenir au taux de propagation initial) .
• le blocage (arrêt total de la fissure).
Ces effets de retard très complexes à mesurer et surtout à modéliser dépendent du mode de variation d’amplitude : surcharges multiples, surcharge en traction suivie de surcharge en compression, passage d’un niveau haut à un niveau bas, chargement aléatoire. Différents modèles existent dans la littérature pour analyser ce phénomène. Il faut remarquer que ces études ont été menées à l’aide d’essais réalisés en contraintes imposées uniformes ce qui peut ne pas être le cas en fatigue thermique.
Le cumul de dommage
Les effets de cumul linéaire ou non linéaire sont d’une grande importance en fatigue. La règle linéaire de Palmgreen-Miner suppose que les dommages se cumulent de façon additive lorsqu’on les définit par le facteur d’usage associé Ni / N Fi , où Ni est le nombre de cycles effectués avec un chargement donné pour lequel le nombre de cycles à rupture (sous conditions périodiques) serait N Fi . La condition de rupture s’écrit ∑ Ni = 1 i N F i (2-15).
Pour un essai périodique, l’évolution de dommage est donc considérée comme linéaire D = N F N (2-16).
En fait, la règle de cumul linéaire s’applique encore pour une évolution de dommage non linéaire : il suffit qu’il existe une relation biunivoque entre D et Ni / N Fi ou encore que la courbe d’évolution du dommage soit unique (indépendante du cycle appliqué) en fonction du facteur d’usage (Lemaitre et Chaboche 1985). L’évolution non linéaire du dommage mais avec cumul linéaire est comparée avec le cumul non linéaire pour un essai à deux niveaux sur la figure (2-9).
Modélisation du chargement réel
En réalité, la variation de température sur la peau interne des tubes n’est pas périodique. Pour faire des calculs de durée de vie, nous avons besoin de trouver des cycles de chargements qui représentent cette variation de température. Plusieurs méthodes existent dans la littérature pour transformer un chargement aléatoire en une suite de cycles de chargement. Les plus reconnues sont la méthode de comptage de transitions, la méthode de chargement par blocs programmés et le comptage de Rainflow (Murakami 1992).
Actuellement des résultats des calculs thermohydrauliques sur une durée temporelle de huit secondes sont disponibles (figure 2-5). Ces calculs montrent que d’une part le chargement thermique des circuits RRA ne contient pas de surcharges isolées et d’autre part ce chargement n’est pas périodique. Cette caractéristique de chargement nous permet d’utiliser la même loi de propagation pour les cas de chargements à amplitude variable. Par contre, la durée de vie calculée de structure dépend de l’ordre d’application des blocs de cycles à cause de la non linéarité du cumul induite par la loi de propagation.
En utilisant une des méthodes de détermination de cycles, on peut associer des cycles avec différentes amplitudes de températures calculées. Après avoir défini des cycles équivalents de chargement, différentes combinaisons de cycles, notamment des ordres croissant ou décroissant, devront être étudiées.
Distribution initiale des défauts
Le modèle de Weibull est largement utilisé pour étudier la dégradation et la rupture des matériaux à comportement fragile (Weibull 1939) et quasi-fragile (Daniels 1944 ; Coleman 1958 ; Denoual 1998). A l’endurance, on peut considérer que c’est la rupture du défaut le plus critique, la rupture locale, qui entraîne la rupture de l’éprouvette, la rupture globale. Autrement dit, la rupture du maillon le plus faible entraîne la rupture de la chaîne (i.e. la structure). Dans le cadre de l’hypothèse du maillon le plus faible (Freudenthal 1968), la probabilité de rupture globale PF d’un domaine Ω peut être reliée à la probabilité locale de chaque élément de volume élémentaire Ω0 de volume V0, PF0 1 PF = 1 − exp ln(1 − PF 0 )dV (2-25) V0 Ω∫.
Calcul des facteurs d’intensité des contraintes pour une fissure axiale dans un tube infiniment long
De la même façon que dans le paragraphe 3.2.2 on peut calculer les valeurs des facteurs d’intensité des contraintes pour une fissure axiale dans un tube soumis aux variations de la température sur sa peau interne avec différentes fréquences. Ces facteurs correspondent à la contrainte σθθ définie par l’équation (3-41). La figure (3-6) présente des variations de valeurs de FIC en fonction de la profondeur de fissure pour différentes fréquences de chargement. Ces résultats montrent que .
La fréquence 1 Hz (et au-dessus de 1 Hz) : comme pour le cas de la plaque infinie, il y une chute de ΔK à environ 1 mm d’épaisseur et puis un palier à partir de 2mm.
Les fréquences 0.3 à 1 Hz : il y une chute de ΔK plus ou moins importante selon la fréquence à environ 1 mm, et la valeur de ΔK ne dépasse quasiment pas celle pour la fissure de 1 mm de profondeur (on se limite au domaine de validité de méthode RCC-M, c’est-à-dire 80% de l’épaisseur). On obtient un minimum de ΔK vers la demi-épaisseur. Les fréquences en-dessous de 0.3 Hz, ΔK est croissant en fonction de la longueur de la fissure.
Calcul du facteur d’intensité des contraintes dans un réseau de fissures
Trois types de variable caractérisent la perturbation du champ de contraintes due à la présence d’une fissure : les facteurs d’intensité des contraintes, les intégrales de contour et le taux de restitution d’énergie. Considérant la nature du problème, i.e. fatigue à grand nombre de cycles et le comportement élastique de la structure au niveau macroscopique, et la commodité de calcul du facteur d’intensité des contraintes K, on se focalise sur différentes méthodes de calcul de K.
Les facteurs d’intensité des contraintes caractérisent l’intensité du champ des contraintes à la pointe de la fissure. Si on connaît leurs valeurs, ils permettent de déterminer complètement les champs de contraintes singuliers ou de déplacements associés dans la structure fissurée, considérée comme élastique. Inversement, si on connaît les expressions des composantes non nulles des contraintes et des déplacements, on peut déterminer les facteurs d’intensité des contraintes pour les trois modes d’ouverture de fissure (figure 4-1a) par les expressions suivantes qui sont valables pour les milieux fissurés plans.
Méthodes semi-analytiques d’interaction des fissures
Ces méthodes sont basées sur la prise en compte de l’effet de la présence de plusieurs fissures sur les valeurs des facteurs d’intensité des contraintes. Elles sont souvent limitées à des configurations spécifiques. Le but de la méthode est de trouver un système d’équations décrivant sur l’interaction des fissures. Une fois le système résolu, les facteurs d’intensité des contraintes de toutes les fissures sont connus. Ce sont ces facteurs qui vont permettre ensuite de faire propager l’ensemble des fissures. Dans la suite, on présente un résumé de certaines de ces méthodes.
Le problème peut se résumer de la façon suivante : une fissure est chargée par des efforts extérieurs dont les facteurs d’intensité des contraintes sont KI0 et K II0 et par l’ensemble des autres fissures décrites par ΔKi (avec i=I, II). Les équations se mettent sous la forme suivante 0 + ΔKI 0 + ΔKII KII = KII KI =KI (4-2).
La différence entre les méthodes de calcul se situe au niveau du calcul des corrections ΔKi . Toutes les méthodes d’interaction présentées dans cette partie sont basées sur les mêmes hypothèses qui sont les suivantes : un milieu bidimensionnel, un matériau élastique, une distance suffisante entre les pointes de fissures, des fissures rectilignes.
Remarque : l’utilisation des méthodes analytiques pour les cas 3D n’est envisageable que pour des cas simples.
Les méthodes basées sur un calcul par éléments finis
Indépendamment de la méthode numérique utilisée pour calculer le facteur d’intensité des contraintes, on peut le déterminer si l’on utilise un maillage suffisamment fin aux fonds des fissures pendant toutes les étapes de simulation de la propagation. Dans la suite de ce chapitre on présente quelques méthodes de modélisation numérique de la propagation des fissures. En utilisant la méthode des éléments finis, on peut calculer directement les valeurs des facteurs d’intensité des contraintes aux pointes de fissures. Pour remédier aux problèmes de raffinement du maillage au fond de fissures et aux coûts de calculs élevés, plusieurs hypothèses simplificatrices sont utilisées dans les différentes études. Dans les cas les plus simples, les maillages sont rayonnants en pointe de fissures, avec au centre de ce maillage, un rectangle aux mailles régulières très fines, et dans certains cas, les éléments finis de ce rectangle ont été développés pour tenir compte de la singularité d’une fissure (c.f. élément de Barsoum (1976)).
En général, on peut classer les différentes méthodes utilisées pour la simulation de la propagation des fissures comme suit :
• Les méthodes basées sur le déplacement du maillage ou des nœuds .
• La méthode de relâchement des nœuds .
• Les méthodes « sans maillage » et XFEM .
• La méthode de remaillage interactif.
Déplacement du maillage
Une difficulté essentielle de la simulation de la propagation des fissures, est d’avoir le raffinement nécessaire autour du fond de fissure au cours de la propagation. Une des méthodes proposées est de faire déplacer le raffinement avec la pointe de la fissure. Rashid (1998) propose une méthodologie appelée Déplacement Arbitraire Local du Maillage (ALMR). L’ALMR est une stratégie basée sur la méthode des éléments finis dans laquelle deux maillages distincts sont utilisés. Le premier est un maillage autour du fond de fissure en propagation qui se déplace avec la pointe, et le deuxième est le modèle par éléments finis de toute la structure. Dans cette méthode le corps sain est discrétisé. Cette discrétisation est considérée comme un maillage de base. La fissure est représentée par une nouvelle courbe de surface libre qui est définie de façon arbitraire et indépendamment du maillage de base. Le dernier ingrédient est le maillage du fond de fissure qui est rayonnant (figure 4-6). Le maillage du fond se déplace avec la fissure au cours de la propagation. Le maillage de base reste invariant et la courbe de surface libre s’étale quand la pointe de fissure bouge. C’est le maillage du fond de fissure qui est dominant et les déplacements associés de ces éléments remplacent ceux associés au maillage de base. Mais hors du maillage du fond, ce sont les déplacements associés au maillage de base qui sont considérés comme la solution. Deux difficultés importantes existent en relation avec ce schéma :
• la compatibilité des déplacements des deux maillages au niveau de leur interface .
• que prendre quand on a une intersection partielle entre les maillages du fond de fissure et de base ? D’autre part, que se passe-t-il lorsque le maillage du fond de fissure rencontre une surface libre ?.
Rashid (1998) a développé cette méthode en considérant l’hypothèse des petites perturbations, pour des matériaux élastiques linéaires. Mais la méthode ALMR peut être généralisée à d’autres conditions. Les maillages de base et du fond sont tous les deux construits avec des éléments finis de degré un à quatre nœuds. La courbe de surface libre est modélisée par une série de segments rectilignes.
Méthodes sans remaillage
Plusieurs nouvelles méthodes ont été présentées ces dernières années pour résoudre le problème d’adaptation de maillage par éléments finis avec l’évolution de géométrie du modèle due à la propagation d’une discontinuité. Ces méthodes essayent de modéliser une fissure ou la propagation d’une fissure sans remaillage. Parmi ces méthodes on peut noter une technique d’enrichissement des éléments finis basée sur une partition de l’unité (Moës et al. 1999). Moës et al. (1999) ont considéré un champ de discontinuité à travers des lèvres de la fissure. La méthode prend en compte le champ de discontinuité (e.g. fonctions de Haar) ainsi que la solution asymptotique des champs discontinus au voisinage de la pointe de fissure. La propagation de fissure est modélisée par redéfinition de la position du fond de fissure et en ajoutant des segments de fissure. Ainsi, la prise en compte d’un champ de discontinuité permet de modéliser une fissure indépendamment du maillage et le remaillage quand la fissure se propage n’est plus nécessaire. Cette méthode utilise la propriété de partition d’unité des éléments finis proposée par Melenk et Babuska (1996), qui permet d’ajouter des fonctions d’enrichissement locales à l’approximation par éléments finis. Une approximation standard est donc « enrichie » par des fonctions locales définies par des degrés de liberté ajoutés dans une partie du modèle. Dans le cadre de la mécanique de la rupture, ces fonctions locales sont les champs asymptotiques au voisinage de fond de fissure et des fonctions discontinues pour représenter la discontinuité du champ de déplacements à travers des lèvres de fissure. La figure 4-8 montre un exemple d’application de cette méthode pour modéliser la propagation de deux fissures dans une plaque trouée sous un champ de contrainte en traction à l’infini (Moës et al. 1999). La figure montre la géométrie et les conditions aux limites du problème étudié ainsi que la discrétisation de la géométrie en 2650 nœuds. Les auteurs ont comparé les résultats de propagation obtenus avec ceux issus d’une autre analyse employant un maillage plus raffiné (5117 nœuds) et ils ont trouvé des résultats cohérents (figure 4-8-d).
D’une part, l’utilisation de cette méthode nécessite des développements numériques assez importants pour l’implantation de la formulation du problème dans un code éléments finis industriel et d’autre part, vu que la méthode est toujours en cours de développement et d’évolution, son utilisation pour répondre aux besoins de sécurité industrielle demande encore plus de retour d’expériences. Une thèse vient d’être démarrée à EDF R&D pour l’implantation et la validation de cette méthode dans le Code_Aster® (Géniaut).
Simulation numérique de la propagation et de l’effet d’écran dans un réseau de fissures en fatigue
En fatigue, le facteur d’intensité des contraintes est le paramètre essentiel qui contrôle la propagation des fissures (chapitre II). Dans le cadre des problématiques de fissuration multiple tel que le problème du faïençage thermique, les solutions analytiques atteignent assez vite leurs limites d’application et ne donnent pas de résultats satisfaisants à cause de la complexité de la géométrie et des chargements thermiques. Les méthodes numériques représentent une autre alternative pour déterminer le taux de restitution d’énergie (G) ou le facteur d’intensité des contraintes (K) dans le cadre de la mécanique linéaire de la rupture. D’autre part, la propagation des fissures introduit un changement de géométrie du modèle au cours de la simulation. Différentes méthodes ont été présentées dans la littérature pour la simulation de la propagation des fissures par la méthode des éléments finis dont les plus utilisées ont été présentées au paragraphe 4.1.2. Chacune de ces méthodes possède des avantages et des inconvénients. Le choix d’une méthode dépend de la nature du problème étudié ainsi que des développements nécessaires pour une mise en œuvre numérique. Dans le cadre du présent travail, en considérant les aptitudes du Code_Aster® et les ingrédients existant déjà dans le code, une procédure de remaillage automatique pour simuler la propagation des fissures a été développée. Le superviseur PYTHON du Code_Aster® nous a permis de développer cette procédure sous forme d’un fichier de commandes qui utilise les fonctionnalités du code pour le calcul par éléments finis et le calcul des variables de fissuration. Le remaillage automatique s’effectue à l’aide d’un mailleur libre (GMSH) qui se lance automatiquement après chaque pas de propagation des fissures pour refaire le maillage au cours du calcul.
Les avantages essentiels de cette méthode en comparaison avec d’autres méthodes sont les suivants :
• le pas de propagation des fissures ne dépend pas du maillage et le raffinement du maillage est optimisé au fond des fissures (contrairement à la méthode de relâchement des nœuds) .
• cette méthode n’a pas de limite de validité pour les propagations longues de fissures (contrairement à la méthode de déplacement des nœuds ou de remaillage local).
La modélisation numérique de la propagation d’un réseau de fissures introduit une discrétisation temporelle du problème. Cela nous oblige à choisir un schéma de résolution. De plus, l’existence d’une fissure modifie le champ de contraintes dans son voisinage qui crée une interaction entre les fissures d’un réseau. Le choix d’une stratégie de propagation est indispensable pour la simulation numérique de la propagation d’un réseau de fissures afin de déterminer l’interaction entre les fissures. Le calcul des facteurs d’intensité des contraintes K s’effectue en utilisant le champ de contraintes et de déformations obtenu par un calcul aux éléments finis sur la structure fissurée. L’interaction entre les fissures est ainsi prise en compte directement dans le calcul de K.
Calcul des paramètres
Le taux de restitution d’énergie (G) et les facteurs d’intensité des contraintes (FIC) sont les paramètres de la mécanique de la rupture linéaire. On utilise la méthode thêta pour calculer G en 2D et 3D pour un problème thermo-élastique linéaire dans le Code_Aster® . Pour le calcul des FIC deux méthodes sont actuellement opérationnelles dans le code.
Expression lagrangienne du taux de restitution d’énergie
Le taux de restitution d’énergie est calculé dans le Code_Aster® par la méthode Thêta (Destuynder 1981), qui est une méthode lagrangienne de dérivation de l’énergie potentielle (Mialon 1988). On considère des transformations F η : M → M + ηθ( M ) du domaine de référence Ω en un domaine Ωη qui correspond à des propagations de fissures. Ces transformations ne doivent modifier que la position du fond de fissure Γ0. Les champs θ doivent donc être tangents à δΩ (frontière de Ω), c’est-à-dire, en notant n la normale à δΩ : θ ∈ Θ = {θ tels que θ . n = 0 sur δΩ}. Soit m la normale unitaire à Γ0 située dans le plan tangent à δΩ et restant dans Ω. D’après la proposition de Mialon (1988), le taux de restitution d’énergie G est la solution de ∫ Gθ ⋅ m = G(θ) , ∀θ ∈Θ (4-15). où G(θ) est défini comme l’opposé de la dérivée de l’énergie potentielle W(u(η)) à l’équilibre par rapport à l’évolution initiale du fond de fissure η G(θ) = −W& = − dW(u(η)) dη η=0 (4-16).
La quantité θ . m représente la vitesse virtuelle normale du fond de fissure. Le même champ θ peut être utilisé pour déplacer des nœuds de maillage lors d’utilisation d’une méthode de déplacement des nœuds.
Calcul de facteurs d’intensité des contraintes
Actuellement deux méthodes de calcul des facteurs d’intensité des contraintes sont disponibles dans le Code_Aster®. La première est la méthode des fonctions singulières duales qui peut fournir les valeurs de KI et KII pour un problème de thermoélasticité linéaire plane. La formulation considère le taux de restitution d’énergie comme une forme bilinéaire symétrique du champ de déplacement et utilise les expressions explicites des champs de déplacements singuliers connues en élasticité linéaire plane. La deuxième méthode porte sur le calcul de KI, KII et KIII par extrapolation des sauts de déplacements sur les lèvres de la fissure plane. Cette méthode est moins précise que la précédente, mais elle permet d’obtenir des valeurs approchées des facteurs d’intensité des contraintes dans les cas 3D et axisymétriques, pour lesquels la méthode des fonctions singulières duales n’est pas opérationnelle. La nécessité de calculs axisymétriques (propagation des fissures dans l’épaisseur d’un tube) et la commodité de la méthode d’extrapolation de sauts de déplacements pour le remaillage automatique, nous ont amenés à utiliser cette méthode pour calculer les valeurs de K.
Direction de propagation des fissures du faïençage
Les observations expérimentales des composants fissurés ont mis en évidence l’existence de deux familles principales de fissures sur la peau interne des tubes. Ce phénomène peut être expliqué en considérant la nature équibiaxiale du chargement thermique responsable de la fissuration des tuyauteries. Les expertises faites sur les zones affectées montrent que le réseau de faïençage contient des fissures dont le plan reste toujours perpendiculaire à la surface interne des tubes (figure 4-12). En conséquence, la projection du réseau 3D sur toutes les coupes perpendiculaires à la peau interne donne des réseaux de fissures parallèles dans l’épaisseur du tube. L’objectif est d’analyser la propagation d’un réseau par une approximation 2D. On s’intéresse à la propagation de ces fissures parallèles dans l’épaisseur du tube sous des sollicitations thermomécaniques cycliques.
Stratégie de modélisation du problème de faïençage thermique en 2D
La méthodologie considérée pour traiter le problème de propagation de fissures bidimensionnelles en fatigue porte sur un calcul 2D plan ou axisymétrique qui prend en compte une coupe radiale ou axiale du tube étudié. Cette méthodologie analyse la propagation des fissures dans l’épaisseur. Le faïençage thermique est un problème de fatigue à grand nombre de cycles. Ceci nous oblige à piloter la simulation de propagation par des incréments sur les longueurs des fissures et non sur le nombre des cycles appliqués. La stratégie considérée consiste à imposer une propagation choisie Δa0 à toutes les fissures et de trouver le nombre de cycles associés à cette prolongation pour chaque fissure. La figure (4-13) montre l’organigramme de cette stratégie. En résumé, on peut diviser le calcul en différentes étapes (Seyedi et al. 2002) :
Étape 1 : le maillage d’origine est créé en utilisant GMSH qui prend en compte le raffinement nécessaire en fond des fissures. Les champs de contraintes et de déformations sont déterminés dans toute la structure. Ensuite on trouve les valeurs des facteurs d’intensité des contraintes pour toutes les fissures. Les vitesses de propagation des fissures sont calculées en utilisant une loi de propagation qui doit être identifiée pour le matériau étudié. Les conditions de propagation instable (Kmax > KIC) et de non-propagation (Kmax < Kth) sont vérifiées automatiquement par la loi de propagation utilisée. Les vitesses de propagation (Δa/ΔN) sont calculées pour toutes les fissures susceptibles de se propager dans cette étape.
Étape 2 : on cherche à déterminer la fissure F qui se propage d’un incrément Δa0 fixé. Pour cela, le nombre de cycles nécessaires Ni pour chaque fissure pour qu’elle puisse se propager d’une longueur initiale ai à ai+Δa0 est calculé en prenant en compte les vitesses de propagation obtenues lors de l’étape précédente. La fissure qui nécessite le plus petit nombre de cycles pour une propagation Δa0 est nommée F et le nombre de cycles nécessaires est appelé Nétape.
Étape 3 : l’incrément de propagation Δai correspondant à ce nombre de cycles (Nétape) est calculé pour toutes les autres fissures. Le calcul se fait en multipliant la vitesse de propagation par le nombre de cycles appliqués Nétape.
Étape 4 : on impose les propagations trouvées (Δai) à toutes les fissures. En considérant les nouvelles positions des fissures, un remaillage automatique s’effectue et on recommence le calcul à partir de l’étape 1.
Afin de valider le développement, les résultats de la simulation ont été comparés avec ceux obtenus par une méthode analytique (chapitre III). Il s’agit de l’étude de la propagation d’une fissure dans une plaque soumise à une variation périodique de la température sur son bord fissuré (figure 4-14). La variation de la température sur la peau fissurée s’écrit sous forme cosinusoïdale T = ΔT cos( π t) (4-24).
Etudes paramétriques de propagation d’un réseau prédéfini dans l’épaisseur d’un tube
Le taux de croissance d’une fissure dans un réseau est influencé par différents paramètres. Les différentes fissures d’un réseau ne présentent pas un comportement identique. Le comportement d’une pièce fissurée est notamment influencé par l’interaction entre les fissures ainsi que par les caractéristiques du chargement cyclique. La propagation de chaque fissure d’un réseau dépend aussi de son positionnement par rapport aux autres.
Dans l’état actuel des connaissances, on ne connaît pas encore quantitativement le chargement thermique et les conditions aux limites. Ce manque d’information nous amène à réaliser des calculs paramétriques afin de clarifier, de quantifier ces effets et de définir l’importance de chacun de ces paramètres. Différents calculs avec des configurations variées de réseaux et des histoires de chargements types sont conduits. Ces calculs consistent en des simulations de la propagation des réseaux de fissures définis à partir des résultats d’expertises faites sur des zones endommagées, dans l’épaisseur d’un tube. Les principales étapes du travail s’énoncent comme suit.
Effet de l’espacement initial entre les fissures
Cette partie consiste à faire des calculs de propagation en prenant en compte quatre configurations différentes de fissures. Le choix des cas est obtenu à l’aide d’un tirage aléatoire à partir de données d’expertises. Pour cela la profondeur et l’espacement des fissures observées sur 17 sites différents ont été considérés. Le tirage aléatoire a été effectué en supposant que toutes les fissures observées appartiennent à la même population et que leurs profondeurs et leurs distances suivent une loi de distribution normale.
Le but des calculs est d’étudier l’effet de la configuration initiale du réseau sur l’effet d’écran en condition de fatigue thermomécanique et l’évolution de l’interaction entre les fissures au cours de leur propagation. Le chargement appliqué est thermique à amplitude constante imposée sur la peau interne d’un tube T = T0 + T1 cos(ωt) (5-1) où ω est la pulsation, T0 et T1 deux constants arbitraire et t le temps. Tous les calculs, dont les résultats sont présentés dans cette partie, ont été effectués avec une fréquence de 0,1 Hz et ΔT = 2T1 = 100°C. En plus du chargement thermique une contrainte axiale moyenne de 60 MPa est imposée.
La propagation du réseau de fissures et la réactualisation du maillage par éléments finis correspondant sont présentées sur la figure (5-2) pour un des cas étudié (Cas_2). On constate que la concentration des mailles aux fonds des fissures a été conservée au cours du calcul en utilisant un remaillage automatique.
Le tableau 5-1 représente la configuration (la taille des fissures et leur espacement) initiale des cas étudiés. L’évolution de la longueur de fissures en fonction du nombre de cycles appliqués est présentée pour les quatre cas de calcul sur la figure (5-3). Deux types de configuration peuvent être distingués. Le premier correspond aux cas où il y a une fissure suffisamment longue par rapport aux autres (Cas_1, Cas_3 et Cas_4). C’est la fissure la plus longue qui continue à se propager en arrêtant ou ralentissant les autres fissures. Le deuxième correspond au cas où il y plusieurs fissures avec des longueurs proches (Cas_2). Ce sont les fissures de bord qui prennent l’avantage et écrantent les autres fissures.
Les vitesses de propagation des fissures du réseau ont été comparées avec celle d’une fissure isolée (A) avec une longueur initiale de 0.7 mm (la longueur maximale des fissures des réseaux étudiés) soumise au même chargement. Le tableau (5-2) résume ces différences de vitesse. La durée de vie de chaque cas a été définie comme le nombre de cycles nécessaires pour qu’au moins une fissure dépasse 50% de l’épaisseur du tube. La comparaison du nombre de cycles correspondant à la propagation de la fissure dominante de chaque cas avec celui de la fissure isolée montre un gain de durée de vie entre 8% et 80% (figure 5-4). La différence importante de gain en nombre de cycles pour les différents cas peut être expliquée en fonction de leurs configurations initiales. Le Cas_2 représente un effet d’écran important à cause de l’existence de trois fissures avec des longueurs proches. La figure (5-5) montre l’atténuation de Δkeff causée par l’effet d’écran, ce qui explique la diminution de la vitesse de propagation pour les fissures du réseau. Par contre, les Cas_3 et Cas_4, qui ont montré un effet d’écran moins important, correspondent aux configurations initiales d’une fissure plus longue que les autres (Cas_4) ou une fissure assez loin des autres (Cas_3). Toutefois, dans aucun des cas étudiés la fissure dominante du réseau se propage avec une vitesse équivalente à celle d’une fissure isolée de même taille.4
Effet de la fréquence du chargement
La fréquence joue un rôle très important sur la pénétration du chargement thermique dans l’épaisseur du tube et donc sur la propagation des fissures dans l’épaisseur. Les résultats des calculs de facteur d’intensité des contraintes pour différentes fréquences de chargement thermique présentés au chapitre III montrent cet effet et déterminent les fréquences les plus sévères pour la propagation d’une fissure isolée comme celles autour de 0,1 Hz. Afin d’étudier cet effet pour des réseaux de faïençage on a conduit une série de simulations de propagation dans un réseau de fissures. Les durées de vie d’une configuration géométrique identique sous sollicitations thermomécaniques avec différentes fréquences de chargement thermique sont comparées afin de trouver la plage de chargement la plus sévère pour la propagation. Les résultats de ces calculs pour trois fréquences différentes (0.01 Hz, 0.1 Hz et 1.0 Hz) sont présentés sur la figure (5-7). Les courbes présentent la propagation de la fissure dominante du cas étudié en fonction du nombre de cycles appliqués. Ces résultats montrent que d’une part les basses fréquences, autour de 0,01 Hz, n’engendrent pas de propagation dans le réseau. D’autre part, la vitesse de propagation pour une fréquence élevée (1,0 Hz) est beaucoup moins importante que pour un chargement thermique avec une fréquence moyenne (0,1 Hz). On en conclut que les fréquences les plus sévères pour la propagation sont celles autour de 0,1 Hz. Cela montre que de ce point de vue, le comportement d’un réseau de fissures est voisin du cas d’une seule fissure.
Coefficient d’échange thermique
Un autre paramètre qui peut fortement influencer la propagation d’un réseau de faïençage thermique est la condition de transfert de chaleur entre l’eau et le tube. Cette condition est définie par un coefficient d’échange thermique (H) entre l’eau et l’acier. Afin d’étudier l’effet de ce coefficient sur la propagation le même chargement thermique défini au paragraphe 5.2.2 a été considéré comme la variation de la température de l’eau. Trois calculs de propagation d’une configuration identique de réseau ont été réalisés en considérant des valeurs différentes de H. La figure (5-8) montre que l’augmentation du coefficient H accélère la propagation des fissures (un gain de 75% sur la durée de vie pour H = 15 kW/m²/K par rapport au H = infini). Cette forte sensibilité des résultats de propagation au coefficient d’échange thermique entre fluide et solide montre qu’une étude fine de détermination de ce coefficient est indispensable afin d’évaluer la durée de vie résiduelle des composant fissurés.
Effet du choc thermique sur la formation et la propagation d’un réseau de fissures
Plusieurs configurations différentes de réseau et de chargement sont imaginables. Le cas d’application d’un choc thermique est une situation de chargement envisageable. Ce phénomène a déjà été l’objet de nombreuses études notamment au CEA où un dispositif expérimental (essai SPLASH) est développé pour étudier l’amorçage et la propagation de fissures issues d’un choc thermique sur la surface d’une plaque (Fissolo et al. 2002). Dans le cadre de présent travail, nous nous sommes contentés d’étudier le cas de trois fissures qui se positionnent de différentes manières par rapport à la zone sur laquelle la variation de température interne est appliquée. Deux configurations principales ont été considérées. D’abord le cas où une fissure se trouve dans la zone de choc, au point de contrainte maximale et les deux autres sont à l’extérieur de la zone de choc. Ensuite, on s’est intéressé au cas où toutes les trois fissures se trouvent dans la zone de choc. La figure (5-9) montre ces deux configurations par rapport à la zone de choc.
Considérant la géométrie des tubes et les propriétés élastiques de l’acier 304L, l’équation (5- 4) donne la distance du point de la contrainte maximale du front de choc Y = 21 mm. Une hauteur de 42 mm est donc choisie comme la taille de la zone de choc et une fissure est positionnée au point de contrainte maximale (F2). L’analyse des contraintes due à ce choc thermique montre que le champ de contraintes s’annule très rapidement à l’extérieur de la zone de choc (figure 5-10-b). Une série de calculs du facteur d’intensité des contraintes a été réalisée en variant la distance de la fissure F1 par rapport à la zone de choc. Ces calculs montrent que les fissures situées à l’extérieur de la zone de variation de température ne subissent pas l’effet de ce chargement. La valeur de facteur d’intensité des contraintes pour une fissure de profondeur un millimètre dépasse le seuil de non propagation (4 MPa m ) seulement quand la fissure est situé à moins de 3 mm de la zone, soit moins de 7% de la taille de la zone.
Cela montre que dans le cas d’un choc thermique, l’effet du chargement sur la structure reste limité à l’endroit où il a été appliqué. Par ailleurs, la valeur du facteur d’intensité des contraintes pour la fissure qui se trouve dans cette zone (F2) dépasse le seuil de non propagation. Autrement dit, une fois que le choc thermique est appliqué sur une partie de la structure, les sites potentiels d’amorçage de fissure dans cette partie sont activés. Par contre, l’application du choc n’affecte pas les sites voisins et par conséquent, il n’y a pas d’amorçage à l’extérieur de la zone de choc. Réciproquement, les sites activés dans la zone de choc ne sont pas influencés par les fissures qui se trouvent à l’extérieur de la zone chargée. Une fois que le front de chaleur traverse toute la longueur du tube, tous les sites potentiels d’amorçage ont donné naissance à une fissure (début de la propagation). Dans le cadre d’une analyse élastique, la création des fissures lors de premier passage de choc thermique empêche l’amorçage de nouvelles fissures pendant les cycles suivants.
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Table des matières
Chapitre I Faïençage thermique des circuits de refroidissement du réacteur à l’arrêt (RRA)
1.1 Réseau de fissures
1.1.1 La fissuration des outils de formage à chaud
1.1.2 La fissuration des disques de frein
1.1.3 Faïençage thermique dans les centrales nucléaires
1.1.4 Etendue de l’endommagement par fatigue thermique
1.1.5 Le programme de recherche et développement
1.2 Objectifs du travail
1.3 Bibliographie du chapitre I
Chapitre II Fatigue à grand nombre de cycles (FGNC)
2.1 Croissance de fissures de fatigue
2.1.1 Mécanique de la rupture
2.1.2 Loi de propagation
2.1.3 Identification des coefficients de la loi de propagation
2.2 Chargement à amplitude variable et propagation des fissures
2.2.1 Rappel bibliographique
2.2.2 Modélisation du chargement réel
2.3 Distribution initiale des défauts
2.4 Bilan du chapitre II
2.5 Bibliographie du chapitre II
Chapitre III Chargement thermique
3.1 Distribution de température dans l’épaisseur d’un tube
3.2 Calcul des contraintes d’origine thermique
3.2.1 Champs de contraintes thermiques dans une plaque semi-infinie
3.2.2 Calcul des facteurs d’intensité des contraintes
3.2.3 Champs de contraintes dans l’épaisseur d’un tube long
3.2.4 Calcul des facteurs d’intensité des contraintes pour une fissure axiale dans un tube infiniment long
3.3 Bilan du chapitre III
3.4 Bibliographie du chapitre III
Chapitre IV Modélisation numérique de la propagation dans un réseau de fissures
4.1 Calcul du facteur d’intensité des contraintes dans un réseau de fissures
4.1.1 Méthodes semi-analytiques d’interaction des fissures
4.1.2 Les méthodes basées sur un calcul par éléments finis
4.2 Simulation numérique de la propagation et de l’effet d’écran dans un réseau de fissures en fatigue
4.2.1 Calcul des paramètres
4.2.2 Direction de propagation des fissures du faïençage
4.2.3 Calcul du rapport de charge
4.2.4 Stratégie de modélisation du problème de faïençage thermique en 2D
4.2.5 Validation des développements numériques
4.3 Chargement à amplitude aléatoire
4.4 Bilan du chapitre IV
4.5 Bibliographie du chapitre IV
Chapitre V Etude de la propagation en cas de fissuration multiple
5.1 Etudes paramétriques de propagation d’un réseau prédéfini dans l’épaisseur d’untube
5.1.1 Modèle étudié
5.1.2 Effet de l’espacement initial entre les fissures
5.1.3 Effet de la fréquence du chargement
5.1.4 Coefficient d’échange thermique
5.2 Effet du choc thermique
5.2.1 Champ de contraintes dans un tube soumis à un choc thermique
5.2.2 Effet du choc thermique sur la formation et la propagation d’un réseau de fissures
5.3 Effet de la plasticité confinée sur le taux de croissance des fissures
5.4 Comparaison des modélisations plane et axisymétrique
5.5 Propagation 3D de fissures
5.5.1 Taux de restitution d’énergie et facteur d’intensité des contraintes
5.5.2 Critères d’initiation de la propagation des fissures planes en 3D
5.5.3 Propagation des fissures en utilisant le développement du front libre
5.5.4 La loi de propagation en fonction de G
5.5.5 Propagation de fissures tridimensionnelles décrite par deux paramètres
5.6 Une méthodologie de simulation de la propagation dans des réseaux 3D
5.6.1 Maillage par éléments finis d’un réseau de fissures 3D
5.6.2 Stratégie de propagation dans un réseau 3D de fissures
5.7 Bilan du chapitre V
5.8 Bibliographies du chapitre V
Chapitre VI Formation et propagation dans un réseau de fissures ; une approche probabiliste
6.1 Modélisation du mécanisme d’amorçage des fissures
6.2 Probabilité d’occultation
6.3 Adimensionnement
6.4 Propagation de fissures dans un réseau
6.5 Fissuration et endommagement
6.6 Germination continue de fissures
6.6.1 Formation de réseau de fissures
6.6.2 Probabilité d’occultation
6.6.3 Changement d’échelle
6.6.4 Modèle d’endommagement
6.7 Coalescence des mésofissures
6.8 Bilan du chapitre VI
6.9 Bibliographie du chapitre VI
Chapitre VII Conclusions générales et perspectives
7.1 Synthèse générale
7.2 Perspectives
7.2.1 Simulations 3D de la propagation de fissures
7.2.2 Implantation numérique du modèle probabiliste
7.2.3 Traitement de la fatigue à amplitude variable
7.3 Bibliographie du chapitre VII
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